中考数学圆的综合复习.doc
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2012中考数学专题：
圆的综合复习
一、考点定位：
1、圆的有关性质；2、直线和圆的位置关系3、与圆有关的比例线段
4.圆和圆的位置关系5、和圆有关的计算
二．主干梳理：
1、对称性：
a：
圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性。
b：
旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。
2、三个角：
圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角（对角）这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。
3、三个垂直：
垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。
4、四大关系：
点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。
5、有关计算问题：
有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。
1题图
6、圆中添辅助线一般方法：
添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线（创造直角的辅助线），添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦，两圆相切时作公切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。
1.（2010年广西桂林）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=，则∠A的度数为（）．
A.30 B.45 C.60D.75
答案：
C
2.（2010年厦门）如图，正三角形ABC内接于⊙Ｏ，动点Ｐ在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于
第2题
A．B．C．D．答案：
B
5题图
4题图
3题图
3.（2010年铁岭）已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32º，D是弧AC的中点，那么∠DAC的度数是（）
A.25ºB.29ºC.30ºD.32°答案：
B
4.（安徽）如图一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧），点O是这段弧的圆心，C是
弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是m．
5.如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移的距离为cm。
A．B．C．D．
6.（芜湖市）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）
A．19B．16
C．18D．20
7题图
6题图
7．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC=60°，则∠D=．
8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为．
8题图
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D，求图形阴影部分的面积．
9题图
第10题
思路点拨：
连接AD，则阴影面积等于△ACD的面积，即等于△ABC面积的一半．
10.（2010年湖南模拟）如图,以△ACF的边AC为弦的圆交AF、CF于点B、E,连结BC,且满足AC2=CE·CF.求证:
△ABC为等腰三角形.
证明:
连结AE.∵AC2=CE·CF,∴
又∵∠ACE=∠FCA.∴△ACE∽△FCA.
∴∠AEC=∠FAC.∵.
∴AC=BC,∴△ABC为等腰三角形.
11.（2010年湖里区）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，
第11题图
DA平分∠BDE。
（1）求证：
AE是⊙O的切线。
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长。
（1）证明：
连结OA∵AD平分∠BDE
∴∠ADE＝∠ADO∵OA=OD
∴∠OAD＝∠ADO∴∠ADE＝∠OAD
∴OA∥CE∵AE⊥CD∴AE⊥OA∴AE是⊙O的切线
（2）∵BD是⊙O的直径∴∠BCD＝90°
∵∠DBC=30°∴∠BDE＝120°∵AD平分∠BDE∴∠ADE＝∠ADO=60°
∵OA=OD∴△OAD是等边三角形∴AD=OD=BD
在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60°∴AD==2∴BD=4
AB
OF
E
DC
12.（2010年杭州）已知：
如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，
CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
（1）试说明：
DE＝BF；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．
（1）∵弧CB=弧CD∴CB=CD，∠CAE=∠CAB
又∵CF⊥AB，CE⊥AD∴CE=CF∴△CED≌△CFB
12题图
∴DE=BF
（2）易得：
△CAE≌△CAF
易求：
∴
13．（湖南长沙）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。
（1）求∠B的大小：
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长。
【答案】解：
（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°。
又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°。
∴在△BPD中，∴∠B=180°－∠PDB－∠BPD=25°。
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3。
∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）。
∴OE∥AD。
又∵O是AB的中点，∴OE是三角形ABD的中位线。
∴AD=2OE=6。
14.如图,点C平分弧AB,CM⊥AO于点M,CN⊥OB于点N,则CM与CN有什么关系?
为什么
14题
15.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC，
（1）试说明：
AD⊥CD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求AC.
·
D
B
O
A
C
B
C
A
F
D
16题
16.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F.
（1）若CF长为π，求圆心角∠CBF的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）.
17.⊙O的半径OD经过弦AB（不是直径）的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．
第17题
（1）求证：
四边形OCPE是矩形；
（2）求证：
HK＝HG；
（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．
解：
（1）∵AC＝BC，AB不是直径，∴OD⊥AB，∠PCO＝90°
∵PE∥OD,∴∠P＝90°，∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，（2分）∴四边形OCPE是矩形.
（2）∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.∵PE∥OD,
∴∠K＝∠ODG.∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,
∴HK＝HG.
（3）∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.（6分）∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，
∠K＝∠ODG.∴△OFD∽△EFK，（7分）∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,∴KE＝6.（8分）
18.直线经过上的点，并且，，交直线于，连接．
（1）求证：
直线是的切线；
（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若，的半径为3，求的长．
解：
（1）证明：
如图3，连接．，，．是的切线．
（2）．是直径，．．
又，，．
又，．．．
（3），．，．
设，则．又，．
解之，得，．，．．
D
C
O
A
B
E
19.（北京）已知：
如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．
解：
（1）直线与相切．
证明：
如图1，连结．
D
C
O
A
B
E
图1
，．
，．又，
．．直线与相切．
（2）如图1，连结．是的直径，．
，，，
（第20题）
B
D
C
E
A
O
20.（08山东泰安24题）如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：
与相切；
（2）若的半径为，，求．
（1）证明：
连结
是直径是的中点
又
即但是的切线
（2）
21.（08年江苏连云港）B
C
P
O
A
第21题图
如图，内接于，为的直径，，，过点作的切线与的延长线交于点，求的长．
解：
是的直径，．又，
，．
又，所以是等边三角形，由，知．
是的切线，．
在中，，，
所以，．
路虽远，行则必至；事虽难，做则必成7
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