数学校本课程.docx
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数学校本课程
数学校本课程
高关初级中学
厅口
数学是打开知识大门的钥匙，是整个科学的基础知识。
创新教学的先行者里斯特伯先生指出：
“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。
”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。
我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。
数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。
选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。
使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。
学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。
我们的数学校本课程方案包括两个基本部分：
一般项目和基本具体方案。
课程纲要
一、课程目标：
以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。
二、课程概况：
本课程由数学组老师具体负责实施。
本课程在初一、初二、初三级部实施。
三、课程内容与活动安排：
让学生体会数学史可发生在我们的周围，我们的生活空间是无穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解决问题，让他们充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能力，形成正确的人生观、价值观。
授课对象：
初一、初二、初三学生
授课时间：
星期三课外活动，一课时。
授课地点：
教室
数学校本课程总的内容：
一、目标：
以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，
从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培
养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的
潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自
己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，
使每位学生的能力得到充分体现。
一、课程介绍：
1、生活中的数学
以体会数学与人、自然的关系为切入点，使学生感触学习数学的
价值，增强学习数学和应用数学的信心，培养学生动手实践的兴趣;
以创设情景形成良性的学习竞争氛围为基础，使学生在一个浓郁的学
习气氛中互学互助，每个人都要获得成功，每个人都要进步。
2、趣味规律数学
数学趣味性和规律性很强，找到一些数学规律，充分发挥学生的
创造力，提高学生的逻辑思维能力，掌握数学思想方法，适应时代的
需要。
按照学生的认识规律，依据启发性和趣味性相结合的原则，增补
动手操作，给学生提供更多的动手机会，重视理论联系实际，扩展教
材把数学问题放在社会的大背景下启发学生的思考，让学生走进生
活，应用于生活，使学生了解数学知识与社会各方面的联系，以便于
学生理解所学的指示，培养学生的实践意识，在趣味性的引导下，学
生兴趣盎然，带给学生更多的思索和启发，学生不仅获得数学知识，
经过趣味实验，还初步掌握了数学研究的方法，体验到了深究其理和
创新实验的乐趣。
3、解决问题的策略
经历利用特殊情况探索一般规律的过程，经历分情况探讨论的过
程，经历将生疏的、繁杂的、未解决的问题转化为熟悉的、简单的、
以解决问题的能力，经历用数与形结合的方法解决位的探索过程，经
历用整体思想解决问题的探索过程，经历多种策略解决统一问题的探
索过程。
使学生明确解决一个问题往往可以从不同的角度去考虑，养
成善于思考，善于创新，善于用更好地解决问题策略去解决问题的好
习惯。
勾股定理的证明.6
生活中的轴对称21
探究活动（设计花坛）26
镜子改变了什么27
频率与概率28
几何就在你的身边32
一个小数点与一场大悲剧34
压岁钱”与“赈灾小银行”……36
建议班级购买一台饮水机……38
巧用数学看现实41
怎样烧开水最快最省煤气44
生活中的数学问题50
探讨出租车司机的生意经54
最高的与最矮的57
表面涂漆的小积木的块数59
抽屉原理和六人集会问题62
怎样列分式方程解应用题……65
勾股定理的证明
【证法11（课本的证明）
斜边长为C,再做三个边长分别为a、b、C的正方形，把它们像上图
那样拼成两个正方形.
等.
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每
1ab
个直角三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形
・/AEH+/AHE=90o,/AEH+/BEF=90o.
・•.ZHEF=180o—90o=90o.
・•・四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c.
・RtAGDH二RtAHAE,/HGD=/EHA.
・/HGD+/GHD=90o,
・••/EHA+/GHD=90o.
又「/GHE=90o,
・•./DHA=90o+90o=1800.
2
・•・ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于ab
./EAB+/HAD=90o,
.ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
.EF=FG=GH=HE=b—a,
/HEF=90o.
2
.EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于ba.
122
4abbac
・2
.
2,22
.abc.
【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每
lab
个直角三角形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上
「RtAEAD二RtACBE,/ADE=/BEC.
:
/AED+/ADE=90o,
・••/AED+/BEC=90o.
・•./DEC=180o—90o=90o.
・•.△DEC是一个等腰直角三角形,
……在1c2
它的面积等于2.
又「/DAE=90o,/EBC=90o,
AD//BC.
ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
-ab22-ab-c2
222
2,22
abc
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,
直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
・•./EGF=/BED,
/CBD=90o.
BC=BD=a.
BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
a2b2S21ab,
2
21
c2S2-ab
2,
2,22
/.abc
.
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图
所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上
过点Q作QP//BC,交AC于点P.
过点B作BMXPQ,垂足为M;再过点
F作FNXPQ,垂足为N.
:
/BCA=90o,QP//BC,
・•./MPC=90o,
「BMXPQ,
・•./BMP=90o,
BCPM是一个矩形，即/MBC=90oQ/QBM+/MBA=/QBA=90o,
/ABC+/MBA=/MBC=90o,/QBM=/ABC,
又「/BMP=90o,/BCA=90o,BQ=BA=c,
RtABMQ里RtABCA.
同理可证RtAQNF二RtAAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7］（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状,
使H、C、B三点在一条直线上，连结
的面积的一半，
矩形ADLM的面积=a2.
同理可证，矩形MLEB的面积=b2.
・•.正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
c2a2b2,即a2b2c2.
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtAABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,
斜边AB的长为c,过点C作CDXAB,垂足是D.
在△ADC和△ACB中,
:
/ADC=ZACB=90o,/CAD=/BAC,「•AADCsAACB.
AD：
AC=AC:
AB,即AC2AD?
AB.
BD?
AB.
同理可证，△CDBsAACB,从而有BC2
•.AC2BC2ADDB?
ABAB2即a2b2c2
【证法9]（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
（b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所
示的多边形.过A作AFLAC,AF交GT于F,AF交DT于R.过B
作BPXAF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E,
DE交AF于H.
/BAD=90o,/PAC=90o,
所以RtAAPB二RtABCA.即PB=
CA=b,AP=a,从而PH=b—a.
「RtADGT二RtABCA,RtADHA里RtABCA.
「•RtADGT二RtADHA.
DH=DG=a,/GDT=/HDA.
又「/DGT=90o,/DHF=90o,
/GDH=/GDT+/TDH=/HDA+/TDH=90o,
・•・DGFH是一个边长为a的正方形.
・•.GF=FH=a.TFXAF,TF=GT—GF=b—a.
・•.TFPB是一个直角梯形，上底TF=b—a,下底BP=b,高FP=a
+（b—a）
S5S8S9
把②代入①，得
.222
..abc.
【证法10］（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a）,斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
「ZTBE=/ABH=90o,/TBH=/ABE.
又「/BTH=/BEA=90o,BT=BE=b,
「•RtAHBT二RtAABE.
・•.HT=AE=a.
・•.GH=GT—HT=b—a.
又「/GHF+/BHT=90o,
/DBC+/BHT=/TBH+/BHT=90o,/GHF=/DBC.
;DB=EB—ED=b—a,
/HGF=/BDC=90o,
「•RtAHGF二RtABDC.即S7S2.
过Q作QM^AG,垂足是M.由/BAQ=/BEA=90o,可知/
ABE
=/QAM,而AB=AQ=c,所以RtAABERtAQAM.又RtA
HBT二
RtAABE.所以RtAHBT二RtAQAM.即S8S5.
RtAABE
/AQM+
二RtAQAM,又得QM=AE=a,/AQM=/
BAE.
/FQM=90o,/BAE+/CAR=90o,/AQM=
/BAE
又•••
2
=c，
b2
/QMF=/ARC=90o,QM=AR=a,
以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E,则
BD=BE=BC=a.因为/BCA=90o,点C在。
B上，所以AC是。
B的切线.由切割线定理，得
_2___
ACAE?
AD
b2
【证法12］（利用多列米定理证明）
在RtAABC中，设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c（如图）过点A作AD//CB,过点B作BD//CA,则ACBD为矩形，矩形
ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
AB?
DCAD?
BCAC?
BD
;AB=DC=c,AD=BC=a,
AC=BD=b,
AB2BC2AC2,即c2a2b2,
2,22
/.abc
.
【证法13］（作直角三角形的内切圆证明）
在RtAABC中，设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作Rt△ABC的内切圆。
O,切点分别为D、E、F（如图），设。
。
的半径
为r.
AE=AF,BF=BD,CD=CE,
•.ACBCABAECEBDCDAFBF
=CECD=r+r=2r,
ab2rc
2r
SABC
斜边AB的长为c,过点C作CDXAB,垂足是D.
假设a2b2c2,即假设AC2BC2AB2,则由
AB2AB?
AB=abadbd=AB?
ADAB?
BD
即AD:
AC？
AC:
AB,
可知AC2AB?
AD,或者BC2AB?
BD
或者BD:
BC？
BC:
AB.
在^ADC和△ACB中,
/A=/A,若AD:
AC?
AC:
/ADC?
/ACB.
在^CDB和△ACB中，
;ZB=/B,
「•若BD:
BC？
BC:
AB,贝U
/CDB?
/ACB.
又「/ACB=90o,
・••/ADC?
90o,/CDB?
90o.
这与作法CD，AB矛盾.所以，AC2BC2AB的假设不能成
立.
2,22
/.abc
【证法15］（辛卜松证明）
是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几
22.2
个部分，则正方形ABCD的面积为abab2ab;把正方形
ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为
一12
ab4-abc2
2=2abc
.
22__2
ab2ab2abc,
【证法16］（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a）,斜边的长为c.做
两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状,
使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）
在EH=b上截取ED=a,连结DA、DC,
则AD=c.
;EM=EH+HM=b+a,ED=
・•.DM=EM—ED=ba—a=
又「/CMD=90o,CM=a,
/AED=90o,AE=b,
「•RtAAED
二RtADMC.
/EAD=/MDC,DC=AD=c.
/ADE+/ADC+/MDC=180o,
/ADE+/MDC=/ADE+/EAD=90o,
/ADC=90o.
作AB//DC,CB//DA,则ABCD是一个边长为c的正方形.
/BAF+/FAD=/DAE+/FAD=90o,
/BAF=/DAE.
连结FB,在△ABF和△ADE中，
;AB=AD=c,AE=AF=b,/BAF=/DAE,
「•AABF二AADE.
/AFB=/AED=90o,BF=DE=a.
•••点B、F、G、H在一条直线上.
在RtAABF和RtABCG中，
;AB=BC=c,BF=CG=a,
RtAABF里RtABCG.
S2S3S1S6S7
S2S3S4S5
2
=c
222
abc
.
生活中的轴对称
我们生活在一个充满对称的世界之中，对称给人以平衡与和谐
的美感。
这节课先来认识生活中的轴对称。
1、欣赏生活中的轴对称
（以生活中尽可能多的丰富实例，让学生欣赏并体会轴对称图
形，发展学生审美能力、鉴赏能力）
2、观察特点、形成概念
[问题1]:
这些美丽的图形来自生活，细心观察之后，你能发现
这些图形有什么共同特征么？
用自己的语言描述。
（鼓励学生积极用自己的语言概括图形的共同特征。
）
[问题2]:
举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴交流。
（给学生一定的思考交流时间，鼓励学生从自己的生活经验出
发，列举符合对称特征的物体，并进行广泛交流，进一步体会轴
对称图形的特点。
）
板书轴对称图形的概念：
如果一个图形沿某条直线对折、对折的两部分是完全重合的，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴。
你能自己动手做出一些具有轴对称特征的图形么？
1、做教材中的“剪纸”活动。
1把一张纸对折，然后从折痕处剪出一个图形，想一想展开后会是一个什么样的图形。
2观察图案，位于折痕两侧的部分有什么关系，并与同伴交流。
2、作“印墨迹”实验。
1在纸上滴几滴墨水，把纸张对折，随后打开，看看形成的两
块墨迹是不是关于折痕对称？
它的对称轴是什么呢？
2观察探究、相互交流。
（动手实践、自主探索与合作交流是学生进行有效的数学学习活动的重要方式，在教学中，注重学生的活动，鼓励人人亲身经历与实践，积极思考，更体会活动的乐趣，培养学生的空间观念、动手能力。
）
3、类比观察，发现区别
1再向学生展示几组图案，如：
两扇门、两只小脚印等。
2观察每组图案，你发现了什么？
与大家交流。
（在学生的发现中，使学生进一步体会轴对称现象的特点，了解轴
对称图形和两个图形成轴对称的区别，学生理解即可，暂不深究。
）把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果他能够与另一个图形
重合，就说这两个图形成轴对称、这条直线就是对称轴、两个图形中
的对应点叫做对称点。
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别:
两个图形成轴对称
轴对称图形
是两个图形之间的关
系
是一个图形本身具有的
特性
翻折后两个图形完全
重合
对折后与图形的另一半
完全重合
1、你能将我手中的图片沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合么？
（鼓励学生自己寻找对称轴，再动手操作验证，将活动内容转向对对称轴的探索。
）
2、你能折出准备好的每一个图形的对称轴么？
（让学生把自己手中准备好的正方形、长方形、等腰三角形、圆等图片试着从不同方向折一折，看看各有几条对称轴。
）
综合练习、巩固应用、课外拓展
1、请采用任意一种方式（剪纸、印墨迹等）自己设计一个具有特色的轴对称图形。
（鼓励学生发挥想象，进行不同的创作。
）
2、生活中的轴对称图形随处可见，我们每天使用的数字、字母和汉字中也有一些可以看成是轴对称图形，你能识别它们么？
并能说出他们的对称轴么？
（1）下面的数字或字母里，哪些是轴对称图形？
他们各有几条
对称轴？
0123456789
ABCDEFGHIJK
（2）你能发现哪些汉字可以看成是轴对称图形么？
口工用中由水日甲田
（体会生活中无处不在的轴对称现象，共同品味中国文字的对称
美，弘扬中国文化。
中考中的轴对称
例1（2006年无锡市）在下面四个图案中，如果不考虑图中
的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（）
解析：
本题主要考查轴对称图形的识别：
一个图形如果沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则可判定该图形是轴对称图形。
观察四个图形，易知只有B中图案不是轴对称图形。
二、确定轴对称图形的对称轴的条数
例2（2006年泰安市）下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）
A.B.C.D.
解析：
A中图形对称轴有4条，B中图形对称轴有6条，C中图形
对称轴有3条，D中图形对称轴有2两条，故对称轴最多的应选B.
三、有关轴对称的图案设计
例3（2006年荣成市）图1是由5张大小相同的正方形纸片拼成
的图形.现只移动1张纸片，使5张纸片组成轴对称图形，要求每张纸片
至少有2个点与其余纸片相连，但
纸片彼此不覆盖，请画出尽可能多的不同形状的图形
解析：
借助空间想象或动手操作，可画出下列图形供参考
图1
图2
四、利用轴对称的性质解题
例4（2006年梅州市）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时
间最接近8时的是下图中的（）
解析：
平面镜成像的原理：
镜子中的像与原来的物体成轴对称；物体
正对镜子放置时，镜子中的像改变了原来物体的左、右位置，即像与物
体左、右位置互换。
故实际时间最接近8时的是图中的B.
例5（2006年永春县）如图3,把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、
C分
别落在D'、C的位置，若/EFB=65,则/AED=度。
解析：
因为AD//BC,所以/EFB=/DEF=6W，由轴对称性质得
A.
B.
C.
D.
/DEF=/DEF=6H
所以/AED=18C0-/DEF=/D'EF=1800-650-650=500.
探究活动
设计花坛
活动题目
有一块边长为10米的正方形的空地，现在要在空地上设计一个花坛，使花坛的面积是空地面积的二分之一，问如何设计？
活动过程
1.学生以小组为单位，分小组讨论.
2.学生分小组汇报.
3.全班共同评选最佳设计.
参考答案
镜子改变了什么
一次晚会上，主持人出了一道题目：
“如何把2+3=8变成一个真正的等式”，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题，你知道为什么吗？
问题的提出：
“小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“B邪A”的样子，请你判断这个英文单词是什么？
假若不能利用手中的小镜子，只利用小卡片，如何把镜中的字母还原？
分组讨论，比一比那一组的结论最好？
与同伴交流，一个汽车车牌在水中的倒影是“WIi93e”，你能确定该车的车牌号码吗？
（利用手中的小卡片，并说出倒影与车牌的位置关系）小结：
当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向，
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