中考数学真题解析30 一元二次方程的应用含答案Word格式文档下载.docx

中考数学真题解析30 一元二次方程的应用含答案Word格式文档下载.docx

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分析：

可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．

解答：

方格纸的边长是x，

x2﹣

•x•

x﹣

•

x•

x=

x2=12．

所以方格纸的面积是12，

故选B．

点评：

本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．

3.（2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）

B．

D．

根据题意得：

每人要赠送x-1张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．

每人要赠送x-1张相片，有x个人，∴全班共送：

（x-1）x=2070，

故选：

此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．

4.（2011贵州毕节，10，3分）广州亚运会期间，某纪念品原价168元，连续两次降价

后售价为128元，下列所列方程正确的是（）

由实际问题抽象出一元二次方程。

增长率问题。

本题可先用168（1﹣a%）表示第一次降价后某纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．

当某纪念品第一次降价a%时，其售价为168﹣168a%=168（1﹣a%）；

当某纪念品第二次降价a%后，其售价为168（1﹣a%）﹣168（1﹣a%）a%=168（1﹣a%）2．∴168（1﹣a%）2=128．故选B．

本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．

5.（2011广西百色，11，4分）某工厂今年元月份的产量是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程（　　）

A．72（x+1）2=50B．50（x+1）2=72

C．50（x﹣1）2=72D．72（x﹣1）2=50

根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50（1+x），3月份的产值是50（1+x）（1+x），从而列方程即可．

根据题意，得

50（x+1）2=72．

此题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，此题中的等量关系是3月份的产值达到了72万元．

6.（2011湖北黄石，8,3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线．则n的值为（　　）

A．5B．6C．7D．8

规律型。

这是个规律性题目，关键是找到不在同一直线上的n个点，可以确定多少条直线这个规律，当有n个点时，就有

，从而可得出n的值．

设有n个点时，

=21

n=7或n=﹣6（舍去）．

本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入21可求出解．

二、填空题

1.（2011•宁夏，13，3分）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为　36（1﹣m%）2=25　．

等量关系为：

原价×

（1﹣降低率）2=25，把相关数值代入即可．

第一次降价后的价格为36×

（1﹣m%），

第二次降价后的价格为36×

（1﹣m%）×

（1﹣m%）=36×

（1﹣m%）2，

∴列的方程为36（1﹣m%）2=25．

故答案为：

36（1﹣m%）2=25．

本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±

x）2=b．

2.（2011山西，15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力．2010年全省全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为__________．

一元二次方程

设年平均增长率应为x，根据题意列方程

，解得，检验即可．

20%

增长率的基本关系式：

，其中a为原有量，b为现有量，n为增长的次数，x为增长率．

3.某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20%．

一元二次方程的应用．

本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．

设这个增长率是x，根据题意得：

2000×

（1+x）2=2880

解得：

x1=20%，x2=-220%（舍去）

20%．

本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．

4.（2011云南保山，13，3分）据调查，某市2011年的房价为4000元/m2，预计2013年将达到4840元/m2，求这两年的年平均增长率.设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）

A．4000（1+x）=4840B．4000（1+x）2=4840

C．4000（1-x）=4840D．4000（1-x）2=4840

根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2013年的房价，而预计2013年将达到4840元/m2，故可得到一个一元二次方程．

设年平均增长率为x，

那么2012年的房价为：

4000（1+x），

2013年的房价为：

4000（1+x）2=4840．

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：

解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．

5.（2011•青海）某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是　20%　．

此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），即100（x﹣1）2元，从而列出方程，求出答案．

设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1﹣x）2元．

根据题意，得100（1﹣x）2=64，

即（1﹣x）2=0.64，

解得x1=1.8，x2=0.2．

因为x=1.8不合题意，故舍去，

所以x=0.2．

即每次降价的百分率为0.2，即20%．

考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．

6.（2011山东省潍坊，16，3分）已知线段AB的长为

．以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E．以AE为边在AB的上方作正方形AKNM．过E作EF⊥CD．垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等．则AE的长为________________．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】本题需先设出AE的长，从而得出BE的长，再根据题意列出方程，求出x的值即可得出AE的长．

【解答】解：

设AE的长为x，则BE的长为a-x

x2=（a-x）•a

x=

．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是本题的关键．

7.（2011•山西15，3分）“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为　　．

根据题意设年平均增长率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案．

则1000（1+x）2=1440，

解得x1=0.2或x2=﹣2.2（舍去），

故年平均增长率为20%；

故答案为20%．

本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．

8.（2011四川省宜宾市，15，3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是.

设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是x，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解．

答案：

设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是x，

240（1+x）2=345.6，

1+x=±

1.2，

x=20%或x=-220%（舍去）．

本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．

9.（2011•江苏宿迁，16，3）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是　　m（可利用的围墙长度超过6m）．

应用题；

方程思想。

设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6﹣2x），（6﹣2x）和x就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．

设AB长为x米，则BC长为（6﹣2x）米．

依题意，得x（6﹣2x）=4．

整理，得x2﹣3x+2=0．

解方程，得x1=1，x2=2．（3分）

所以当x=1时，6﹣2x=4；

当x=2时，6﹣2x=2（不符合题意，舍去）．

答：

AB的长为1米．

1．

本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题是用6米的篱笆围成三个边．

10.某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为350×

（1-x）2=299．

设家用电器平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1-x），第二次后的价格是100（1-x）2，据此即可列方程求解．

设降价的百分率为x，根据题意列方程得

350×

考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

11.（2011天水，14，4）如图

（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？

设宽为xm，从图

（2）的思考方式出发列出的方程是　　．

设宽为xm，从图

（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．

设宽为xm，

（32﹣2x）（20﹣x）=570．

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程．

三、解答题

1.（2011江苏镇江常州，26，7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：

甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；

甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；

乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

t

1

2

3

y2

21

44

69

（1）求a．b的值；

（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？

（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？

（说明：

毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

一元二次方程的应用；

二元一次方程组的应用；

一元一次不等式的应用．

销售问题．

（1）根据表中的数据代入后，y2=at2+bt，得到关于a，b的二元一次方程，从而可求出解．

（2）设干果用n天卖完，根据两个关系式和干果共有1140千克可列方程求解．然后用售价﹣进价，得到利润．

（3）设第m天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，从而可列出不等式求解．

（1）根据表中的数据可得

（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．

﹣n2+4n+n2+20n=1140

n=19，

当n=19时，y1=399，y2=741，

毛利润=399×

8+741×

6﹣1140×

6=798（元）．

（3）设第m天甲级干果的销售量为﹣2m+19．

（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6

n≥7

第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．

本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程方程组求出a和b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解．

2.（2011山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；

（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷

单位面积所需钱数可得结果．

（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分）

根据题意，得：

2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，

整理，得：

x2+3x﹣1.75=0，（3分）

解之，得：

，

∴x1=0.5，x2=﹣3.5（舍去），（5分）

每年市政府投资的增长率为50%；

（6分）

（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷

=38

（万平方米）．（8分）

主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．

3.（2011四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9．8折销售；

②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

一元二次方程的应用，增长（降低）率问题，方案选择问题．

一元二次方程、最优化方案问题．

（1）设平价每次下调的百分率为

，则第一次下调后的价格为

元，第二次下调是在

元的基础上进行的，下调后的价格为

元，即

，由此可列出一元二次方程求解．

（2）根据题意分别计算两种优惠方案可以优惠的钱数，通过比较大小即可作出判断．

（1）设平均每次下调的百分率x，则6000（1－x）2＝4860．

x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．

∴平均每次下调的百分率10%．

（2）方案①可优惠：

4860×

100×

（1－0.98）＝9720元

方案②可优惠：

80＝8000元．

∴方案①更优惠．

对于平均增长（降低）率问题，应用公式

可直接列方程，

为增长率（降低）前的基础数量，

为增长率（降低率），

为增长（降低）的次数，

为增长（降低）后的数量．要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．

4.（2011新疆建设兵团，23，10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销售量P（个）与每个书包销售价x（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；

定价为37元时，每天销售26个．问：

如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售单价应定为多少元？

待定系数法求一次函数解析式．

根据题意找出涨价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解，设此时书包的单价是x元．

（30﹣26）÷

（37﹣35）＝2，每涨价1元，少卖2个．

设此时书包的单价是x元．

（x﹣30）[30﹣2（x﹣35）]＝200，

x＝40．

故此时书包的单价是40元．

本题考查理解题意的能力，关键看出涨价和销售量的关系，然后根据利润列方程求解．

5.（2011•贵港）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．

（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；

另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．

一元一次不等式的应用。

（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解．

（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；

另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解．

（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，…（2分）

根据题意，75（1+x）2=108…（3分）

1.2

∴x1=0.2=20%x2=﹣2.2（不合题意，舍去）…（4分）

2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%．…（5分）

（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，由题意得：

…（6分）

（108×

0.9+y）×

0.9+y≤125.48…（8分）

解得y≤20…（9分）

从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆…（10分）

本题第一问考查的是一个增长率问题，知道2008年的辆数，知道2010年的辆数，发生了两年变化，可列方程求解．第二问以汽车总量做为不等量关系，根据增加的和报废的，可求出结果．

6.（2011•西宁）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；

②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．

请问哪种方案更优惠？

（1）关系式为：

（1﹣降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；

（2）①费用为：

总房价×

；

②费用为：

总房价﹣2×

12×

1.5×

平米数，把相关数值代入后求出解，比较即可．

（1）设平均每次下调的百分率为x．

5000×

（1﹣x）2=4050．

（1﹣x）2=0.81，

∵1﹣x=0.9，

∴x=0.1=10%，

平均每次下调的百分率为10%；

（2）方案一的总费用为：

4050×

=396900元；

方案二的总费用为：

4050﹣2×

100=4014