高一数学第一章《集合的表示》知识点归纳例题解析及课时作业.docx
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高一数学第一章《集合的表示》知识点归纳例题解析及课时作业
第2课时 集合的表示
学习目标
1.了解空集、有限集、无限集的概念.2.掌握用列举法表示有限集.3.理解描述法的格式及其适用情形.4.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换．
知识点一 集合的分类
思考 集合{x∈R|x2<0}中有多少个元素？
{x∈R|x2＝0}呢？
{x∈R|x2>0}呢？
答案 0个；1个；无限多个．
梳理 按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作∅；含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集．
知识点二 列举法
思考 要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案 把它们一一列举出来．
梳理 把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法叫作列举法．适用于元素较少的集合．
知识点三 描述法
思考 能用列举法表示所有大于1的实数吗？
如果不能，又该怎样表示？
答案 不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征（如都大于1）来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．
梳理 描述法：
用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．符号表示为{|}，如{x∈A|p（x）}．
类型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合．
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
解
（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
（2）设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
反思与感悟
（1）集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．
（2）列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：
自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合．
（1）由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
（2）由1～20的所有素数组成的集合．
解
（1）满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
（2）设由1～20的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合．
（1）方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合．
解
（1）设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10引申探究
用描述法表示函数y＝x2－2图像上所有的点组成的集合．
解 {（x，y）|y＝x2－2}．
反思与感悟 用描述法表示集合时应注意的四点
（1）写清楚该集合中元素的代号．
（2）说明该集合中元素的性质．
（3）所有描述的内容都可写在集合符号内．
（4）在描述法的一般形式{x∈I|p（x）}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p（x）”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．
跟踪训练2 用描述法表示下列集合．
（1）方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
（2）二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合；
（3）由所有小于10或大于20的实数组成的集合．
解
（1）方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为（x－2）2＋（y＋3）2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{（x，y）|x＝2，y＝－3}．
（2）“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{（x，y）|y＝x2－10}．
（3）{x|x<10或x>20}．
类型三 集合表示的综合应用
例3 用适当的方法表示下列集合．
（1）由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
（2）抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
（3）直线y＝x上去掉原点的点的集合．
解
（1）列举法：
{0,2,4}．或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．
（2）列举法：
{（0,0），（2,0）}．
（3）描述法：
{（x，y）|y＝x，x≠0}．
反思与感悟 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
答案 {2000,2001,2004}
解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2000的值为2000,2001,2004，所以B＝{2000,2001,2004}．
例4 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：
当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（ ）
A．18B．17
D．16D．15
答案 B
解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对（a，b），所以集合M中的元素共有17个，故选B.
反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4 定义集合运算：
A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________．
答案 6
解析 由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.
1．下面四个判断，正确的个数是（ ）
（1）0∈∅；
（2）{0}是空集；
（3）
是空集；
（4）{x2＋y＋1＝0}是空集．
A．0B．1
C．2D．4
答案 B
解析 只有（3）正确．
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图像的交点组成的集合是（ ）
A．{1，－2}B．{x＝1，y＝－2}
C．{（－2,1）}D．{（1，－2）}
答案 D
3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是（ ）
A．6∈AB．0∈AC．3∉AD．3.5∉A
答案 D
4．第一象限的点组成的集合可以表示为（ ）
A．{（x，y）|xy>0}
B．{（x，y）|xy≥0}
C．{（x，y）|x>0且y>0}
D．{（x，y）|x>0或y>0}
答案 C
5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（ ）
A．{x|x＝4k－1，k∈Z}
B．{x|x＝2k－1，k∈Z}
C．{x|x＝2k＋1，k∈Z}
D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}
答案 A
1．在用列举法表示集合时应注意：
（1）元素间用分隔号“，”．
（2）元素不重复．（3）元素无顺序．（4）列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意
（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合或其他形式．
（2）当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真（元素具有怎样的属性），而不能被表面的字母形式所迷惑．
课时作业
一、选择题
1．下列集合中，是空集的是（ ）
A．{x|x2＋3＝3}
B．{（x，y）|y＝－x2，x，y∈R}
C．{x|－x2≥0}
D．{x|x2－x＋1＝0}
答案 D
解析 {x|x2＋3＝3}＝{0}≠∅；
函数y＝－x2的图像上有无限多个点，
∴{（x，y）|y＝－x2，x，y∈R}为无限集；
{x|－x2≥0}＝{0}≠∅；
方程x2－x＋1＝0，判别式Δ＝1－4<0，无解，
∴{x|x2－x＋1＝0}＝∅.
2．集合A＝{x∈Z|－2A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 因为A＝{x∈Z|－23．集合{（x，y）|y＝2x－1}表示（ ）
A．方程y＝2x－1
B．点（x，y）
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
答案 D
解析 集合{（x，y）|y＝2x－1}的代表元素是（x，y），x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝{m|m＝
＋
＋
}为（ ）
A．{0,3}B．{1,3}
C．{－1,3}D．{1，－3}
答案 C
解析 当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x>0，y<0，
则m＝1＋（－1）＋（－1）＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
5．下列选项中，集合M，N相等的是（ ）
A．M＝{3,2}，N＝{2,3}
B．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}
C．M＝{3,2}，N＝{（3,2）}
D．M＝{（x，y）|x＝3且y＝2}，N＝{（x，y）|x＝3或y＝2}
答案 A
解析 元素具有无序性，A正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；C选项中集合M中元素是两个数，N中元素是一个点，不相等；D选项中集合M中元素是一个点（3,2），而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相等．
6．集合{3，
，
，
，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x＝
，n∈N＋}
B．{x|x＝
，n∈N＋}
C．{x|x＝
，n∈N＋}
D．{x|x＝
，n∈N＋}
答案 D
解析 由3，
，
，
，即
，
，
，
，从中发现规律，x＝
，n∈N＋，故可用描述法表示为{x|x＝
，n∈N＋}．
二、填空题
7．方程x2－5x＋6＝0的解集可表示为________．
答案 {2,3}
解析 易知方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或3，则方程解集为{2,3}．
8．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．
答案 {1}
解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
答案 3
解析 根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{（1,1），（1,2），（2,1）}，有3个元素．
10．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈________.
答案 M
解析 设a＝3k1，k1∈Z，
b＝3k2＋1，k2∈Z，
c＝3k3－1，k3∈Z，
则a＋b－c＝3k1＋3k2＋1＋3k3－1＝3（k1＋k2＋k3），
且k1＋k2＋k3∈Z，
∴a＋b－c∈M.
三、解答题
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{（x，y）|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？
试说明理由．
解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，
所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是（x，y），这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合；
（2）24的所有正因数组成的集合；
（3）平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．
解
（1）用描述法表示为{x|2（2）用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
（3）在平面直角坐标系内，点（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{（x，y）||y|＝|x|}．
13．设A表示集合{2,3，a2＋2a－3），B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5∉B，求实数a的值．
解 ∵5∈A，且5∉B，∴
即
解得a＝－4.
四、探究与拓展
14．设正整数集N＋，已知集合A＝{x|x＝3m，m∈N＋}，B＝{x|x＝3m－1，m∈N＋}，C＝{x|x＝3m－2，m∈N＋}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是（ ）
A．2006＝a＋b＋cB．2006＝abc
C．2006＝a＋bcD．2006＝a（b＋c）
答案 C
解析 由于2006＝3×669－1，不能被3整除，
而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2
＝3（m1＋m2＋m3－1）不满足；
abc＝3m1（3m2－1）（3m3－2）不满足；
a＋bc＝3m1＋（3m2－1）（3m3－2）＝3m－1适合；
a（b＋c）＝3m1（3m2－1＋3m3－2）不满足．
故选C.
15．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.
解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
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