中考数学考点专题《函数图象与性质探究题》.docx

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中考数学考点专题《函数图象与性质探究题》

专题五　函数图象与性质探究题

类型一　分析数据、探究函数问题

（2019.24新考查）

1.（2019房山区一模改编）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E.连接AC，已知AB＝6cm.

第1题图

小东根据学习函数的经验，对线段AC、BE的长度之间的关系进行了探究.

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）对于点C在⊙O上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC、BE的长度的几组值，如下表：

位置1

位置2

位置3

位置4

位置5

位置6

BE/cm

1.27

2.82

2.82

2.63

1.84

0

AC/cm

1.24

3.45

4.91

5.16

5.67

6

在AC、BE的长度这两个变量中，确定　　　的长度是自变量，　　　　的长度是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出

（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：

当BE＝2时，AC的长度约为　　　　cm.

2.（2019通州区期末改编）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB＝30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方或左侧），连接EC.

第2题图

小东根据学习函数的经验，对线段AD，CD，EC的长度之间的关系进行了探究.

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）对于点D在直径AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AD，CD，EC的长度的几组值，如下表：

位置1

位置2

位置3

位置4

位置5

位置6

位置7

AD/cm

0

1.14

2

3

4

5

6

CD/cm

5.20

4.49

3.60

3.00

2.65

2.65

3.00

EC/cm

5.20

4.24

4.22

4.24

4.77

5.60

6.00

在AD，CD，EC的长度这三个量中，确定　　　　的长度是自变量，　　　　的长度和　　　　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出

（1）中所确定函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：

当∠ECD＝60°时，AD的长度约为　　　　cm.

3.（2019门头沟区二模改编）如图，E为半圆O直径AB上一动点，C为半圆上一定点，连接AC和BC，AD平分∠CAB交BC于点D，连接CE和DE.

第3题图

小腾根据学习函数的经验，对线段AE，CE，DE长度之间的关系进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点E在直径AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AE，CE，DE的长度的几组值，如下表：

位置1

位置2

位置3

位置4

位置5

位置6

位置7

CE/cm

2.50

2.28

2.50

3.00

3.72

4.64

5.44

DE/cm

2.98

2.29

1.69

1.69

2.18

3.05

3.84

AE/cm

0.00

0.87

2.11

3.02

4.00

5.12

6.00

在AE，CE，DE的长度这三个量中，确定　　　　的长度是自变量，自变量的取值范围是　　　　；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出

（1）中所确定函数的图象；

（3）结合函数的图象，解决问题：

当△ACE为等腰三角形时，AE的长度约为　　　　cm（结果精确到0.01）.

4.（2019丰台区二模改编）如图，点M是⊙O中

上一定点，点P是弦AB上一动点.过点A作射线MP的垂线交⊙O于点C，连接PC，已知AB＝5cm.

第4题图

小腾根据学习函数的经验，对线段AP，AC，PC的长度之间的关系进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，AC，PC的长度的几组值，如下表：

位置1

位置2

位置3

位置4

位置5

位置6

AP/cm

0.00

0.99

2.47

3.01

3.98

5.00

AC/cm

2.55

3.10

4.31

4.74

4.97

4.31

PC/cm

2.55

2.61

2.52

2.12

1.11

2.55

在AP，AC，PC的长度的三个量中，确定　　　　的长度是自变量，　　　　的长度和　　　　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出

（1）中所确定函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：

在点P的运动过程中，当AC与PC的差为最大值时，AP的长度约为　　cm.

类型二　测量与分析数据、探究函数问题

（8年2考：

2018.24、2017.26）

1.（2019朝阳区一模）小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题，两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？

小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？

第1题图

小超猜想当DE⊥AB时，DE最小.探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为xcm，D，E两点的距离为ycm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小超的探究过程，请补充完整：

（1）由题意可知线段AE和CD的数量关系是：

　　　　　　　　　；

（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；

x/cm

0

1

2

3

4

5

y/cm

6.0

4.8

3.8

2.7

3.0

（说明：

补全表格时相关数值保留一位小数）

（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后表中各对对

应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（4）结合画出的函数图象，解决问题：

小超的猜想　　　　；（填“正确”或“不正确”）当两点同时出发了　　　s时，DE取得最小值，为　　　　cm.

2.（2019西城区一模）如图，

是直径AB所对的半圆弧，C是

上一定点，D是

上一动点，连接DA、DB、DC.已知AB＝5cm，设D、A两点间的距离为xcm，D、B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm.

第2题图

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；

x/cm

0

1

2

3

4

5

y1/cm

5

4.9

4

3

0

y2/cm

4

3.32

2.47

1.4

0

3

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：

连接BC，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，DA的长度约为　　　cm.

3.（2019东城区一模）如图，点E在弦AB所对的优弧上，且

为半圆，C是

上的动点，连接CA，CB.已知AB＝4cm，设B，C两点间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.

第3题图

小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

y1/cm

0

0.78

1.76

2.85

3.98

4.95

4.47

y2/cm

4

4.69

5.26

5.96

5.94

4.47

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：

①连接BE，则BE的长约为　　　　cm；

②当以A，B，C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为　　　　cm.

4.（2019海淀区一模）如图，线段AB及一定点C，P是线段AB上一动点，作直线CP，过点A作AQ⊥CP于点Q.已知AB＝7cm，设A，P两点间的距离为xcm，A，Q两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm.

小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

第4题图

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：

x/cm

0

0.3

0.5

0.8

1

1.5

y1/cm

0

0.28

0.49

0.79

1

1.48

y2/cm

0

0.08

0.09

0.06

0

0.29

x/cm

2

3

4

5

6

7

y1/cm

1.87

2.37

2.61

2.72

2.76

2.78

y2/cm

0.73

1.82

4.20

5.33

6.41

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：

当△APQ中有一个角为30°时，AP的长度约为　　　　cm.

类型三　新函数性质探究问题

（8年2考：

2016.26、2015.26）

1.（2019西城区二模）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减.若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：

微克）与服药后的时间t（单位：

小时）之间近似满足某种函数关系，下表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示.

t

0

1

2

3

4

6

8

10

…

y

0

2

4

2.83

2

1

0.5

0.25

…

第1题图

（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数图象；

（2）结合函数图象，解决下列问题：

①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为　　　　微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约　　　　小时；

②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为　　　　微克.

2.（2019海淀区二模）有这样一个问题：

探究函数y＝

x2－

的图象与性质.

小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y＝

x2－

的图象与性质进行了探究.

下面是小宇的探究过程，请补充完整：

（1）函数y＝

x2－

的自变量x的取值范围是　　　　　　　；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，完成以下作图步骤：

①画出函数y＝

x2和y＝－

的图象；

②在x轴上取一点P，过点P作x轴的垂线l，分别交函数y＝

x2和y＝－

的图象于点M，N，记线段MN的中点为G；

③在x轴正半轴上多次改变点P的位置，用②的方法得到相应的点G，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y＝

x2－

在y轴右侧的图象.继续在x轴负半轴上多次改变点P的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象.

第2题图

（3）结合函数y＝

x2－

的图象，发现：

①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为　　　　（保留小数点后一位）；

②该函数还具有的性质为：

　　　　（一条即可）

参考答案

类型一　分析数据、探究函数问题

1.解：

（1）AC；BE；

【解法提示】一个自变量值只可能对应一个函数值，∵由表格可知当AC＝3.45或4.91时，BE均为2.82，∴BE长是关于AC长的函数．

（2）画函数图象如解图；

第1题解图

（3）2.14或5.61.（可相差0.1～0.2）

【解法提示】如解图，观察图象可知当y＝2即BE＝2cm时，x的值即AC的长度约为2.14cm或5.61cm.

2.解：

（1）AD，CD，EC；

（2）画函数图象如解图；

第2题解图

（3）4.5或6.（可相差0.1～0.2）

【解法提示】当∠ECD＝60°时，在Rt△ECD中，∵∠EDC＝90°，∴∠CED＝30°，∴EC＝2CD，∴yEC＝2yCD，由函数关系图象可知，满足条件的x的值约为4.5cm或6cm.

3.解：

（1）AE；0≤AE≤6；

（2）画函数图象如解图；

第3题解图

（3）2.50或2.11或2.99.（可相差0.1～0.2）

【解法提示】当△ACE为等腰三角形时，有以下三种情况：

①当AE＝AC时，∴AE＝AC＝2.5cm；②CE＝AC时，即yCE＝AC＝2.5cm，从图象可以看出x＝0cm或2.11cm；即AE＝0cm（舍去）或2.11cm；③当AE＝CE时，即x＝yCE，从图中可以看出x＝2.99cm，即AE＝2.99cm.

4.解：

（1）AP，AC，PC；

（2）画函数图象如解图；

第4题解图

（3）3.9.（可相差0.1～0.2）

【解法提示】由

（2）中的图象可知，当x＝3.9时，两函数图象上点距离最远，即AP的长度约为3.9cm时，AC与PC的差取最大值．

类型二　测量与分析数据、探究函数问题

1.解：

（1）AE＝2CD；

【解法提示】∵D、E同时分别从C、A出发，又∵D的速度为1cm/s，E的速度为2cm/s，∴AE＝2CD；

（2）补全表格如下表：

x/cm

0

1

2

3

4

5

y/cm

6.0

4.8

3.8

3.0

2.7

3.0

（3）画图如解图

第1题解图

（4）不正确；4，2.7.

【解法提示】由解图可知，在x＝4时，y取得最小值2.7，即当CD＝4cm时，DE＝2.7cm，AE＝8cm.∴BE＝2cm，BD＝4cm，∵BE2＋DE2≠BD2，∴DE与AB不垂直，故DE⊥AB时，DE不是最小，小超猜想不正确．

2.解：

（1）4.6（可相差0.1～0.2）；

（2）画函数图象如解图；

第2题解图

（3）4.7或1.3.（可相差0.1～0.2）

【解法提示】①当CD＝BD，即y1＝y2时，x的值约为4.7，即DA的长度约为4.7cm；②当CD＝BC时，由表中数据可得，当CD＝0即y2＝0时，y1＝3，∴BC＝3.∴CD＝BC＝3，即y2＝3时，x的值约为1.3或5（舍去），即DA的长度约为1.3cm；综上所述，DA的长度约为4.7cm或1.3cm.

3.解：

（1）5.70；（可相差0.1～0.2）

（2）画函数图象如解图；

第3题解图

（3）①6；

【解法提示】连接BE，

为半圆，∴BE为圆的直径，∴∠BAE＝90°.∴当点C与点E重合时，y1＝y2，如解图，当y1＝y2时，x＝6，即BE＝BC＝6cm.

②4.47（可相差0.1～0.2），6.

【解法提示】当∠ABC＝90°时，x＝y1，x的长度约为4.47，即BC的长度约为4.47cm；当∠BAC＝90°，由①可得BC＝6cm.

4.解：

（1）3.02；（可相差0.1～0.2）

（2）画函数图象如解图①所示；

第4题解图①

（3）2.40或5.55.（可相差0.1或0.2）

【解法提示】在△APQ中，∠AQP＝90°，∴①当∠APQ＝30°时，AP＝2AQ，即y1＝

x；②当∠PAQ＝30°时，AP＝2PQ，即y2＝

x；如解图②，作函数y＝

x的图象，分别与函数图象y1，y2交点的横坐标即是AP的长度，则AP的长度约为2.40cm或5.55cm.

第4题解图②

类型三　新函数性质探究问题

1.解：

（1）画函数图象如解图：

第1题解图

（2）①1.41；7.75；（可相差0.1～0.2）

【解法提示】①由函数图象得：

某病人第一次服药后5小时，即t＝5时，y＝1.41，即每毫升血液中的含药量约为1.41微克；当y＝0.5时，t＝0.25或8，8－0.25＝7.75（小时），∴则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时．

②4.25；（可相差0.1或0.2）

【解法提示】第二次服药，服药后2小时即第一次服药后10小时，若没进行第二次服药，每毫升血液中含药量为0.25微克，若第一次服药没对第二次服药造成影响，则第二次服药后2小时每毫升血液中含药量为4微克，∴在本题中，第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为：

4＋0.25＝4.25微克．

2.解：

（1）x≠0；

【解法提示】∵x在分母上，∴x≠0.故函数y＝

x2－

的自变量x的取值范围是x≠0.

（2）画出该函数在y轴左侧的图象如解图：

第2题解图

（3）①－1.6；（在－1.9至－1.3之间即可）

②当x＞0时，y随x的增大而增大．