立体几何中的平行与垂直Word格式.doc

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图形表示为：

符号表示为：

（二）平面与平面平行的判定

判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

（线面平行则面面平行）

图形表示为：

符号表示为：

（三）线面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

（线面平行则线线平行）

//，

（四）面面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

图形表示如右：

符号表示为：

三、典例分析

例1、在正方体中，E为的中点，试判断与平面AEC的位置关系，说明理由。

例2、已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：

MN∥平面PAD。

D

C

B

M

A

N

P

E

F

G

例3、如图，四棱锥中，底面为正方形，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点。

求证：

平面//平面。

四、练习巩固

1、如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点。

PC//平面BDQ

2、如图，在四棱锥中，底面为正方形，E\F分别为的中点．

平面；

．

3、如图，在直三棱柱中，，，点是的中点。

。

五、方法总结

1、证明线线平行的常用方法：

三角形中位线；

平行四边形对边；

平行线的传递性。

2、证明线面平行关键的是证明线线平行，证明线面平行的关键是先证明线面平行。

六、课后作业

1、如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的每条棱长均为a，M为棱A1C1上的动点．当M在何处时，BC1//平面MB1A，并证明；

2、如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（1）证明：

DN//平面PMB；

（二）线面垂直、面面垂直的判定与性质

一、基础热身：

1.直线直线平面，则与的位置关系是（）

A.B.//C.D.或//

2.已知直线及平面，下列命题中的假命题是（）

A.若//,//,则//B.若⊥,//,则⊥

C.若⊥,//,则⊥D.若//,‖,则//

3.给定下列四个命题，其中，为真命题的是（）

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

.

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

（一）直线与平面垂直的判定：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（线线垂直则线面垂直）

．

（二）平面与平面垂直的判定：

如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

（线面垂直则面面垂直）

（三）直线与平面垂直的性质：

性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行。

图形表示为：

（四）平面与平面垂直的性质：

性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

_

例1．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，。

求证:

平面；

例2.如图，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于的任意一点，求证：

例3.三棱锥S－ABC中，OA＝OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB中点．

（1）求证：

OE∥平面SAB；

（2）求证：

平面SOF⊥平面SAB.

四、巩固练习

1．如图，已知ABCD是矩形，，E、F分别是线段AB、BC的中点，面ABCD.

（1）证明：

PF⊥FD；

（2）在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．

2．如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．

；

面；

3．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（1）证明：

DN//平面PMB（作业回顾）；

（2）证明：

平面PMB平面PAD；

（3）求点A到平面PMB的距离．

4．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

平面EFG⊥平面PDC；

（2）求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

1、线线垂直常用方法：

勾股定理逆定理；

等腰三角形三线合一；

线面垂直性质。

2、证明线面垂直的关键是先证线线垂直，证明面面垂直的关键是先证线面垂直。

六、高考链接

1.如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且，.

（1）求证：

（2）设FC的中点为M，求证：

∥平面；

（3）求三棱锥F－CBE的体积.

（一）线面平行、面面平行的判定与性质答案

一、基础热身:

AAD

三、典例分析:

例1、答：

BD1与平面AEC平行，下面给出证明：

证明：

连结AC、BD相交于O，连结OE

例2、证明：

∵N是PC的中点，取PD的中点E，连结AE、EN,则

例3、证明：

四、巩固练习:

1．同例1，

2．证明：

∵F是SC的中点，取SD的中点G，连结FG、GA,则

3．证明：

连结BC1、B1C相交于E，连结DE，在直三棱柱中，

六、课后作业:

1．答：

当M为A1C1的中点时，BC1//平面MB1A1.下面给出证明：

连结A1B、AB1相交于N，连结MN，在正三棱柱中，

（1）

（2）

（3）

∴EC是下底面圆的直径

设AB=BC=，在ABE中，BE=，

在BCE中，，即

∴，从而

∴

（1）∵N是PC的中点，取PB的中点E，连结ME、NE,则

（2）

（3）PD⊥底面ABCD,DM底面ABCDPD⊥DM,

在Rt⊿PDM中，

BM⊥平面PAD,PM平面PADBM⊥PM,

设点A到平面PMB的距离为，由得

∴=＝

（二）线面垂直、面面垂直的判定与性质答案

DDD

三、典例分析：

例1.证明：

PA=1，AD=1，PD=PA2+AD2=PD2∠PAD=Rt∠PA⊥AD

又PA⊥CD，AD∩CD=D

∴PA⊥平面ABCD

例2.证明：

例3.证明：

（1）O、E分别是BC、SC的中点OE//SB

SB平面SAB,OE平面SAB

∴OE//平面SAB

1.证明：

（1）F是矩形ABCD的边BC的中点，故BF=CF=2

在Rt⊿ABF中，AF2=AB2+BF2=22+22=8，同理DF2=8

∴AF2+DF2=AD2∠AFD=Rt∠AF⊥DF

又平面ABCD，DF平面ABCD，PA⊥DF

这里AF∩PA=A

∴DF⊥平面PAF

∵PF平面PAF

∴PF⊥FD

（2）答：

在PA上存在点G，，使得EG∥平面PFD．

证明：

分别取PA、PD的中点M、N，连结BM、MN、NF，则

又故平行四边形BMNFBM//FN

∵E为AB为中点，取AM的中点G，连结EG，则EG//BM

∴EG//FN

EG平面PFD,BM平面PFD

∴EG//平面PFD

2.证明：

（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，

故CD⊥平面PAC．

又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．

（2）由题意：

AB⊥AD，

∴AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD．

又AB=BC，且∠ABC=60°

，

∴AC=AB，从而AC=PA．

又E为PC之中点，∴AE⊥PC．

由

（1）知：

AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD．

又AB∩AE=A，

故PD⊥平面ABE．

3.同

（一）课后作业3

4.证明：

（2）不妨设，则

【解析】

（1）侧视图同正视图,如下图所示.

（2）该安全标识墩的体积为：

　　　（3）如图,连结EG,HF及BD，EG与HF相交于O,连结PO.

由正四棱锥的性质可知,平面EFGH,

又平面PEG

又平面PEG；

（1）证明：

由平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，

平面ABCD∩平面ABEF=AB，

得CB⊥平面ABEF，

而AF⊂平面ABEF，所以AF⊥CB

又因为AB为圆O的直径，

所以AF⊥BF，

又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CBF

（2）证明：

设DF的中点为N，连接AN，MN

则MNCD，又AOCD

则MNAO，所以四边形MNAO为平行四边形，

所以OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，

所以OM∥平面DAF．

（3）连结OE、OF，则OE=OF=EF=1，

过O作OG⊥EF，垂足于G，则

∵EF//AB

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