高考数学一轮复习 第三章 第1课时任意角弧度制及任意角的三角函数课时作业 理 新人教版.docx

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高考数学一轮复习第三章第1课时任意角弧度制及任意角的三角函数课时作业理新人教版

第三章三角函数、解三角形

第1课时　任意角、弧度制及任意角的三角函数

考纲索引

1.任意角的概念.

2.弧度与角度的互化.

3.任意角的三角函数.

课标要求

1.了解任意角的概念.

2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.

知识梳理

1.任意角

（1）角的概念的推广

①按旋转方向不同分为　　　　、　　　　、　　　　. 

②按终边位置不同分为　　　　和　　　　. 

（2）终边相同的角

终边与角α相同的角可写成 

2.弧度与角度的互化

（1）1弧度的角

长度等于　　　　长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示. 

（2）角α的弧度数

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=.

（3）角度与弧度的换算

①1°=　　　　rad;②1rad=

. 

（4）扇形的弧长、面积公式

设扇形的弧长为l,圆心角大小为α（rad）,半径为r,则l=rα,扇形的面积为S=　　　　=　　　　. 

3.任意角的三角函数

（1）定义:

设角α的终边与单位圆交于P（x,y）,则sinα=　　　　,cosα=　　　　,tanα=　　　　（x≠0）. 

（2）几何表示:

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.

三

角

函

数

线

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

（Ⅳ）

有向线段　　　　为正弦线;有向线段　　　　为余弦线; 

有向线段　　　　为正切线 

基础自测

1.（教材改编）下列与

的终边相同的角的关系式中正确的是（　　）.

2.（教材改编）若sinα<0且tanα>0,则α是（　　）.

A.第一象限角　B.第二象限角

C.第三象限角　D.第四象限角

3.已知角α的终边上一点A（2,2）,则α的大小为（　　）.

4.（教材改编）已知角α的终边经过点P（-x,-6）,且

则x的值为　　　　. 

5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为　　　　,面积为　　　　. 

指点迷津　　

◆一条规律

三角函数值在各象限的符号规律概括为:

一全正、二正弦、三正切、四余弦.

◆两个技巧

（1）在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r一定是正值.

（2）在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

◆三个注意

（1）注意易混概念的区别:

第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.

（2）角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用,不可写α=2kπ+60°,k∈Z.

（3）注意熟记0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.

◆四个公式

（1）与α终边相同的角度公式

（2）角的弧度数（弧长公式）

（3）扇形面积公式

（4）三角函数定义公式

考点透析

考向一　角的概念及表示

例1　

（1）如果α是第三象限的角,那么-α,2α的终边落在何处?

（2）写出终边在直线

上的角的集合.

【审题视点】　利用象限角及终边相同的角的表示方法求角.

【课堂记录】

【方法总结】　

（1）利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.

（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

变式训练

1.若角θ的终边与

角的终边相同,求在[0,2π）内终边与

角的终边相同的角.

考向二　三角函数的定义

例2　已知角θ的终边经过点P（-,m）（m≠0）且sinθ=

试判断角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值.

【审题视点】　根据三角函数定义求m,再求cosθ和tanθ.

【方法总结】　1.三角函数定义的理解

在直角坐标系xOy中,设P（x,y）是角α终边上任意一点,且|PO|=r,则

.

2.定义法求三角函数值的两种情况

（1）已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解.

（2）已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.

变式训练

2.角α终边上一点P（4m,-3m）（m≠0）,则2sinα+cosα的值为　　　　. 

考向三　弧度制的应用

例3　已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.

（1）求弦AB所对的圆心角α的大小;

（2）求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.

【审题视点】　△AOB是等边三角形,∠AOB=60°,S弓=S扇-S△AOB.

【方法总结】　

（1）引进弧度制后,实现了角度与弧度的相互转化,在弧度制下可以应用弧长公式:

l=r|α|,扇形面积公式:

S=lr=r2|α|,求弧长和扇形的面积.

（2）应用上述公式时,要先把角统一用弧度制表示.利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便.

变式训练

3.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?

考向四　三角函数线及应用

例4　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围.并由此写出角α的集合:

【审题视点】　作出满足

的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.

【方法总结】　利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤是:

（1）用边界值写出角的终边位置;

（2）根据不等式（组）定出角的范围;

（3）求交集,找单位圆中公共的部分;

（4）写出角的关系式.

变式训练

4.求函数y=lg（3-4sin2x）的定义域.

经典考题

典例　已知角θ的终边上一点P（3a,4a）（a≠0）,求角θ的正弦、余弦和正切值.

真题体验

1.（2014·全国大纲）已知角α的终边经过点（-4,3）,则cosα等于（　　）.

2.（2014·全国新课标Ⅰ）若tanα>0,则（　　）.

A.sinα>0　B.cosα>0

C.sin2α>0　D.cos2α>0

参考答案与解析

知识梳理

1.

（1）①正角　负角　零角　②象限角　轴线角

（2）α+k·360°（k∈Z）或α+k·2π（k∈Z）

2.

（1）半径　

3.

（1）y　x　

（2）MP　OM　AT

基础自测

1.C　2.C　3.C　4.

　5.4　6π

考点透析

所以角-α的终边在第二象限.

所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.

（2）在（0,π）内终边在直线

上的角是

所以终边在直线

上的角的集合为

.

【例4】　

（1）作直线

交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域（图

（1）中阴影部分）即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为

.

（1）

（2）

（2）作直线

交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域（图

（2）中阴影部分）即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为

.

变式训练

4.

（1）因为3-4sin2x>0,所以sin2x<

所以

.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）,

所以

（k∈Z）.

（第4题）

经典考题

真题体验

1.D　解析:

根据题意,

.

2.C　解析:

因为

所以选C.