人教版八年级数学上《等腰三角形》基础练习文档格式.docx

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7．（5分）如图，△ABC中AB＝AC，D是AC上一点且BC＝BD，若∠CBD＝46°

，则∠A＝　　°

．

8．（5分）等腰三角形ABC中，∠A＝110°

，则∠B＝　　°

9．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥AB，交边AB于点D．若∠A＝40°

，则∠BCD＝　　度．

10．（5分）三角形的三个内角分别为75°

，80°

，25°

，现有一条直线将它分成两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形的顶角的度数分别是　　．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E在BC上，AE是∠BAC的平分线，BE＝AE，∠B＝40°

（1）求∠EAD的度数；

（2）求∠C的度数．

12．（10分）已知：

如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．

（1）若∠BAC＝90°

，求∠DAE的度数；

（2）若∠BAC＝120°

，直接写出∠DAE的度数；

（3）设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．

13．（10分）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠ABC的度数．

14．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝60°

，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°

，求证：

△ABC是等边三角形．

15．（10分）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°

（1）若∠1＝50°

，求∠2；

（2）连接DF，若DF∥BC，求证：

∠1＝∠3．

参考答案与试题解析

【分析】连接AF，如图，利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°

，则∠ABF＝90°

，再根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FC，则∠FAC＝∠C＝30°

，然后在Rt△AEG中就是出AE＝

，在Rt△AEF中就是出EF＝

AE＝1，AF＝2EF＝2，最后在Rt△ABF中就是出BF．

【解答】解：

连接AF，如图，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°

∴∠B＝∠C＝30°

，

∴∠ABF＝90°

∵EG垂直平分AC，

∴FA＝FC，

∴∠FAC＝∠C＝30°

∴∠AFG＝60°

，∠G＝30°

在Rt△AEG中，AE＝

EG＝

在Rt△AEF中，EF＝

AE＝1，AF＝2EF＝2，

在Rt△ABF中，BF＝2AF＝4．

故选：

D．

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：

在直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之比为1：

：

2．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．

【分析】根据等边三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据三角函数的定义可得到结论．

∵AB＝AC＝2，∠B＝60°

∴∠ADB＝90°

∴AD＝

AB＝

C．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．

如图所示，

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

∵等腰三角形的底角为65°

∴它的顶角＝180°

﹣65°

＝50°

B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点D，

∴BD＝BC，

∴∠ACB＝∠BDC，

∴∠BDC＝∠ABC＝∠ACB，

∴∠BAC＝∠DBC，

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．

，则∠A＝　80　度．

【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°

列式进行计算即可得解．

∵AB＝AC，∠B＝50°

∴∠C＝∠B＝50°

∴∠A＝180°

﹣2×

50°

＝80°

故答案为：

80．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．

，则∠A＝　46　°

∵BC＝BD，∠CBD＝46°

∴∠C＝∠BDC＝

（180°

﹣46°

）＝67°

∴∠ABC＝∠C＝67°

∴∠A＝46°

46．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．

，则∠B＝　35　°

【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．

∵等腰三角形中，∠A＝110°

＞90°

∴∠B＝

＝35°

35．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．

，则∠BCD＝　20　度．

∵AB＝AB，∠A＝40°

∴∠B＝∠ACB＝70°

∵CD⊥AB，

∴∠BDC＝90°

∴∠BCD＝90°

﹣70°

＝20°

20．

，现有一条直线将它分成两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形的顶角的度数分别是　130°

、80°

　．

【分析】首先在△ACB的内部做∠ACD＝25°

，从而可得到△ADC为等腰三角形，然后再证明△BDC为等腰三角形，从而可得到问题的答案．

如图所示：

∠A＝25°

，∠B＝80°

，∠ACB＝75°

作∠ACD＝∠A＝25°

，则三角形ADC为等腰三角形，且∠DCB＝75°

﹣25°

由三角形的外角的性质可知∠BDC＝∠A+∠ACD＝50°

∴∠DCB＝∠BDC，

∴△BDC为等腰三角形．

∴∠ADC＝180°

﹣50°

＝130°

∴两个等腰三角形的顶角分别为130°

130°

【点评】本题主要考查的是等腰三角形的判定、三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BAE＝40°

，根据三角形的内角和即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAE＝80°

，根据三角形的内角和即可得到结论．

（1）∵BE＝AE，∠B＝40°

∴∠B＝∠BAE＝40°

∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝80°

∵AD是BC边上的高，

∴∠ADE＝90°

∴∠EAD＝180°

﹣∠ADE﹣∠AEC

＝180°

﹣90°

﹣80°

＝10°

；

（2）∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAC＝2∠BAE＝80°

∴∠C＝180°

﹣∠B﹣∠BAC，

﹣40°

＝60．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理、角平分线的定义、角的和差计算；

熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

（1）根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°

﹣2∠BAE①，∠C＝180°

﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°

﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°

﹣∠BAC，代入求出即可；

（2），（3）同

（1）．

（1）∵BE＝BA，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴∠B＝180°

﹣2∠BAE，①

∵CD＝CA，

∴∠CAD＝∠CDA，

﹣2∠CAD，②

①+②得：

∠B+∠C＝360°

﹣2（∠BAE+∠CAD）

∴180°

﹣∠BAC＝360°

﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，

∴﹣∠BAC＝180°

﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，

﹣2（∠BAC+∠DAE），

∴2∠DAE＝180°

﹣∠BAC．

∵∠BAC＝90°

＝90°

∴∠DAE＝45°

（2）由

（1）知，∠DAE＝

﹣∠BAC）＝

﹣120°

）＝30°

（3）由

（1）知，β＝

﹣α），

∴α+2β＝180°

【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出2∠DAE＝180°

【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°

，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠ABC＝∠BAP＝∠CAQ＝30°

，从而求解．

∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，

∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°

，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．

又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，

∴∠ABC＝∠BAP＝∠CAQ＝30°

【点评】此题主要考查了运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．

【分析】根据两种方法进行证明三角形ABC是等边三角形即可．

【解答】证明：

证法一：

∵CD∥AB，

∴∠A＝∠ACD＝60°

∵∠B＝60°

在△ABC中，

∠ACB＝180°

﹣∠A﹣∠B＝60°

∴∠A＝∠B＝∠ACB．

∴△ABC是等边三角形；

证法二：

∴∠B+∠BCD＝180°

∴∠BCD＝120°

∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACB＝60°

∠A＝180°

﹣∠B﹣∠ACB＝60°

∴△ABC是等边三角形．

【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据两种方法解答．

（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可；

（2）根据平行线的性质和三角形的内角和解答即可．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠A＝∠C＝60°

∵∠B+∠1+∠DEB＝180°

∠DEB+∠DEF+∠2＝180°

∵∠DEF＝60°

∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，

∴∠2＝∠1＝50°

（2）连接DF，

∵DF∥BC，

∴∠FDE＝∠DEB，

，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°

，∠DEF＝60°

∴∠1＝∠3．

【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答．