北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》同步练习含答案Word格式.docx

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D．45°

11．如图1－2－9，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°

，E为AB的中点．求证：

CE＝DE.

　　　　　　　　　　　　　　　　　图1－2－9

12．如图1－2－10，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　）

A．3B．4C．5D．6

图1－2－10　　　

图1－2－11

13．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．5B．8C．13D．20

14．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10cm，则矩形ABCD的周长为（　　）

A．15cmB．18cmC．19cmD．20cm

图1－2－12

图1－2－13

15．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝________cm.

16．2017·

荆州如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.

（1）求证：

△ACD≌△EDC；

（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．

图1－2－14

17．定义：

我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．

性质：

如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．

理解：

如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.

应用：

如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝FB，AF与BE交于点O.

△AOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．

图1－2－15

答案：

1．C　

2．A　

3．C　.

4．证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝90°

，AD＝BC.

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，

即∠AOD＝∠BOC.

在△AOD和△BOC中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，

∴△AOD≌△BOC，∴AO＝BO.

5．B

6．A　

7．2.5　

8．证明：

∴AC＝BD，AD∥BC.

又∵BE∥AC，

∴四边形AEBC是平行四边形，

∴BE＝AC，∴BE＝BD.

9．A　.

10．C.

11．证明：

在Rt△ABC中，

∵E为斜边AB的中点，

∴CE＝12AB.

在Rt△ABD中，

∴DE＝12AB.

∴CE＝DE.

12．C　

13．D　

14．D

15．6　

16．解：

（1）证明：

∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°

.

由平移的性质得：

DE＝AC，EC＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°

，DC＝AB，

∴AD＝EC.

在△ACD和△EDC中，AD＝EC，∠ADC＝∠ECD，CD＝DC，

∴△ACD≌△EDC.

（2）△BDE是等腰三角形．理由如下：

∵AC＝BD，DE＝AC，

∴BD＝DE，

∴△BDE是等腰三角形．

17．解：

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BFO.

又∵∠AOE＝∠FOB，AE＝FB，

∴△AOE≌△FOB，∴EO＝BO，

∴AO是△ABE的边BE上的中线，

∴△AOB和△AOE是“友好三角形”．

（2）∵△AOE和△DOE是“友好三角形”，

∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝12AD＝12BC＝3.

∵△AOB和△AOE是“友好三角形”，

∴S△AOB＝S△AOE.

∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，

∴S△AOD＝S△ABF，

∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×

6－2×

12×

4×

3＝12.

第2课时　矩形的判定（典型题）

知识点1　根据定义判定

1．如图1－2－16，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）

A．AB＝BCB．AO＝CO

C．∠ABC＝90°

D．∠1＝∠2

2．木工师傅做一个矩形木框，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框________．（填“合格”或“不合格”）

图1－2－16　　　

图1－2－17

3．如图1－2－17，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．

4．如图1－2－18，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：

四边形AODE是矩形．

图1－2－18

知识点2　根据对角线相等判定

图1－2－19

5．如图1－2－19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（　　）

A．AO＝OCB．AC＝BD

C．AC⊥BDD．BD平分∠ABC

6．如图1－2－20，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，要使▱ABCD为矩形，则OB的长为（　　）

A．4B．3C．2D．1

图1－2－20　　　　

图1－2－21

7．如图1－2－21，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是不是矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．

（1）当AC________（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求；

（2）这种做法的根据是______________________．

8．教材例2变式题如图1－2－22，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝3.求四边形ABCD的周长．

　图1－2－22

知识点3　根据直角的个数判定

9．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：

①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；

②∠B＝∠C＝∠D；

③∠A＝∠B，∠C＝∠D；

④∠A＝∠B＝∠C＝90°

，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（　　）

A．1组B．2组C．3组D．4组

图1－2－23

10．如图1－2－23，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．

11．下列命题错误的是（　　）

A．有三个角是直角的四边形是矩形

B．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形

C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形

D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

12．如图1－2－24，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：

①AB∥DC；

②AB＝DC；

③AC＝BD；

④∠ABC＝90°

；

⑤OA＝OC；

⑥OB＝OD.

下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是（　　）

A．①②③B．②③④

C．②⑤⑥D．④⑤⑥

图1－2－24　　　

图1－2－25

13．如图1－2－25，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（　　）

A．∠BAC＝90°

B．BC＝2AE

C．ED平分∠AEBD．AE⊥BC

图1－2－26

14．如图1－2－26，已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是四边的中点，只要四边形ABCD的对角线AC，BD再满足条件________，则四边形EFGH一定是矩形．

15．如图1－2－27，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线．求证：

四边形PMQN是矩形．

图1－2－27

16．如图1－2－28，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：

四边形ADCE是矩形．

　图1－2－28

17．如图1－2－29，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.

△BOE≌△DOF；

（2）若OD＝12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？

请证明你的结论．

图1－2－29

18．如图1－2－30，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.

OE＝OF；

（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？

并说明理由．

图1－2－30

1．C

2．合格　

3．答案不唯一，如∠BAC＝90°

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°

∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形．

又∵∠AOD＝90°

，

∴四边形AODE是矩形．

5．B　

6．B

7．

（1）等于

（2）对角线相等的平行四边形是矩形

8．解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC＝2OA，BD＝2OB.

∵△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC＝90°

在Rt△ABC中，AC＝2OA＝2AB，BC＝3，由勾股定理，得AB＝AC2－BC2＝1，

∴四边形ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2（1＋3）．

9．B　

1012.

11．C

14．AC⊥BD

15．证明：

∵PM，PN分别平分∠APQ，∠BPQ，

∴∠MPQ＝12∠APQ，∠NPQ＝12∠BPQ.

∵∠APQ＋∠BPQ＝180°

∴∠MPQ＋∠NPQ＝90°

，即∠MPN＝90°

同理可证∠MQN＝90°

∵AB∥CD，∴∠APQ＋∠CQP＝180°

∴∠MPQ＋∠MQP＝90°

即∠PMQ＝90°

，∴四边形PMQN是矩形．

16．证明：

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.

∵D为BC的中点，∴CD＝BD.

∴CD∥AE，CD＝AE，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵AB＝AC，AB＝DE，

∴AC＝DE，

∴平行四边形ADCE是矩形．

∵DF∥BE，

∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.

∵O为AC的中点，∴OA＝OC.

∵AE＝CF，

∴OA－AE＝OC－CF，

即OE＝OF.

在△BOE和△DOF中，∠EBO＝∠FDO，∠BEO＝∠DFO，OE＝OF，

∴△BOE≌△DOF（AAS）．

（2）若OD＝12AC，则四边形ABCD是矩形．

证明：

∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.

∵OD＝12AC，

∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC，

∴四边形ABCD是矩形．

18．解：

∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，如图所示，

∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.

∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.

（2）∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°

∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝122＋52＝13，

∴OC＝12EF＝6.5.

（3）当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

理由：

当O为AC的中点时，AO＝CO.

又∵OE＝OF，

∴四边形AECF是平行四边形．

又∵∠ECF＝90°

∴四边形AECF是矩形．

第3课时　矩形的性质与判定的综合应用（典型题）

知识点　矩形性质与判定的应用

1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A．对边分别相等B．对角分别相等

C．对角线互相平分D．对角线相等

2．下列说法：

①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；

②对角线相等的四边形是矩形；

③有两个角相等的平行四边形是矩形；

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°

，那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是（　　）

A．22°

，68°

B．44°

，66°

C．24°

D．40°

，50°

4．如图1－2－31所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且EB平分∠AEC，则△ABE的面积为（　　）

A．2.4B．2C．1.8D．1.5

图1－2－31

图1－2－32

5．如图1－2－32，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________．

6．在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图1－2－33所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝________cm.

图1－2－33

图1－2－34

7．如图1－2－34，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．

8．如图1－2－35，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°

，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：

AE＝CE.

　图1－2－35

9．如图1－2－36，在矩形ABCD中（AD＞AB），E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）

A．△AFD≌△DCEB．AF＝12AD

C．AB＝AFD．BE＝AD－DF

图1－2－36

图1－2－37

10．如图1－2－37，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°

，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）

A．23B．33C．4D．43

11．如图1－2－38，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为（　　）

图1－2－38

A．4B．4.8C．5.2D．6

12．如图1－2－39，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，则对角线AC的长为________cm.

图1－2－39

图1－2－40

13．如图1－2－40，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．

14．教材例4变式题如图1－2－41，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AE∥BC，DE∥AB，连接CE，DE交AC于点G.

四边形ADCE为矩形；

（2）点F在BA的延长线上，请直接写出图中所有与∠FAE相等的角．

　图1－2－41

15．如图1－2－42，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.

求证：

四边形EFPH为矩形．

图1－2－42

16．2016·

贵阳期末如图1－2－43，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.

四边形BFDE为平行四边形；

（2）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．

图1－2－43

17．如图1－2－44，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.

四边形DAEF是平行四边形．

（2）探究下列问题（只填满足的条件，不需证明）：

①当△ABC满足条件：

____________时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足条件：

____________时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足条件：

____________时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在．

　　　　　　　　　　　　　　　　　图1－2－44

1．D　2.A　3.A

4．D　

5．20.

6．5.8.

7．4　

如图，过点B作BF⊥CE于点F.

∵CE⊥AD，

∴∠D＋∠DCE＝90°

∵∠BCD＝90°

∴∠BCF＋∠DCE＝90°

∴∠BCF＝∠D.

在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°

，BC＝CD，

∴△BCF≌△CDE（AAS），

∴BF＝CE.

∵∠A＝90°

，CE⊥AD，BF⊥CE，

∴四边形AEFB是矩形，

∴AE＝BF，

∴AE＝CE.

10．A　.

11．B

12．5　

13．2AB＝BC

14．解：

∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD.

∵D为BC的中点，

∴BD＝CD，∴AE＝CD，

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°

∴四边形ADCE是矩形．

（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.

∵AE∥BC，∴∠AED＝∠EDC，∠EAC＝∠ACB，∠FAE＝∠B，

∴∠FAE＝∠B＝∠ACB＝∠AEG＝∠EAG＝∠GDC.

∴AD＝BC，AD∥BC.

又∵DE＝BP，

∴四边形DEBP是平行四边形，

∴BE∥DP.

∵AD＝BC，DE＝BP，

∴AE＝CP.

又∵AD∥BC，即AE∥CP，

∴四边形AECP是平行四边形，

∴AP∥CE，

∴四边形EFPH是平行四边形．

∵在矩形ABCD中，∠ADC＝∠ABP＝90°

AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，DE＝BP＝1，

∴CE＝5，同理BE＝25，

∴BE2＋CE2＝BC2，

∴∠BEC＝90°

∴四边形EFPH为矩形．

（1）证法一：

∴∠A＝∠C＝90°

，AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB.

由折叠的性质可得：

∠ABE＝12∠ABD，∠CDF＝12∠CDB，

∴∠ABE＝∠CDF.

在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF.

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴DE＝BF，DE∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形．

证法二：

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠ABD＝∠CDB，DE∥BF.

由折叠的性质得∠EBD＝12∠ABD，∠FDB＝12∠CDB，

∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF.

又∵DE∥BF，

（2）∵四边形BFDE为菱形，

∴BE＝DE，∠FBD＝∠EBD＝∠ABE.

∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°

∴∠ABE＝∠FBD＝∠EBD＝30°

在Rt△ABE中，∵AB＝2，

∴AE＝2\r（3）＝3）3，BE＝2AE＝433，

∴BC＝AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝3）3＋433＝23.

∵△ABD和△BCF都是等边三角形，

∴∠ABC＋∠FBA＝∠DBF＋∠FBA＝60°

∴∠ABC＝∠DBF.

又∵BA＝BD，BC＝BF，

∴△ABC≌△DBF，

∴AC＝DF＝AE.

同理可证△ABC≌△EFC，

∴AB＝EF＝AD，

∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

（2）①∠BAC＝150°

②AB＝AC≠BC

③∠BAC＝60°