1991全国高考理科数学试题Word文档下载推荐.docx
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，那么六棱锥的棱所在的
12条直线中,
异面直线共
（B）24对
⑸函数y=sin（2x+与）的图像的一条对称轴的方程是
（C）36对
（D）48对
（A）x=—2
（C）x8
（B）x=—-
（D）x
（6）如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且
顶点S在底面的射影0在厶ABC内，那么
O>
△ABC的
（A）垂心
（B）重心
（C）外心
（D）内心
a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于
（B）10
（8）如果圆锥曲线的极坐标方程为p
（C）15
16一，那么它的焦点的极坐标为
53cos
（A）（0,0）,（6,n）
（B）（—3,0）,（3,0）
（C）（0,0）,（3,0）（D）（0,0）,（6,0）
（9）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1
台，则不同的取法共有（）
（A）140种（B）84种（C）70种（D）35种
（10）
如果AC<
0且BC<
0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）
（11）设甲、乙、丙是三个命题•如果甲是乙的必要条件；
丙是乙的充分条件但不是乙
的必要条件，那么（）
（A）丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
（B）丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
（C）丙是甲的充要条件
（D）丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
1111
（12）lim［n（1—）（1—）（1-）］…（1—）］的值等于（）
n345n2
（A）0（B）1（C）2（D）3
（13）如果奇函数f（x）在区间［3,7］上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间［—7,—3］
上是（）
（A）增函数且最小值为—5（B）增函数且最大值为—5
（C）减函数且最小值为—5（D）减函数且最大值为—5
（14）
圆x2+2x+y2+4y—3=0上到直线x+y+仁0的距离为.2的点共有（）
{x|f（x）g（x）=0}等于
2
xx2
（17）不等式6x2<
1的解集是
（18）已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45
那么这个正三棱台的体积等于,
（19）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项•若实数a>
1，那
么a=”
（20）在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC
=a•那么这个球面的面积是.
三、解答题：
本大题共6小题；
共60分.
（21）（本小题满分8分）
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合.
（22）
（本小题满分8分）
直于ABCD所在的平面，且GC=2.求点B到平面EFG的距离.
（24）（本小题满分10分）
根据函数单调性的定义，证明函数f（x）=—x3+1在（-m,+m）上是减函数.
（25）（本小题满分12分）
已知n为自然数，实数a>
1，解关于x的不等式
（26）（本小题满分12分）
双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为、3的直线交双
\5
曲线于P、Q两点.若OP丄OQ,|PQ|=4，求双曲线的方程.
1991年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的
解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.
二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考
生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内
容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；
如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分.
三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中
合理省略非关键性的推导步骤.
四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
五、只给整数分数.
三、解答题
（21）本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分.
解：
y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x1分
=1sin2x（1+cos2x）
=2+sin2x+cos2x
=2+、2sin（2x+）.——5分
当sin（2x+）=—1时y取得最小值2—、.2.――6分
3
使y取最小值的x的集合为{x|x=kn—-n,k€Z}.――8分
8
（22）本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.
=3i=F_i
=1—i.
1—i的模r=12
（1）2=、2.
因为1—i对应的点在第四象限且辐角的正切tge=—1,所以辐角的主值
9=7n.8分
（23）本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理
和空间想象能力.满分10分.
如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分另U交AC于H、O.因为ABCD是
正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF//BD,H为AO的中点.
BD不在平面EFG上.否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD//平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B
到平面EFG的距离.一一4分
•/BD丄AC,
•••EF丄HC.
•/GC丄平面ABCD,
•EF丄GC,
•EF丄平面HCG.
•平面EFG丄平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.——6分
作OK丄HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK丄平面EFG，所以线段OK的
长就是点B到平面EFG的距离.
•••AC=4,2,HO=..2,HC=3..2.
•••在Rt△HCG中，HG=3..2?
22y22.
由于RtAHKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKOs\HCG.
HOGC22211
•0K=—
hg42211
注：
未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.
（24）本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力•满分10分.
证法一：
在（—8,+g）上任取X1,X2且X1<
X21分
则f（X2）—f（X1）=X；
X；
=（X1—X2）（X：
X1X2X；
）3分
TX1<
X2,
•-X1—X2<
0.4分
22
当X1X2<
0时，有X1X1X2X2=（X1+X2）2—X1X2>
0；
6分
当X1X2>
0时，有X；
X1X2x；
>
0;
•f（X2）—f（X1）=（X1—X2）（X1X1X2X2）<
0.8分
即f（X2）<
f（X1）
所以，函数f（x）=—X3+1在（—8,+8）上是减函数.——10分
证法二：
在（—8,+8）上任取X1,X2,且X1<
X2,1分
3322
则f（X2）—f（X1）=X1—X2=（X1—X2）（X1X1X2X2）.3分
•X1—X2<
0.4分
TX1,X2不同时为零，
1（x12
X；
+x；
0.
.2
十X2）>
|X1X2|>
—X1X2
-8分
10分
12
IOgaX
logaan
x；
x1x2
f（X2）—f（X1）=（xi—X2）（x1X-Ix2x2）<
0.
即f（X2）<
f（X1）.
所以，函数f（x）=—X3+1在（—8,+g）上是减函数.
（25）本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力.满分
分.
利用对数换底公式，原不等式左端化为
lOgaXIOgaXn—1
logax—4•—2+12•—3+…+n（—2）
logaalogaa
=[1—2+4+…+（—2）n—1]logax
1
（2）n
当n为奇数时，>
0,不等式①等价于
logax>
loga（x2—a）.
■■-a
14a
1.14a、、4a一
=a,
1;
i4a
所以，不等式②的解集为{x|..a<
x<
}.
log—a）.③
因为a>
1，③式等价于
x2xa0
所以，不等式③的解集为{x|x>
1一14a}.
综合得：
当n为奇数时，原不等式的解集是{x|、.ax1一}；
1_■14a
当口为偶数时，原不等式的解集是{x|x—^}
（26）本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基
本知识，以及综合分析能力•满分12分.
解法一：
设双曲线的方程为务-^2=1.
ab
依题意知，点P,Q的坐标满足方程组
将②式代入①式，整理得
（5b2—3a2）x2+6a2cx—（3a2c2+5a2b2）=0.
设方程③的两个根为xi,X2,若5b2—3a2=0，则3，即直线②与双曲线①的两条
a\'
根据根与系数的关系，有
；
3（3
P（X1,、5（x1—c））,Q（X2,、5（X2—c））.
3（X1c）:
3（X2c）由OP丄OQ得一5•—5=—1,
X1x2
整理得3c（X1+x2）—8x1x2—3c2=0.⑥
将④，⑤式及&
=a2+b2代入⑥式，并整理得
3a4+8a2b2—3b4=0,
（a2+3b2）（3a2—b2）=0.
因为a2+3b2z0，解得b2=3a2,
所以c=；
a2b2=2a.
由|PQ|=4，得（X2—X1）2=[J3（X2—c）—\\~（X1—c）]2=42.
\5\5
故所求双曲线方程为x2—丄=1.——12分
解法二：
④式以上同解法一.一一4分
将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2—3b4=o,
即（a2+3b2）（3a2—b2）=o.
因a2+3b2z0,解得b2=3a2.——8分
即（x2—x1）2=10.⑥
将④式代入⑥式并整理得
（5b2—3a2）2—16a2b4=0.
将b2=3a2代入上式，得a2=1,
将a2=1代入b2=3a2得b2=3.
故所求双曲线方程为
12分
X2—L=1.
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