眼科疾病的病床优化2.docx
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眼科疾病的病床优化2
眼科病床合理安排的优化模型
摘要
医院是以向人们提供医疗护理服务为主要目的医疗机构。
到医院看病排队是司空见惯的现象，但人们常常为医院的人满为患没有病床感到烦恼。
虽然各大医院也出台了相应的政策，但迄今为止还没有关于这些政策的优劣评价，因此合理的评价对医院合理安排就诊时间和住院病床有重要意义。
题目的问题一要求我们制定出合理的评价标准体系，用此标准来评价该医院原来的病床安排模型的优劣。
经分析题目之后，我们确定把病床使用率、病床周转次数和等待手术时间作为评价标准，用“归一分析”方法进行分析，从而得出合理的评价。
我们经过对349组数据的分析，把病人按照不同的病种分为5类，得出每一天每种病人的出院数、入院数，经归一分析和卡方检验，得出病床利用率和病床效率指数两项指标，发现与标准的指标相差很大。
而且分析数据时我们还发现各类病人尤其是白内障（双眼）患者因为要在固定时间就诊，就必须等待很长时间，导致病床利用率的降低。
以上两点均说明，医院现遵循的FCFS对病床的安排并不合理，降低了资源的利用率。
问题二中，我们选择的是多窗口的排队论模型，将病床看成是窗口，构成医院的排队系统。
有了模型之后，我们就结合编写的C程序，预测出院人数和安排哪些人住院。
然后利用问题一中制定出来的评价体系对这个模型做出评价，得出床位效率指数刚好在1附近有小小的浮动，而且此时的床位的利用率也是一个高效的状态。
问题三，我们在与前面相同的医院排队模型的前提下根据excel和递推关系，在病人门诊时估计出其大致入院时间。
问题四实际上是对问题二的扩展，因为周六周日不安排手术，就必须调整手术时间，这导致病床的安排改变，我们利用自己建立的排队论模型，求出来每个病人的入院、手术及出院时间，但根据问题已的方法分析之后，发现平均等待服务时间由原来的12.52天延长到14.53天，这说明医院的这种安排并不合理，还是应该根据我们在回答问题二中确定的时间来安排病人。
问题五，从便于管理的角度，我们建立了规划模型，并根据C程序可求出各类病人占用病床的比例，就可以建立病床比例最优分配模型，使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短。
关键词：
归一分析排队论模型床位效率指数Poisson分布
一、问题的背景
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
医院（hospital）一词来自拉丁文原意为“客人”，因为最初设立时，是供人避难，还备有娱乐节目，使来者舒适，有招待意图。
后来，才逐渐成为收容和治疗病人的专门机构。
医院是以向人提供医疗护理服务为主要目的医疗机构。
随着中国经济发展水平的提高，人们越来越重视自身的健康，医疗服务消费早已突破了“有病求医”的观念，所以即将导致医院拥挤问题，对于就医的人来说，最突出的问题就是等待，等待入院时间，等待手术时间，等待出院时间，而就医院方面来说，就是合理安排时间和床位，以达到资源的最优利用和减少病人的等待时间。
二、问题的提出与重述
现我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
问题一：
试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：
试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三：
作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：
若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五：
有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
三、基本假设
1、假定门诊不需要等待时间；
2、假定医院除病床外其他设备齐全；
3、假定在某一段时间内到达的患者数的概率只与这段时间的长度和患者数有关；
4、假定不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立的；
5、假定一个医生在同一时间点上就诊或手术最多1个，不存在同时达到2个及以上患者的情况；
6、假定在有限时间区间内，只能到达有限个患者，不能有无限个患者到达。
四、主要变量符号说明
为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表1所示。
其他一些变量将在文中陆续说明。
表1主要变量符号说明一览表
符号
意义
第i天到达门诊的病人数
第i天到达门诊的第j类病人
第i天入院的病人数
第i天出院的病人数
=1第i天第j类病人第k个住院
=0第i天第j类病人第k个不住院
第s个病人在医院的时间
说明：
=1,2,……,61;
=1,2,3,4;
=1,2,……,349;
五、问题分析和基本思路
5.1问题分析和建模思路
考虑问题的题设和要求，我们要解决的是医院眼科病床的合理安排问题。
即对医院资源的优化问题。
题目的问题一要求我们制定出合理的评价标准体系，用此标准来评价该医院原来的病床安排模型的优劣。
经分析题目之后，我们确定把病床使用率、病床周转次数和等待手术时间作为评价标准，用“归一分析”方法进行分析，从而得出合理的评价。
问题二和问题三我们建立了排队论的病床安排模型，预测出病人住院的时间，患者在系统中平均逗留时间和患者在系统中平均等待服务时间，并给出了与问题一一样的用前面给出的标准体系做出合理的评价。
问题四实际上是对问题二的扩展，我们建立了排队论模型，重新调整手术时间，满足周六周日不安排手术的要求进行了系统的分析，发现周六，日不安排手术会造成患者等待住院时间过于长，故按原来方案也即医院每天都可以做手术。
问题五要求我们根据各类病人占用病床的比例，建立病床比例最优分配模型，使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短。
5.2思路流程图
下面的思路流程图是我们文章结构的一个缩影，它完整而形象的反映了我们文章的建模思路。
（见图1）
图1
六、问题1的模型建立与求解
在前面的符号假设基础上，根据变量之间的关系，可以建立如下的关系模型：
……………..
（1）
…………..
（2）
关系式
（1）表示第i天医院住院病人数等于第i天入院人数与出院人数的差值与第i-1天医院住院病人数之和；
关系式
（2）表示医院第i天到达门诊的病人数之和为该天到达门诊的各类病人数之和。
对于模型的求解，我们首先将附件一中的数据利用EXCEL进行处理，然后导入到SPSS中，做频率分析，得到从7月13日到9月21日每一天的门诊人数、入院人数和出院人数。
（见附录一）
利用统计学中的“归一分析法[1]”对床位工作效率进行分析。
床位效率指数＝期内床位实际周转次数／期内床位标准周转次数×床位使用率％[2]。
当床位效率指数＜1时，床位低效率运行；当床位效率指数＝1时，床位等效率运行；当床位效率指数＞1时，床位高效率运行；床位效率指数过高或过低都说明床位运行不够正常，只有当床位效率指数为1时，床位运行情况达到管理所需要的最佳状态。
根据国家卫生部标准[3]，病床使用率上限为93%，下限为85%，标准值为89%；年病床周转次数上限为23次，下限为18次，标准值为21次。
本文是针对眼科病床使用情况，进行标准化换算。
期内床位标准周转次数=3；期内床位实际周转次数=病人总数×某时期天数／某时期占用床位天数，经计算，
期内床位实际周转次数=349×61÷3142
床位使用率=实际占用的总床位日数／实际开放的总床位日数＝
所以
床位效率指数=
可以得出如下数据，如表2：
表2
由表一很明显可以看出床位效率指数不是远大于1，就是远小于1，这说明医院现有的床位运行程序是不正常的。
本题中医院对全体非急症病人按照FCFS的规则安排住院，虽然解决了开始一段时间内病患就医的问题，但是一段时间之后，等待住院病人的队列会越来越长，而且医院明确规定白内障患者只能在周一或周三做手术，白内障双眼患者必须周一做一只，周三再做一只，这就需要考虑到此类患者住院的时间（见附录2），数据表明个病种尤其是白内障（双眼）等待手术时间过长，而医院并没有考虑这个问题，必将导致患者入院到手术等待的时间过长，而在这段时间内他们只是没有意义的占用着病床，而其他患者却无床可用，这将直接影响到床铺的使用率和周转率。
根据附件一中的数据，对2008年7月13日至2008年9月11日这61天的五类（白内障、白内障双眼、青光眼、视网膜疾病、外伤）病人进行分类汇总并分析（见图2、图3、图4）
图2每天病人到医院就诊的直方图
图3期内到医院就诊人数的频率分布
图4每天不同类型病人到医院就诊的直方图
得出患者作为整体服从poison分布，并得各类病种也是服从poison分布的，并就各类病种最高和最低病人数进行有关的SPSS处理Chi-SquareTest，得到这五类病种的sig.，见图5[4]
图5
图6
发现它们的sig.均大于0.05，并且有三个数据都接近1，这正验证了以上的几个分布均服从poisson分布，正说明了医院现有的机制是不好的。
七、问题2的模型建立与求解
1、排队模型[5]（M|M|C）
所谓排队系统模型（M|M|C），就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统结构和行为进行动态模拟，以获得反应其系统本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或评价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
由于病人到医院就医的随机性，所以排队现象是不可避免的。
如果医院增添服务人员和设备，就要增加投资和发生空闲浪费，而现在出现了排队人数越来越多、时间越来越长的现象，对患者和医院都带来不良影响。
医院排队论（以下简称排队论）就是为解决上述问题。
在本题中，医院的排队系统由等待服务时间、接受服务时间和病床分配规则三部分组成。
（M|M|C）（C≥2）是多台服务的等待制排队系统，并假定C个服务台并联排队，各服务台独立工作，其平均服务率相同，即
。
因此,该系统的平均服务率为
，
为平均到达率，即每天平均到来的患者人数与每天的工作时间之比。
在统计平衡状态下,服务强度
.
此时,系统的稳态概率为
.
根据M|M|C模型可知：
（1）平均队列长
（2）队列长
.
（3）患者在系统中平均逗留时间
.
.
（4）患者在队列中平均等待时间
在此排队模型中，根据附件一中的数据，计算出每天来医院就诊的人数，
即每天需安排的床位数C=530／61≈9，然后计算五类病人的平均服务时间
（j=1…5）
通过这些量化值，运用排队模型可以计算出各类患者在队列中的平均等待时
间
，平均逗留时间
。
根据问题一定出的评价标准，我们知道，只有当床位效率指数为1时，床位运行情况达到管理[6]所需要的最佳状态，而在实际生活中要求床位效率指数达到1的情况是不可能存在的，在确定标准值的基础上，有效的控制各项指标的浮动范围。
经过计算我们发现床位效率指数在0.9与1.2之间浮动是比较合理的。
问题二要求我们预测出第二天的出院病人数，某时期占用床位天数=791；某时期天数=38（出院时间减去门诊时间）；出院病人总数=79.。
根据问题一中的计算公式，可以确定，
当床位效率指数=0.90：
实际占用的总床位日数=791×3／38×0.9≈56
床位利用率=56／79=71%
当床位效率指数=0.95：
实际占用的总床位日数=791×3／38×0.95≈59
床位利用率=59／79=75%
当床位效率指数=1：
实际占用的总床位日数=791×3／38×1≈62
床位利用率=62／79=78%
当床位效率指数=1.05：
实际占用的总床头日数=791×3／38×1.05≈66
床位利用率=66／79=84%
当床位效率指数=1.1：
实际占用的总床头日数=791×3／38×1.1≈68
床位利用率=68／79=86%
当床位效率指数=1.15：
实际占用的总床头日数=791×3／38×1.15≈72
床位利用率=72／79=89%
当床位效率指数=1.2：
实际占用的总床头日数=791×3／38×1.2≈75
床位利用率=56／79=95%
可以看出此时床位利用率在71%与95%之间浮动。
所以每天安排56～75个床位，即每天预留4～23个床位，可以达到理想的床位利用率，而且使床位运行情况达到管理所需要的预期最佳状态。
问题二要求我们预测出第二天的出院人数，我们利用附件一中提供的所有病人的各类数据，根据病种（五类）计算出每一天各类病人的平均术后休复时间，然后推测出第二天所有病人的出院时间，如表三（cysj列）
根据出院人数，运用C程序可得各类病人床位的平均分配（见附录三），由此确定第二天各类病人的住院安排。
如图7
图7
利用排队论模型，每天需安排的床位数C，带入问题一确定的评价指标体系，计算出床位效率指数为1.13，基本接近1，此时的床位利用率为88%，说明这个模型是有意义的。
八、问题3的模型建立与求解
作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
在病人门诊时告知其大致入住时间区间是医院的应尽义务，既不造成医院资源浪费，也不耽误病人的时间。
通过excel软件和递推公式得到表格（见附录4）。
假设医院规定其住院方式为白内障（单眼）安排星期一，二；白内障（双眼）安排星期六，日；而青光眼和视网膜患者安排在星期三，四，五这三天中的其中一天住院即可；至于外伤安排在任何时间都可以。
此时医院在一星期的任一天都可以安排做手术。
由excel软件和递推公式得出表格可计算出患者的平均等待服务时间由原来的12.52天减少为12天。
表格同时优化了患者平均等待手术时间，由原来的白内障单眼患者，视网膜患者，青光眼患者的平均等待手术时间2.4天缩短为2天，白内障单眼在星期二就诊的患者时间缩短为1天，综上就表格中数据的分析，很直观看出患者在医院的平均逗留时间在明显缩短。
type
平均等待入院时间
平均等待术一时间
平均等待术二时间
平均服务时间
ws
1
1
0
7.036364
bnz
12.66667
2.333333
0
5.632111
bnzsy
12.5122
3.597561
2
8.560976
qgy
12.25641
2.410256
0
10.48718
swmjb
12.54455
2.376238
0
12.54455
服务时间
记j=1～5分别为外伤、白内障、白内障（双眼）、青光眼、视网膜疾病。
同时我们也通过了排队论
估计出患者在队列中平均等待时间
，
也即等待入院时间。
有效的提高了医院的服务质量，医院口碑也提高了，同时节约了患者和医院工作人员的时间，提高了效率。
优化了模型，有效的缩短患者逗留时间，也使得医院床位周转率加快，有效缓解了排长队的现象，提高了患者对医院的满意度。
九、问题4的模型建立与求解
在与问题2和3相同的模型之下，通过excel软件和递推公式得到表格（见附件5），其住院方式为白内障（单眼）安排星期一，二；白内障（双眼）安排星期六，日；而青光眼和视网膜患者安排在星期三，四，五住院；至于外伤则安排在任何时间，但此时医院规定在星期六，日不安排手术。
由表格可计算出患者的平均等待服务时间由原来的12.52天增大为14.53天，显然直观数据比较患者的平均等待服务时间几乎增加2天，有很大的影响。
由于排队论模型中患者在队列中的平均等待时间
增大了，而患者的平均到达率和平均服务时间是不变的。
所以医院手术时间安排的变动影响到预出院病人数，故床位数量C变动。
例如当C为12时，再运用C程序进行床位的平均安排及其程序的运行结果为：
（见图8）。
故医院的手术时间不用做出调整，即医院可在一星期的任何一天安排手术。
图8
十、问题5的模型建立与求解
类似于前面的模型，从便于医院管理的角度出发，在一般情形下，可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，以61天到医院接受诊断的病人为一个样本进行综合分析
类型
平均等待入院时间
平均等待术一时间
平均等待术二时间
平均服务时间
ws
1
1
0
7
bnz
12.04762
1.714286
0
4.714286
bnzsy
9.034483
1.862069
2
6.862069
qgy
13
2.466667
0
10.46667
swmjb
13.97222
2.527778
0
12.52778
服务时间
记j=1～5分别为外伤、白内障、白内障（双眼）、青光眼、视网膜疾病。
运用SPSS统计出各类病人数的比例为
外伤：
视网膜疾病：
白内障：
白内障（双眼）：
青光眼=64：
170：
100：
133：
63
运用C程序（见附件3）对病床进行公平分配，进而平均逗留时间（含等待入院及住院时间）患者在系统中平均逗留时间
.
.
十一、模型的推广
通过对题目的解读我们不难发现这是一类排队问题。
我们建立了一个排队论规划模型。
仔细分析我们建立的模型不难发现：
这个模型不仅仅适用于医院的病床资源配置问题，它对优化类问题的求解都可以起到指导作用。
排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、银行的服务台常常要排队。
此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量，也就是说，到达的顾客不能够立即得到服务，因而出现排队现象。
除此之外，电话局占线问题、车站码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导、故障机器的停机待修、水库贮存调节等都是有形无形的排队现象。
可以说，排队现象几乎是不可避免的，并且，顾客到达和服务时间常常具有随机性。
本文模型的建立是为了解决一定量的床位分配给多患者的问题，若某患者占用床位的时间越长，其余等待中的患者的等待时间就会相应变大，这会严重影响病床的使用效率。
通过床位资源安排最优化为杠杆平衡它们之间的分配关系。
决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划模型中，可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解。
十二、模型的评价
12.1模型的科学性
（1）流程的合理性：
患者到医院就诊的流程图：
（见图9）
图9
给出了三种等待时间，其中等待住院时间和等待手术时间是可控制的，所以要使病床使用率和病床周转率达到高效，必须缩短上述两个等待时间。
题2、3、4都是通过控制这两个等待时间来使模型更优化。
（2）方法的合理性：
我们使用了C语言程序编写了相对公平的床位分配制度，到医院看病排队是人之常情，所以我们运用排队论模型来安排医院床位分配是相当科学的。
12.2模型的优缺点
优点：
1、建立的规划模型能与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性；
2、排队论模型基本上解决了排队人数越来越多、时间越来越长的现象。
3、C程序准确的算出了相对公平病床的分配方式。
4、模型的床位利用率在71%与95%之间浮动，符合国际的床位利用率，达到了理想的床位利用率。
缺点：
1、对于问题三、四中的医院住院方式人为确定缺乏理论依据。
2、没有很好地把握论文的重心，让人感觉论文有点散。
参考文献
[1]盖红卫等，用归一分析法对我院2004年床位工作效率的分析[期刊论文]
中国医院统计2006（01）
[2]姜启源，《数学模型》，北京：
高等教育出版社，2004年
[3]毕赵荣等，根据国家卫生部标准，全院年病床使用率，
[4]苏金明，《MATLAB工具箱应用》，北京：
电子工业出版社，2004年
[5]胡运泉主编，《运筹学教程》，北京：
清华大学出版社，2007年
[6]朱士俊，董军，《医院管理与信息利用》，北京:
人民军医出版社，2001，231-241.
【附件】
附录1:
附件一中的数据利用EXCEL进行处理，得到从7月13日到9月21日每一天的门诊人数、入院人数和出院人数:
门诊日期
门诊人数
入院
出院
2008-7-13
7
0
0
2008-7-14
9
1
0
2008-7-15
10
0
0
2008-7-16
7
0
0
2008-7-17
12
1
0
2008-7-18
12
1
0
2008-7-19
10
2
1
2008-7-20
9
1
0
2008-7-21
9
2
0
2008-7-22
6
2
1
2008-7-23
16
1
0
2008-7-24
7
2
0
2008-7-25
5
4
2
2008-7-26
4
8
1
2008-7-27
9
11
1
2008-7-28
12
11
3
2008-7-29
5
9
2
2008-7-30
6
9
5
2008-7-31
11
8
1
2008-8-1
11
7
2
2008-8-2
6
12
5
2008-8-3
11
6
2
2008-8-4
6
6
2
2008-8-5
5
5
4
2008-8-6
14
9
8
2008-8-7
15
8
7
2008-8-8
8
15
15
2008-8-9
4
20
20
2008-8-10
8
9
9
2008-8-11
6
6
6
2008-8-12
7
2
2
2008-8-13
13
6
6
2008-8-14
6
9
9
2008-8-15
10
8
8
2008-8-16
7
13
13
2008-8-17
8
6
6
2008-8-18
12
4
4
2008-8-19
14
7
7
2008-8-20
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