中考数学圆的综合复习.doc
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2012中考数学专题:
圆的综合复习
一、考点定位:
1、圆的有关性质;2、直线和圆的位置关系3、与圆有关的比例线段
4.圆和圆的位置关系5、和圆有关的计算
二.主干梳理:
1、对称性:
a:
圆的对称性,虽然其它一些图形也是有,但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的,垂径定理,切线长定理,及正n边形的计算都应用到了这个特性。
b:
旋转不变性,圆心角、弧、弦、弦心距关系,遇到有关圆习题,要抓住这个特性充分利用,许多问题可以找到解题思路。
2、三个角:
圆心角、圆周角,以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有关圆的问题中,找角相等必不可少的方法。
3、三个垂直:
垂径定理,直径所对的圆周角,切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中,使问题得以解决。
4、四大关系:
点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,圆与正多边形的关系,掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。
5、有关计算问题:
有关线段的计算,正多边形的计算,有关扇形及阴影面积的计算,以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。
1题图
6、圆中添辅助线一般方法:
添与垂径定理相关的辅助线,添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线),添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦,两圆相切时作公切线,总之添辅助线时,要构造和完善基本图形,切忌破坏图形的完整性。
1.(2010年广西桂林)如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=,则∠A的度数为().
A.30 B.45 C.60D.75
答案:
C
2.(2010年厦门)如图,正三角形ABC内接于⊙O,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于
第2题
A.B.C.D.答案:
B
5题图
4题图
3题图
3.(2010年铁岭)已知AB是半圆O的直径,∠BAC=32º,D是弧AC的中点,那么∠DAC的度数是()
A.25ºB.29ºC.30ºD.32°答案:
B
4.(安徽)如图一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧),点O是这段弧的圆心,C是
弧AB上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是m.
5.如图,当半径为30cm的转动轮转过120°角时,传送带上的物体A平移的距离为cm。
A.B.C.D.
6.(芜湖市)如图所示,在圆⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为()
A.19B.16
C.18D.20
7题图
6题图
7.如图,AB、AC是⊙O的切线,将OB延长一倍至D,若∠DAC=60°,则∠D=.
8.如图,A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为.
8题图
9.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D,求图形阴影部分的面积.
9题图
第10题
思路点拨:
连接AD,则阴影面积等于△ACD的面积,即等于△ABC面积的一半.
10.(2010年湖南模拟)如图,以△ACF的边AC为弦的圆交AF、CF于点B、E,连结BC,且满足AC2=CE·CF.求证:
△ABC为等腰三角形.
证明:
连结AE.∵AC2=CE·CF,∴
又∵∠ACE=∠FCA.∴△ACE∽△FCA.
∴∠AEC=∠FAC.∵.
∴AC=BC,∴△ABC为等腰三角形.
11.(2010年湖里区)如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD于点E,
第11题图
DA平分∠BDE。
(1)求证:
AE是⊙O的切线。
(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长。
(1)证明:
连结OA∵AD平分∠BDE
∴∠ADE=∠ADO∵OA=OD
∴∠OAD=∠ADO∴∠ADE=∠OAD
∴OA∥CE∵AE⊥CD∴AE⊥OA∴AE是⊙O的切线
(2)∵BD是⊙O的直径∴∠BCD=90°
∵∠DBC=30°∴∠BDE=120°∵AD平分∠BDE∴∠ADE=∠ADO=60°
∵OA=OD∴△OAD是等边三角形∴AD=OD=BD
在Rt△AED中,DE=1,∠ADE=60°∴AD==2∴BD=4
AB
OF
E
DC
12.(2010年杭州)已知:
如图,AB是⊙O的直径,点C、D为圆上两点,且弧CB=弧CD,
CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E.
(1)试说明:
DE=BF;
(2)若∠DAB=60°,AB=6,求△ACD的面积.
(1)∵弧CB=弧CD∴CB=CD,∠CAE=∠CAB
又∵CF⊥AB,CE⊥AD∴CE=CF∴△CED≌△CFB
12题图
∴DE=BF
(2)易得:
△CAE≌△CAF
易求:
∴
13.(湖南长沙)如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°。
(1)求∠B的大小:
(2)已知圆心O到BD的距离为3,求AD的长。
【答案】解:
(1)∵∠CAB=∠CDB(同弧所对的圆周角相等),∠CAB=40°,
∴∠CDB=40°。
又∵∠APD=65°,∴∠BPD=115°。
∴在△BPD中,∴∠B=180°-∠PDB-∠BPD=25°。
(2)过点O作OE⊥BD于点E,则OE=3。
∵AB是直径,∴AD⊥BD(直径所对的圆周角是直角)。
∴OE∥AD。
又∵O是AB的中点,∴OE是三角形ABD的中位线。
∴AD=2OE=6。
14.如图,点C平分弧AB,CM⊥AO于点M,CN⊥OB于点N,则CM与CN有什么关系?
为什么
14题
15.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD切⊙O于点C,且∠DAC=∠BAC,
(1)试说明:
AD⊥CD;
(2)若AD=4,AB=6,求AC.
·
D
B
O
A
C
B
C
A
F
D
16题
16.如图,在矩形ABCD中,AD=2,以B为圆心,BC长为半径画弧交AD于F.
(1)若CF长为π,求圆心角∠CBF的度数;
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号及π的形式).
17.⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C,过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE,E为切点,PE∥OD;延长直径AG交PE于点H;直线DG交OE于点F,交PE于点K.
第17题
(1)求证:
四边形OCPE是矩形;
(2)求证:
HK=HG;
(3)若EF=2,FO=1,求KE的长.
解:
(1)∵AC=BC,AB不是直径,∴OD⊥AB,∠PCO=90°
∵PE∥OD,∴∠P=90°,∵PE是切线,∴∠PEO=90°,(2分)∴四边形OCPE是矩形.
(2)∵OG=OD,∴∠OGD=∠ODG.∵PE∥OD,
∴∠K=∠ODG.∵∠OGD=∠HGK,∴∠K=∠HGK,
∴HK=HG.
(3)∵EF=2,OF=1,∴EO=DO=3.(6分)∵PE∥OD,∴∠KEO=∠DOE,
∠K=∠ODG.∴△OFD∽△EFK,(7分)∴EF∶OF=KE∶OD=2∶1,∴KE=6.(8分)
18.直线经过上的点,并且,,交直线于,连接.
(1)求证:
直线是的切线;
(2)试猜想三者之间的等量关系,并加以证明;
(3)若,的半径为3,求的长.
解:
(1)证明:
如图3,连接.,,.是的切线.
(2).是直径,..
又,,.
又,...
(3),.,.
设,则.又,.
解之,得,.,..
D
C
O
A
B
E
19.(北京)已知:
如图,在中,,点在上,以为圆心,长为半径的圆与分别交于点,且.
(1)判断直线与的位置关系,并证明你的结论;
(2)若,,求的长.
解:
(1)直线与相切.
证明:
如图1,连结.
D
C
O
A
B
E
图1
,.
,.又,
..直线与相切.
(2)如图1,连结.是的直径,.
,,,
(第20题)
B
D
C
E
A
O
20.(08山东泰安24题)如图所示,是直角三角形,,以为直径的交于点,点是边的中点,连结.
(1)求证:
与相切;
(2)若的半径为,,求.
(1)证明:
连结
是直径是的中点
又
即但是的切线
(2)
21.(08年江苏连云港)B
C
P
O
A
第21题图
如图,内接于,为的直径,,,过点作的切线与的延长线交于点,求的长.
解:
是的直径,.又,
,.
又,所以是等边三角形,由,知.
是的切线,.
在中,,,
所以,.
路虽远,行则必至;事虽难,做则必成7