2011年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)参考答案及评分标准文档格式.doc
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A．B.C.D．
6.函数为自然对数的底数在上
A．有极大值B.有极小值C.是增函数D．是减函数
开始
＝3
k＝k＋1
输出k,n
结束
是
否
输入
7.阅读图1的程序框图.若输入,则输出的值为
A．B．
C．D．
8.已知、是不同的两条直线，、是不重合的两个平面，
则下列命题中为真命题的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
图1
9.向等腰直角三角形内任意投一点,则小于的概率为
A．B．C．D．
10.某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件
则该校招聘的教师人数最多是
A．6B．8C．10D．12
二、填空题：
本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）
11.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况,
抽取出该地区若干户居民的用电数据,得到频
率分布直方图如图2所示,若月均用电量在
区间上共有150户,则月均用电
量在区间上的居民共有户.
12.△的三个内角、、所对边的
长分别为、、，已知,
则的值为.
13.已知函数满足且对任意R都有，
记，则.
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）如图3,是圆的切线,切点为,
点、在圆上，，
则圆的面积为.
15.（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，若过点
且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，图3
则.
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数（R）.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）若为锐角，且，求的值.
17.（本小题满分12分）
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重
量（单位：
克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.
（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；
（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.
18.（本小题满分14分）
如图5,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,
.
（1）求证：
平面；
（2）求四棱锥的体积.
图5
19．（本小题满分14分）
动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．圆
的圆心是曲线上的动点,圆与轴交于两点，且.
（1）求曲线的方程；
（2）设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系,
并说明理由.
20.（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列的前项和为,已知数列是首项为,公差为的等差
数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，若不等式对任意N都成立，
求实数的取值范围.
21.（本小题满分14分）
已知函数满足,对于任意R都有,且
令.
（1）求函数的表达式；
（2）求函数的单调区间；
（3）研究函数在区间上的零点个数.
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
11.30012.13.3214.15.
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查三角函数性质,同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力）
（1）解:
……2分
……3分
.……4分
∴的最小正周期为,最大值为.……6分
（2）解:
∵,∴.……7分
∴.……8分
∵为锐角，即,∴.
∴.……10分
∴.……12分
17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）
（1）解：
……1分
……2分
……3分
……4分
∵,,……5分
∴甲车间的产品的重量相对较稳定.……6分
从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:
.……8分
设表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则的基本事件有4种:
.……10分
故所求概率为.……12分
（本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）证明:
连接,设与相交于点,连接,
∵四边形是平行四边形,
∴点为的中点.
∵为的中点，
∴为△的中位线,
∴.……3分
∵平面,平面,
∴平面.……6分
（2）解法1:
∵平面,平面,
∴平面平面，且平面平面.
作，垂足为，则平面，……8分
∵，，
在Rt△中，，，
……10分
∴四棱锥的体积……12分
.
∴四棱锥的体积为.……14分
解法2:
∴.
∵,
∴平面.……8分
取的中点,连接,则,
∴平面.
三棱柱的体积为,……10分
则,.
……12分
而,
∴.∴.
∴四棱锥的体积为.……14分
（本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）
（1）解法1:
设动点的坐标为,依题意,得,
即,……2分
化简得:
∴曲线的方程为.……4分
解法2:
由于动点与点的距离和它到直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线.
……2分
∴曲线的方程为.……4分
（2）解:
设点的坐标为,圆的半径为，
∵点是抛物线上的动点,
∴（）.
∴……6分
.
∵,∴,则当时,取得最小值为,……8分
依题意得,
两边平方得,
解得或（不合题意,舍去）.……10分
∴,,即.
∴圆的圆心的坐标为.
∵圆与轴交于两点，且,
∴.
∴.……12分
∵点到直线的距离,
∴直线与圆相离.……14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识）
（1）解：
∵数列是首项为,公差为的等差数列，
∴.
∴.……2分
当时，；
当时，.
又适合上式.
∴.……4分
（2）解：
.……6分
∴
.……8分
故要使不等式对任意N都成立，
即对任意N都成立，
得对任意N都成立.……10分
令，则.
∴.∴.……12分
∴.
∴实数的取值范围为.……14分
[另法]:
.
∴.∴.……12分
∴实数的取值范围为.……14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识）
∵，∴.……1分
∵对于任意R都有,
∴函数的对称轴为，即，得.……2分
又，即对于任意R都成立，
∴,且．
∵，∴．
∴．……4分
（2）解：
……5分
①当时，函数的对称轴为，
若，即，函数在上单调递增；
……6分
若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．
……7分
②当时，函数的对称轴为，
则函数在上单调递增，在上单调递减．……8分
综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为
；
……9分
当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为
和．……10分
（3）解：
①当时，由
（2）知函数在区间上单调递增，
又，
故函数在区间上只有一个零点．……11分
②当时，则，而，
，
（ⅰ）若，由于，
且，
此时，函数在区间上只有一个零点；
……12分
（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间
上有两个不同的零点．……13分
综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；
当时，函数在区间上有两个不同的零点．……14分
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