二次函数复习专题讲义全.docx
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二次函数复习专题讲义全
第1-3讲二次函数全章综合提高
知识清单】
※一、网络框架
※二、清单梳理
概念：
形如yax2（a0）的函数
简单二次函数图像：
是过（0,0）的一条抛物线
对称轴：
y轴
性质最值：
当a0时，y最小值=0；当a0时，y最大值=0
当a0时，在对称轴左边（即x0）,y随x的增大而减小。
在对称轴右边（即x0）,y随x的增大而增大。
当a0时，在对称轴左边（即x0）,y随x的增大而增大。
在对称轴右边（即x0）,y随x的增大而减小。
概念：
形如yax2bxc（a0）的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
二次函数
待定系数法求解析式
应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题
122
22
y2x2,y2x26,y
13x24x,y5x29x6等都是二次函数。
注意：
系数a
不能为零，b,c可以为零。
2、二次函数的三种解析式（表达式）
①一般式：
y
2ax
bxc（a0,a,b,c是常数）
②顶点式：
y
a（x
h）2k（a,h,k为常数，且a0），顶点坐标为（h,k）
③交点式：
y
a（x
x1）（xx2）（a0,其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标）
3、二次函数的图像位置与系数a,b,c之间的关系
1a：
决定抛物线的开口方向及开口的大小。
当a0时，开口方向向上；当a0时，开
口方向向下。
|a|决定开口大小，当|a|越大，则抛物线的开口越小；当|a|越小，则抛物线的开口越大。
反之，也成立。
2c：
决定抛物线与y轴交点的位置。
当c0时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴（即x轴上方）；当c0时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴（即x轴下方）；当c0时，抛物线过原点。
反之，也成立。
3a和b：
共同决定抛物线对称轴的位置。
当b0时，对称轴在y轴右边；当b02a2a
时，对称轴在
y轴左边；当
b
2a
0（即当b
0时）对称轴为y轴。
反之，也成立。
④特别：
当x
1时，有y
ab
c；当x
1时，有yabc
。
反之也成立。
4、二次函数
ya（xh）2
k的图像可由抛物线
yax2向上（向下），
向左（向右）平移
而得到。
具体为：
当h0时，抛物线ya
x2向右平移h个单位；
当h
0时，抛物线y
2ax
向左平移h个单位，得到y
a（x
h）2；
当k0时，抛物线y
a（x
2
h）再向上平移
k个
单位，当k0时，抛物线y
a（x
2
h）再向下平移
k个单位，
而得到
2ya（xh）
k的
图像。
2
5、抛物线yax2bxc（a
0）与一元
二次方程
ax2bxc
0（a
0）的关系：
①若抛物线yax2
bx
c（a
0）与x
轴有两个交点，
则一元二次
方程
ax2bxc0（a0）有两个不相等的实根。
②若抛物线yax2bxc（a0）与x轴有一个交点，则一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个相等的实根（即一根）。
③若抛物线yax2bxc（a0）与x轴无交点，则一元二次方程2
ax2bxc0（a0）没有实根。
2
6、二次函数yax2bxc（a0,a,b,c是常数）的图像与性质
关系式
yax2bxc（a
0）
y
a（x
h）2k（a0）
图像形状
抛物线
2
（b,4acb）
（h,k）
顶点坐标
2a4a
对称轴
b
x
2a
xh
在图像对称轴左侧，即
b
x
2a
或x
h，
y随x的增大而减
a
0
小；在图像对称轴右侧，
即x
b
2a
或x
h，y随x的增大
增
而增大；
减
性
在图像对称轴左侧，即
b
x
2a
或x
h，
y随x的增大而增
a
0
大；在图像对称轴右侧，
即x
b
2a
或x
h，y随x的增大
而减小；
最大值
a
0
当xb时，y最小值
2a
=4acb
4a
2
当x
h时，y最小值=k
最小值
a
0
b
当x时，y最大值
2a
4acb
4a
2
当x
h时，y最大值=k
考点解析】考点一：
二次函数的概念
例1】下列函数中是二次函数的是（）
3的形式，所以是二次函数，B,C分别是一次函数和反比例函数，D中右边24不是整式，
x
显然不是二次函数。
【答案】A
2m23m4
【例2】已知函数y（m22m）xm3m43mx（m1）是二次函数，则m。
【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次
数为2”。
故有
2m
2m
0
m0且m2
，解得，综上所述，
m取1。
2m
3m
4
2m1或m2
【答案】1
【针对训练】
1、若函数y
（m
2m2）x
2
mx是二次函数，则该函数的表达式为
y__
考点二：
待定系数法在求解二次函数解析式中的应用
A.
2B.2C.2D.2
中，可以得出a38，则可得a2，
【答案】A.
【例2】（2011，泰安）若二次函数yax2bxc的x与y的部分对应值如下表，则当x1时，y的值为（）
x
7
6
5
4
3
2
y
27
13
3
3
5
3
A.5B.3C.1327
2
【解析】设二次函数的解析式为yaxhk，因为当x4或2时，y3，
2由抛物线的对称性可知h3，h5，所以yax325，把2,3代入得，
2
a2，所以二次函数的解析式为y2x325，当x3时，y27。
【答案】C
【针对训练】
1、（2002年太原）过1,03,01,2三点的抛物线的顶点坐标是（）
A.1,2
B.（1,23）
3
C.
1,5
14
D.（2,14）
3
2、无论
m为何实数，二次函数
2yx
2mx
m的图象总是过定点（）
A.1,3
B.1,0
C.1,3
D
1,0
【例3】
（2010，石家庄一
模）如
图所示，
在平面直角坐标系中，二次函数
yax2bxc的图象顶点为A.2,2，且过点B0,2，则y与x的函数关系式为（）
2222
A.yx22B.yx222C.yx222D.yx222
2
【解析】设这个二次函数的关系式为yax222，将B0,2代入得
22
20222，解得：
a1，故这个二次函数的关系式是yx222，【答案】D
【针对训练】
12
1、二次函数y2x2bxc的顶点为（2,1），则二次函数的解析式为.
2
【例4】二次函数yx2bxc过点（3,0）、（1,0），则二次函数的解析式为。
考点三：
二次函数的图像与性质的综合应用（与系数a,b,c的关系）
【例1】（2012，兰州）已知二次函数ya（x1）2b（a0）有最小值1，则a、b的大小关系为（）
A.abB.abC.abD.不能确定
【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值
【解析】因为二次函数ya（x1）2b（a0）有最小值1，所以a0，b1，b1，
所以ab。
【答案】A.
【针对训练】
2
1、二次函数y2x24x1的最小值是。
2
2、（2013，兰州）二次函数y2（x1）23的图象的顶点坐标是（）
A.（1，3）B.（1，3）C.（1，3）D.（1，3）
D.（1，1）
3、抛物线yx（x2）的顶点坐标是（
A.（1，1）B.（1，1）C.（1，1）
【例2】（2012，兰州）抛物线y（x2）23可以由抛物线yx2平移得到，则下列平移过程正确的是（）
A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【考点】涉及函数平移问题
2
y（x2），再向下平移3个单
2
解析】抛物线yx2向左平移2个单位可得到抛物线位可得到抛物线y（x2）23。
【答案】B.
针对训练】
22
x2；（3）y（x1）22。
2
1、（2012，南京）已知下列函数：
（1）yx2；
（2）y
选项的序号）
2、（2009，上海）将抛物线y
x22向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的
抛物线的表达式是
3、将抛物线yx2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）
A.yx22B.y（x2）2C.y（x2）2D.yx22
4、将抛物线yax2bxc（a0）向下平移3个单位，在向左平移4个单位得到抛物线
2
y2x24x5，则原抛物线的顶点坐标是。
yabc0。
显然选项A、B、C都正确，只有选项D错误。
【答案】D.
D.当x0时，y随x的增大而减小
考点】图像与性质的综合应用
称性可知B选项正确，
【针对训练】
1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数ymxm和函数
示，则下列结论中，正确的是（
2
ax2ax的图象大致是（
A.
B.
C.
D.
4、如图所示，二次函数yax2
bx
c（a0）的图像经过A（
1,2），且与x轴的交点的横
坐标分别为x1,x2，其中2
x1
1,0x21，下列结论
：
①4a2bc0；②
2
2ab0；③a1；④b2
8a
4ac，其中正确的选项有_
。
例5】已知关于x的函数y
x4x3，求当1x1时函数的最大值和最小值
【针对训练】
2
1、已知函数y2x24x1，试求当1x2的最大值和最小值
2
2、已知函数y2x24|x|1，试求当1x2的最大值和最小值
0）其中a、b、c满足abc0和
9a3bc0，则该二次函数的对称轴是直线
【针对训练】
1、已知A（x1,2002）、B（x2,2002）是二次函数yax2bx5（a0）的图像上的两点，则
当xx1
x2时，二次函数的值是.
2
例7】已知二次函数yx22mx2，当x2时，y的值随x值的增大而增大，则实
数m的取值范围是。
【针对训练】
1、若二次函数y（xm）21，当x1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是
讲到这儿了
考点四：
二次函数的实际应用
【例1】（2011，重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，
从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）x与月
份（1x9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1（元/件）
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2
元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一
次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本
30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p10.1x1.1
（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式
p20.1x2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并
求出这个最大利润；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年
增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整
数值．
（参考数据：
99=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）
【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。
【解析】
（1）把表格
（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式．把（10，
730）（12，750）代入直线解析式可得y2的解析式，；
（2）分情况探讨得：
1x≤9时，
利润=p1×（售价﹣各种成本）；10≤x≤12时，利润=p2×（售价﹣各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。
解：
2
p2（10005030y2）（x29）2
∴x=10时，W最大=361元；
（3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万，件）
今年原材料价格为：
750+60=810（元）
今年人力成本为：
50×1（+20%）=60元．
∴5×[1000×（1+a%）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×a%）=1700，
设ta%，整理得10t299t100，
解得t999401
20
∵9401更接近于9409，
∴940197，
∴t1≈0.1，t2≈9.8，
∴a1≈10或a2≈980，
∵1.7（1﹣0.1×a%）≥1，
∴a≈10．
【答案】
（1）y210x630（10≤x≤12，且x取整数）；
（2）x=10时，W最大=361元；（3）a≈10
【针对训练】
1、（2013湖北孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。
经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
例2】（2010，孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线二次函数的图象交于A,B两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为y=；
（2）证明点（m,2m1）不在
（1）中所求的二次函数的图象上；
（3）若C为线段AB的中点，过C点作CEx轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．
①y轴上存在点K，使以K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形，则KK点的坐标
是；
②二次函数的图象上是否存在点P，使得SPOE2SABD？
求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。
【解析】
（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2,0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．
（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式．（3）由直线yx1与二次函数的图象交于A,B两点，解得A,B两点坐标，求出D点坐标，①设K点坐标（0,a），使K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形，则KADC，且BA//DK，进而求
出K点的坐标．②过点B作BFx轴于F，则BF//CE//AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到SPOE2SABD，设P（x,1x2x1），由题意可以解出x．
4
12
（1）解：
yx2x1
4
（2）证明：
设点（m,2m1）在二次函数y1x2x1的图象上，4
12则有：
2m1m2m1，
4
整理得m24m80，
2
∵（4）248160
∴原方程无解，
∴点（m,2m1）不在二次函数y1x2x1的图象上．
4
（3）解：
①K（0,3）或（0,5）
②二次函数的图象上存在点P，使得SPOE2SABD，
∴E（4,0）,D（4,1）,C（4,5）
∴AD//x轴，
∴存在点P（6,16）和P（10,16），使得SPOE2SABD
答案】
（1）y1x2
4
x1；
（2）见上述解答过程；（3）存在，点P（6,16）和P（10,16）
例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y8x2bxc经过点A（3,0）和点
52
B（1,22），与x轴的另一个交点为C。
1）求抛物线的函数表达式；
2）点D在对称轴的右侧、x轴上方的抛物线上，且BDADAC，求点D的坐标；
3）在
（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE。
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M和点B不重合，当
1
BMFMFO时，请直接写出线段BM的长
3
【答案】
（1）y82x282x42222（2x3）（2x7）
555
（2）BD//ACD（4,22）
15
（3）平行四边形；或
22
【针对训练】
1、（2012，泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0,2）旋转，与经过点C（0,1）的
12
二次函数yx2h的图象交于不同的两点P、Q．
4
（1）求h的值；
3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：
在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ
是否为梯形？
若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．
【基础闯关】
1、已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，那么这个函数的解析式为
4、（2011，济宁）将二次函数yx24x5化成y（xh）2k的形式，则
y。
2
5、（2006，陕西）如图，抛物线的函数表达式是（）A.yx2x2
B.yx2x2
C.yx2x2D.yx2x2
2
6、已知函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，则函数yaxb的图象是（）
9、（2013，贵阳）已知：
直线yaxb过抛物线y
（2）若直线yaxb经过另一点A（0，11），求出该直线的表达
式；
（3）在
（2）的条件下，若有一条直线ymxn与直线yaxb
2
关于x轴成轴对称，求直线ymxn与抛物线yx22x3的
交点坐标．
2
10、（2010，虹口区一模）已知二次函数yx22x3，解答下列问题：
2
（1）用配方法将该函数解析式化为ya（xm）2k的形式；
（2）指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．
【拓展提高】
2
1、将二次函数y2（x1）23的图象沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是。
2、若抛物线yx22xm的最低点的纵坐标为n，则mn的值是。
3、抛物线yax2bxc的顶点坐标是1,3，且过点0,5，那么二次函数2
yax2bxc的解析式为（）
22
A.y2x24x5B.y2x24x5
22
C.y2x24x1D.y2x24x3
4、（2010，兰州）抛物线yx2bxc图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为yx22x3，则b、c的值为（）
A.b2，c2B.b2，c0C.b2，c1
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