湘教版九年级数学第一章反比例函数导学案.docx
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湘教版九年级数学第一章反比例函数导学案
湘教版九年级上册数学导学案
1.1建立反比例函数的模型
【学习目标】
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式
3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想
重点难点
重点：
理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式
难点：
理解反比例函数的概念
【预习导学】
阅读教材P2-3完成下列问题
1．当路程一定时，速度与时间成什么关系？
当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?
2．如果两个变量y与x的关系可表示成（k为常数，k0）的形式,那么称是
的反比例函数，自变量x不能为，常数称为反比例函数的比例系数.
3．若xy=2,则可写成y=,此时y是x的.
【探究展示】
（一）合作探究
1．如何解教材第2页“动脑筋”中的问题？
（1）当s=3000m时，速度v（m/s）和时间t（s）之间的关系式是
（2）利用
（1）的关系式完成下表：
所用时间t（s）
121
137
139
143
149
平均速度（m/s）
随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？
（3）平均速度v是所用时间t的函数吗？
为什么？
2．归纳总结反比例函数的概念：
一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成的形式，那么称y是x的反比例函数，其中是自变量，自变量不能为，y是x的函数，是比例系数.
反比例函数y＝
的变式有：
，.
教师强调：
（1）
（二）展示提升
1．如图，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC,BD的长分别为x,y.写出变量y与x之间的函数表达式，并指出它是什么函数.
2．下列函数是不是反比例函数？
若是，请写出它的比例系数.
（1）y=3x-1
（2）
（3）
（4）
【知识梳理】
1.反比例函数的的定义是什么？
怎样判断一个给定的函数是否为反比例函数？
2.反比例函数的定义中，我们应该注意哪些问题？
3.怎样根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式？
【当堂检测】
1．写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数.如果是，指出比例系数k的值.
（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；
（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；
（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.
2．下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？
如果是，比例系数是多少？
（1）y＝
x；
（2）y＝
；（3）xy＋2＝0；
（4）xy＝0； （5）x＝
.
3．已知函数y＝（m＋1）x
是反比例函数，则m的值为 .
【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？
哪些地方还需改进？
湘教版九年级上册数学导学案
1.2反比例函数的图像与性质
（1）
【学习目标】
1．体会并了解反比例函数的图象的意义
2．能描点画出反比例函数的图象
3．结合图象分析并掌握当k>0时反比例函数的性质
重点难点
重点：
反比例函数的图像及当k>0时反比例函数的性质
难点：
绘制反比例函数的图像
【预习导学】
自主预习教材P5-7思考下列问题：
1．画反比例函数图像的步骤是、、.
2．反比例函数y=
（k为常数，k≠0）的图象是，当K〉0时，双曲线的两支分别位于第、象限，它们与轴、轴都不相交，在每个象限内，y随x的增大而.
3．函数
的图象在第象限,在每一象限内，y随x的增大而.
【探究展示】
（一）合作探究
如何画反比例函数
的图象？
（1）可以先估计——例如：
位置（图象所在象限、图象与坐标轴的交点等）、趋势（上升、下降等）；
（2）方法与步骤——利用描点作图；
列表：
取自变量x的哪些值?
——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。
X
…
…
…
…
描点：
依据什么（数据、方法）找点?
在平面直角坐标系内，以的取值为横坐标，以相应的为纵坐标，描出相应的点.
连线：
怎样连线?
——可在各个象限内按照自变量从到的顺序用两条光滑的把所描的点连接起来.
观察上图，图像位于哪些象限？
图像与坐标轴相交吗？
在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？
（二）展示提升
1．完成P6做一做，画出反比例函数
的图像
2．观察画出的
，
的图像，思考下列问题：
（1）每个函数的图像分别位于哪些象限？
（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？
总结：
一般的，当K〉0时，反比例函数y=
的图像由分别在、象限内的两支曲线组成，它们与轴、轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而。
【知识梳理】
1.画反比例函数图像的一般步骤是什么？
2.当k>0时反比例函数y=
的图像性质是什么？
【当堂检测】
1．画出反比例函数
的图像
2．如右图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象（）
A
B
C
D
3．函数
的图象在第________象限,在每一象限内，y随x的增大而_________.
4．在反比例函数y＝
图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________.若关于x,y的函数
图象位于第一、三象限，
则k的取值范围是_______________.
【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？
哪些地方还需改进？
湘教版九年级上册数学导学案
1.2反比例函数的图像与性质
（2）
【学习目标】
1.能画出反比例函数y＝kx（k为常数，k＜0）的图象.
2.根据反比例函数y＝kx（k为常数，k＜0）的图象探索并理解其性质.
3.在自主探究反比例函数的性质的过程中，让学生初步感知反比例函数的图象的对称性.
重点难点
重点：
反比例函数y＝kx（k为常数，k＜0）的图象的画法及其性质.
难点：
由反比例函数y＝kx（k为常数，k＜0）的图象探究出其性质.
【预习导学】
自主预习教材P7-9完成下列各题：
1.反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是由两支曲线围成的，这两支曲线称为.2.当K﹤0时，反比例函数y＝kx的图象与的图象关于X轴对称.
3.当K﹤0时，反比例函数y＝kx的图象由分别在第象限内的两支曲线组成，它们与X周、y轴都，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而.
【探究展示】
（一）合作探究
探究1：
如何画反比例函数的图象？
的图象与的图象有什么关系？
当x取任一非零实数a时，的函数值为，而的函数值为，从而点P（a，）与点Q（a，）关于轴对称，因此的图象与的图象关于轴对称，于是只要把的图象沿着轴翻折并将图象复制出来，就得到了的图象.因此可用画反比例函数的图象的方式与步骤画反比例函数的图象.
由此我们得出：
反比例函数y＝kx的图象与的图象关于轴对称，当k﹤0时，反比例函数y＝kx的图象由分别在第象限内的两支曲线组成，它们与轴、轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而.因此画反比例函数y＝kx（k为常数，k﹤0）的图象可以用法，具体步骤为、、.
探究2：
反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象的对称性.
观察函数与的图象得出：
反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象是中心对称图形，其对称中心为，其图象还是轴对称图形，对称轴有条，分别是（即直线）和（即直线）.
探究3：
根据我们已经学过的反比例函数的性质填写下表，并说说k＞0和k＜0时图象性质的区别.
反比例函数
k的符号k>0k<0
图象
（双曲线）
x、y
取值范围x的取值范围
y的取值范围x的取值范围
y的取值范围
位置第象限内第象限内
增减性每一象限内,y随x的增大而每一象限内,y随x的增大而
渐近性反比例函数的图象无限接近于，轴,但永远达不到，轴,画图象时,要体现出这个特点.
对称性反比例函数的图象是关于原点成的图形.反比例函数的图象也是图形.
（二）展示提升
1.画出反比例函数的图象
2.反比例函数的图象在第、象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而,图象关于成中心对称，关于成轴对称.
3.若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的取值范围.
【知识梳理】
1.用描点法画反比例函数y＝kx（K＜0）的图象步骤是什么？
2.反比例函数y＝kx的图象性质是什么？
3.反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象的对称性有哪些？
【当堂检测】
1.画出反比例函数的图象.
2.在反比例函数的图象的每一支曲线上，y随x的增大而增大，则k的值为.
3．已知点（2，y1），（3，y2）在函数的图象上，试比较y1,y2的大小.
【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？
哪些地方还需改进？
湘教版九年级上册数学导学案
1.2反比例函数的图像与性质（3）
【学习目标】
1.能用待定系数法求反比例函数的解析式．
2．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题
重点难点
重点：
能用待定系数法求反比例函数的解析式．
难点：
根据反比例函数的图象或表达式来理解反比例函数的性质.
【预习导学】
自主学习教材P10-11，并思考下列问题：
1.认真完成P10的动脑筋，思考怎样用待定系数法求反比例函数的解析式？
2.认真阅读例题2，书上是运用反比例函数的什么知识解决问题的？
3.例题3中，用待定系数法时为什么要标明
、
？
【探究展示】
（一）合作探究
已知反比例函数y=
的图象经过点P（2,4）
（1）求k的值，并写出这个函数的表达式
（2）判断点A（-2,-4），B（3,5）是否在这个函数图象上
（3）这个函数的图象位于哪些象限？
函数值y随自变量x的增大而如何变化？
解：
（1）因为反比例函数y=
的图象经过点P（2,4），即点P的坐标满足这一函数表达式，因而解得k=
因此，反比例函数的表达式为
（2）把A、B的坐标分别代入，可知点A的坐标函数表达式，点B的坐标函数表达式，所以点A这个函数图象上，点B这个函数图象上.
（3）因为k0，所以图象位于第、象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而.
（二）展示提升
1.反比例函数y=
的图象如图所示，根据图象，回答下列问题：
（1）K的取值范围是K＞0还是K＜0？
说明理由
（2）如果点A（-3，y1），B（-2，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.
2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P（-3,4），试求出它们让你的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
提示：
先设两个函数的表达式，且两个函数表示式中的比例系数应用
、
区分.
【知识梳理】
1.用什么方法求反比例函数的解析式？
2.用待定系数法求反比例函数的解析式步骤有哪些？
【当堂检测】
1.已知反比例函数的图像经过点（
，
），则它的图像一定也经过（）
A、（－
－
）B、（
－
）C、（－
，
）D、（0，0）
2.已知反比例函数y=
的图象经过点M（-2,2）
（1）求这个函数的表达式
（2）判断点A（-4,1），B（1,4）是否在这个函数图象上
（3）这个函数的图象位于哪些象限？
函数值y随自变量x的增大而如何变化？
3.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数
的图象交于A（－2，1）、B（1，n）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围
【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？
哪些地方还需改进？
湘教版九年级上册数学教案
1.3反比例函数的应用
教学目标
1．能灵活运用反比例函数的知识分析、解决一些实际问题.
2．体验反比例函数式有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题的重要工具，培养“学数学，用数学”的意识.
重点难点
重点：
掌握从实际问题中构建反比例函数模型的方法.
难点：
运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.
教学设计
一、预习导学
自主预习教材P14—15完成下列问题
1．什么是反比例函数？
反比例函数的图象有什么性质？
2．认真完成P14的动脑筋与P15的议一议，思考怎样建立反比例函数模型？
3．动脑筋和例题中的反比例函数的图像为什么只在第一象限？
二.探究展示
（一）合作探究
1．某科技小组在一次野外考察途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速的通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利通过了这片湿地.
（1）根据压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的关系式
，请你判断：
当F一定时，p是s的反比例函数吗？
（2）若人对地面的压力F=450N，完成下表：
受力面积S/m2
0.005
0.01
0.02
0.04
压强p/Pa
（3）当F=450N时，画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时，地面所受的压强p是如何变化的.据此，请说出他们铺垫木板（木板重力忽略不计）通过湿地的道理.
学生分组进行探讨交流，领会实际问题中的数学意义，体会数与形的统一，教师可以引导启发学生解决实际问题.
分析：
对于
，由反比例函数的定义可知，P是S的反比例函数.在物理中，我们学过，当人对湿地的压力F一定时，随着木板受力面积S的增大，人对地面的压强P将减小，所以能通过湿地.
2．你能根据波义耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数k（k＞0），即pV=k）来解释，为什么使劲踩气球时，气球会爆炸？
先由学生小组讨论，然后由小组代表回答，最后教师引导总结：
由PV=K可得
，p是v的反比例函数，当使劲踩气球时，随着气球体积减小，气体的压强p增大，所以气球会爆炸.
设计意图：
展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和学习兴趣.
（二）展示提升
1.已知某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间有如下关系式：
U=IR，且该电路的电压U恒为220V
（1）写出电流I关于电阻R的表达式
（2）如果该电路的电阻为220Ω，则通过它的电流时多少？
（3）如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整电阻R，就可以使电路中的电流I增大？
2.某天然气公司要在地下修建一个容积为105m3的圆柱形天然气储藏室.
（1）储藏室的底面积S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？
（2）若公司决定把储藏室的面积S定为5000m2，则施工队施工时应该向下掘进多深？
（3）当施工队按
（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司决定把储藏室的深度改为15m，则储藏室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01m2）
先由学生独立思考，然后小组交流，最后由两个小组代表进行展示，其他同学可以质疑，教师适时指引、点拨.
设计意图：
让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此题关键是充分运用反比例函数分析实际问题，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题.
三.知识梳理
本节课我们学到了什么?
启发学生谈谈本节课的收获.
1.利用反比例函数的知识解决实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得.
2.反比例函数与实际问题紧密相联，了解了数学在其他学科中的应用，特别是为讨论一些物理量之间的关系打下良好的基础.
四.当堂检测
1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式
3.某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式．
（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
五.教学反思
本节课是用函数的观点处理实际问题，解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学的知识重新解释这是什么？
可以是什么？
逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.
湘教版九年级上册数学导学案
1.3反比例函数的应用
【学习目标】
1．能灵活运用反比例函数的知识分析、解决一些实际问题.
2．体验反比例函数式有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题的重要工具，培养“学数学，用数学”的意识.
重点难点
重点：
掌握从实际问题中构建反比例函数模型的方法.
难点：
运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.
【预习导学】
自主预习教材P14—15完成下列问题
1．什么是反比例函数？
反比例函数的图象有什么性质？
2．认真完成P14的动脑筋与P15的议一议，思考怎样建立反比例函数模型？
3．动脑筋和例题中的反比例函数的图像为什么只在第一象限？
二.探究展示
（一）合作探究
1．某科技小组在一次野外考察途中遇到一片烂泥湿地，为了安全迅速的通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利通过了这片湿地.
（1）根据压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的关系式
，请你判断：
当F一定时，p是s的反比例函数吗？
（2）若人对地面的压力F=450N，完成下表：
受力面积S/m2
0.005
0.01
0.02
0.04
压强p/Pa
（3）当F=450N时，画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时，地面所受的压强p是如何变化的.据此，请说出他们铺垫木板（木板重力忽略不计）通过湿地的道理.
2．你能根据波义耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数k（k＞0），即pV=k）来解释，为什么使劲踩气球时，气球会爆炸？
由PV=K可得p=，p是v的函数，当使劲踩气球时，随着气球体积，气体的压强p，所以气球会爆炸.
（二）展示提升
1.已知某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间有如下关系式：
U=IR，且该电路的电压U恒为220V
（1）写出电流I关于电阻R的表达式
（2）如果该电路的电阻为220Ω，则通过它的电流时多少？
（3）如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整电阻R，就可以使电路中的电流I增大？
2.某天然气公司要在地下修建一个容积为105m3的圆柱形天然气储藏室.
（1）储藏室的底面积S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？
（2）若公司决定把储藏室的面积S定为5000m2，则施工队施工时应该向下掘进多深？
（3）当施工队按
（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司决定把储藏室的深度改为15m，则储藏室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01m2）
【知识梳理】
1.怎样利用反比例函数的知识解决实际问题？
2.反比例函数与现实生活有哪些联系？
【当堂检测】
1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式
3.某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式．
（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？
哪些地方还需改进？
湘教版九年级数学上册导学案
反比例函数的复习
【学习目标】
1．掌握反比例函数的概念和性质，体会反比例函数与图形的联系.
2．通过对实际问题中数量关系得探索，掌握用函数的思想去研究其变化规律.
3．让学生参与知识的发现和形成过程，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题和解决问题的能力.
重点难点
重点：
反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用.
难点：
运用函数的性质和图像解综合题，要善于识别图形，勤于思考，获取有用的信息，灵活的运用数学思想方法.
【复习导学】
阅读教材P2-15的内容回答下列问题：
1.一般地，形如（）的函数称为反比例函数.（其中，自变量x的取值范围为）反比例函数解析式还可以表示为和.
2.填表：
表达式
请写出反比例函数表达式：
图象
k>0
k<0
画出图象：
画出图象：
性质
1．图象在第 、 象限；
2．每个象限内，函数y的值随x的增大而______________．
1．图象在第 、 象限；
2．在每个象限内，函数y值随x的增大而________________．
在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S２则S1和S２有何关系？
S1= ，S２= 。
反比例函数既是图形，又是图形。
3.利用反比例函数的知识解决实际问题，首先列出，利用法求出解析式，再根据解析式解得.
【探究展示】
（一）合作探究
1.下列函数：
①
；②
；③
；④
；其中是反比例函数
2.已知反比例函数的图象经
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