北京数学二模分类汇编之函数导数.doc
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北京市各区11年二模文导数试题集锦
18.（本小题满分14分）（昌平区11年二模文）
设函数
（Ⅰ）若函数在处取得极小值是，求的值;
（Ⅱ）求函数的单调递增区间;
（Ⅲ）若函数在上有且只有一个极值点,求实数的取值范围.
解：
（I）.......3分
得......4分
解得：
………5分
（II）
令…..7分
当，即的单调递增区间为….8分
当，即的单调递增区间为….9分
当，即的单调递增区间为…..10分
（Ⅲ）由题意可得：
……12分
的取值范围……14分
（18）（本小题共13分）（东城区11年二模文）
已知函数（）．
（Ⅰ）若，求证：
在上是增函数；
（Ⅱ）求在上的最小值．
证明（Ⅰ）：
当时，，
当时，，
所以在上是增函数．……………………5分
（Ⅱ）解：
，
当时，，
在上单调递增，最小值为．
当，当时，单调递减；
当时，单调递增．
若，即时，在上单调递增，
又，所以在上的最小值为．
若，即时，在上单调递减；
在上单调递增．
又，
所以在上的最小值为．
综上，当时，在上的最小值为；
当时，在上的最大值为．………13分
18.（本小题共14分）（丰台区11年二模文）
已知函数．
（Ⅰ）当时函数取得极小值，求a的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
解：
（Ⅰ）函数的定义域为∪，………………1分
．………………3分
∵时函数取得极小值，
∴．………………4分
∴．………………5分
当时，在内，在内，………………6分
∴是函数的极小值点．
∴有意义．………………7分
（Ⅱ）的定义域为∪，
．
令，得．………………9分
（ⅰ）当时，
0
极小值
………………11分
（ⅱ）当时，
0
极小值
综上所述：
………………13分
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．
………………14分
18.（本小题共14分）（海淀区11年二模文）
已知函数
（I）若，求函数的解析式；
（II）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围.
解：
（Ⅰ）因为，…………………2分
由即得 ，…………………4分
所以的解析式为.…………………5分
（Ⅱ）若，则，，…………………6分
（1）当，即时，恒成立，那么在上单调递增，
所以，当时，在区间上单调递增；…………………8分
（2）解法1：
当，即或时，
令解得，…9分
列表分析函数的单调性如下：
…………………10分
要使函数在区间上单调递增，
只需或，
解得或.…………………13分
解法2：
当，即或时，
因为的对称轴方程为…………………9分
要使函数在区间上单调递增，
需或
解得或.…………………13分
综上：
当时，函数在区间上单调递增.…………………14分
18.（本小题满分14分）（西城区11年二模文）
设函数，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.
解：
（Ⅰ）由已知，
所以，……………2分
由，得，……………3分
所以，在区间上，，
函数在区间上单调递减；……………4分
在区间上，，
函数在区间上单调递增；……………5分
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ）因为，
所以曲线在点处切线为：
.……………7分
切线与轴的交点为，与轴的交点为，……………9分
因为，所以，……………10分
，……………12分
在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.
…………13分
所以，当时，有最大值，此时，
所以，的最大值为.……………14分
18.（本小题满分13分）（顺义区11年二模文）
设函数，其图像过点（0,1）.
（1）当方程的两个根分别为是，1时,求f（x）的解析式；
（2）当时，求函数f（x）的极大值与极小值.
解：
由题意可知，f（0）=1所以c=1………………………………….……………………….1分
（Ⅰ）由得.
因为，即的两个根分别为
所以解得
故………………………………….……………………….6分
（Ⅱ）
所以，………………………………….……………………….7分
①若b>0，则当时，函数f（x）单调递增
当时，函数f（x）单调递减
当时，函数f（x）单调递增
因此，f（x）的极大值为f（0）=c=1,
f（x）的极小值为……………………………….……………………….10分
②若b<0，则当时，函数f（x）单调递增
当时，函数f（x）单调递减
当时，函数f（x）单调递增
因此，f（x）的极大值为
f（x）的极小值为f（0）=1.
综上所述，当b>0时,f（x）的极大值为1,极小值为,
当b<0时,f（x）的极大值为,极小值为1.……………….……………………….13分
20.（本小题满分13分）
若函数对任意的，均有，则称函数具有性质.
（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由.
①；②.
（Ⅱ）若函数具有性质，且（），
求证：
对任意有；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例.
证明（Ⅰ）：
①函数具有性质.……………1分
，
因为，，……………3分
即，
此函数为具有性质.
②函数不具有性质.……………4分
例如，当时，，
，……………5分
所以，，
此函数不具有性质.
（Ⅱ）假设为中第一个大于的值，……………6分
则，
因为函数具有性质，
所以，对于任意，均有，
所以，
所以，
与矛盾，
所以，对任意的有.……………9分
（Ⅲ）不成立.
例如……………10分
证明：
当为有理数时，均为有理数，
，
当为无理数时，均为无理数，
所以，函数对任意的，均有，
即函数具有性质.……………12分
而当（）且当为无理数时，.
所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成立.……………13分
（其他反例仿此给分.
如，，，等.）
20.（本小题满分14分）（顺义区11年二模文）
对于定义域分别为的函数，规定：
函数
（1）若函数,求函数的取值集合；
（2）若，其中是常数，且，请问，是否存在一个定义域为的函数及一个的值，使得，若存在请写出一个的解析式及一个的值，若不存在请说明理由。
解
（1）由函数
可得
从而……………………………………………..2分
当时，…………………….4分
当时，…………….6分
所以的取值集合为…………………………….7分
（2）由函数的定义域为，得的定义域为
所以，对于任意,都有
即对于任意,都有
所以，我们考虑将分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化
所以，令，且，即可………………………………..14分
又
所以，令，且，即可（答案不唯一）
18、（本小题满分13分）（朝阳区11年二模文）
已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，都有成立，求实数的取值范围.
解：
（Ⅰ）的定义域是，.…………………………2分
（1）当时，成立，的单调增区间为；……3分
（2）当时，
令，得，则的单调增区间是.…………4分
令,得，则的单调减区间是.…………5分
综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间是，的单调增区间是.………………………6分
（Ⅱ）当时，成立，.………………………………7分
当时，成立，
即时，成立.
设，…………………………………………………………9分
所以=.………………………………10分
当时，，函数在上为减函数；…………11分
时，，函数在上为增函数.…………12分
则在处取得最小值，.则.
综上所述，时，成立的的范围是.…………13分
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