浅谈实变函数.docx

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现代分析基础课程论文

姓名：

吴禹均

学号：

116110001115

学院：

自动化学院

指导教师：

姚洪亮

日期：

2016年12月

一、前言

为了能够使我们更快地从本科生的基础过渡到研究生的水平，在研一的上半学期学校为我们开设了现代分析基础的课程，本学期是由姚洪亮老师为我们讲授实变函数的有关知识。

通过姚洪亮老师为期10周的讲解加上自身对本课程的学习，拓宽了我的知识面，并为今后的学习打下了牢固的基础。

以实数作为自变量的实变函数与数学分析是紧密相连的，实变函数也是泛函分析的基础，而泛函分析与我们控制专业的联系是千丝万缕的。

本学期所学习的实变函数论的内容主要包括集合与点集、Lebesgue测度、可测函数、Lebesgue积分、Lebesgue空间和微分与不等式等。

下面我将谈谈学习完这些主要知识后带给我的一些感受。

二、认识实变函数

实变函数是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。

因此课程最开始先接触到的就是集合与点集的有关知识。

点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。

也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。

比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。

实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。

实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。

由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。

因此，在课程的第二部分，姚老师就为我们引入了测度的概念。

简单地说，一条线段的长度就是它的测度。

测度概念对于实变函数论十分重要。

集合的测度这个概念是由法国数学家Lebesgue提出来的。

为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。

1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。

波莱尔的学生Lebesgue后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“Lebesgue测度”、“Lebesgue积分”的概念。

Lebesgue还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。

Lebesgue积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。

在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。

Lebesgue积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。

最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。

但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生，很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。

Lebesgue积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来又推广到积分可以不是绝对收敛的。

从这些就可以看出，Lebesgue积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的积分定义广大多了。

也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。

自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。

这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。

举例来说，如果能把A类函数表示成B类函数的极限，就说A类函数能以B类函数来逼近。

如果已经掌握了B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出A类函数的相应性质。

逼近论就是研究一类函数用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出现的各种情况。

和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。

和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。

以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。

总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支中的应用是现代数学的特征。

三、Lebesgue积分与Riemann积分的比较

对于定义在[a,b]上的函数f，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。

对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求{Ek}是单调增加的可测集合列，其并为E，若极限存在，则f在E上勒贝格可积，且有

当Ek是矩体Ik且f（x）在每个Ik上都是有界连续函数，同时满足时，可以通过计算黎曼积分而得到勒贝格积分

而且计算方法与Ik的选择没有关系，只需保证{Ik}单调增加到并集E。

勒贝格积分是黎曼积分的推广与发展，是一种新型积分理论。

相对于黎曼积分而言，勒贝格积分处理一些问题是相当灵活与自然的。

黎曼积分相对勒贝格积分有明显的局限性。

勒贝格积分比黎曼积分有明显的优势，它将可积函数类拓广为有界可测函数。

勒贝格积分的可积范围比黎曼积分广泛，比如[a,b]上的连续函数黎曼可积，也勒贝格可积，此外，还有非黎曼可积，但勒贝格可积的例子有很多，如[0,1]上的狄立克莱函数 

就是黎曼不可积，但是勒贝格可积。

勒贝格积分包含了黎曼积分，这样的结论：

f（x）在[a,b]上黎曼可积，则有勒贝格可积，且积分值相同。

在数分中，经常遇到的一个重要问题是两种极限过程的交换次序问题，尤其是积分与函数列的极限的交换问题在那里，一般都是用函数列一致收敛的条件来保证极限运算与积分运算的次序可以交换但是，“一致收敛”这个条件是过于苛刻了，这也暴露出黎曼积分定义的缺陷。

其实黎曼积分与勒贝格积分大体上是相似的，仅从分割函数的定义域的角度来说，其区别在于黎曼积分所考虑的分划（如定义），只是把原来的区间分解成有限多个小区间，而勒贝格积分的分划则是把[a,b]分成有限多个互不相交的可测子集，由定义对比可知，前者的分划必是后者的分划，所以黎曼意义下的大、小和必是勒贝格意义下的大、小和，故得到相同的积分值。

因为勒贝格积分相对黎曼积分的优越性，所以平时我们运用勒贝格积分解决黎曼积分中较难的问题。

总结为：

1、勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，它从数学侧面验证了科学哲学思想中的对应原理。

2、勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义，使得可积性的条件要求减弱了。

它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积，这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。

3、勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。

它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。

由勒贝格控制收敛定理可知，只要所给函数列可测、有界、收敛，积分与极限就可换序，这一点在三角级数、热学研究中非常重要。

4、勒贝格积分并没有完全否定和抛弃黎曼积分，它把黎曼积分作为一种特例加以概括，并且在一定条件下勒贝格积分可以转化为黎曼积分。

由此可见，勒贝格积分和黎曼积分各有自己的优势和价值。

在计算连续函数的积分时， 黎曼积分要比勒贝格积分简便、优越。

但勒贝格积分是积分发展史上的一次革命，它使得积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化，从而有可能在现代水平的层次上向其它现代数学分支渗透，促进了其它学科的发展，特别是三角级数和函数序列方面。

概率论，泛函分析等学科也受到勒贝格积分的积极影响。

四、浅谈实变函数与数学分析之间的关系

事实上，由于在导师的安排下，要求我在平时的课余时间学习有关数学分析的知识。

通过自学了数学分析的部分内容，在实变函数课程结束之后，我深深地发现了二者之间存在着紧密的联系，下面我就来谈谈对二者之间关系的见解。

实变函数是在弄清与理解数学分析理论中的一系列奇怪的发现中产生的，它的理论是建立在实数理论与集合论基础上的，而极限仍是研究实变函数的主要工具。

实变函数既是先前各类分析课程的深化和继续，同时又为继续学习其它后续课程（如泛函分析、概率论、拓扑学等）打下必要的基础。

因此，实变函数与数学分析有着比任何课程更为密切的关系。

极限方法在研究实变函数理论中得到更充分的应用。

极限方法是研究数学分析的主要方法，与它相比，极限方法在研究实变函数理论中得到更加充分的应用，事实上，一方面（L）积分是在（L）测度基础上建立起来的，而（L）测度与作为（R）积分基础的Jordan测度相比，不仅具有有限可加性，更具有可数可加性;另一方面，（L）积分论的研究对象是定义在可测集上的可测函数，它与数学分析的主要研究对象———连续函数相比，有本质区别，连续函数对极限运算不封闭，而可测函数在极限运算下是封闭的。

这就是说，极限运算对可测集、可测函数可畅通无阻地进行使用，也正是由于这个原因，使极限运算在（L）积分理论中得到充分的应用，而且使（L）积分能克服（R）积分的局限性。

例如Lebesgue控制收敛定理，提供了比（R）积分较弱的条件，使极限与积分次序可以交换，即它不要求验证极限函数f（x）的可积性，分析其原因正是基于“可测函数的极限函数仍是可测函数”这一特性，因此（L）积分较之（R）积分有着更为广泛的应用。

连续函数是研究实变函数理论的重要手段。

实变函数的研究对象是定义在可测集上的可测函数类，它扩大了数学分析的研究对象———定义在Rn上的连续函数，但连续函数仍是研究实变函数理论的一种重要手段。

连续函数是研究可测函数的重要手段可测函数与连续函数有着密切的联系。

一方面，定义在可测集上的连续函数是可测函数;另一方面，由鲁津定理揭示了可测函数的结构:

在可测集上a.e有限的可测函数是“基本”连续函数。

这样既使我们进一步了解可测函数，又为我们提供了利用连续函数研究可测函数的一种有效手段，即把有关可测函数问题归结为连续函数问题而使问题得到简化。

L）积分是以Rn上点集的（L）测度为基础建立的，因此需要用集合论的一般结果结合Rn的拓扑结构去研究Rn上点集的特性。

因此，实数理论仍然是实变函数理论的基础。

另外，有很多定理若用数学分析的方法来证明是十分困难的，但是若改用Lebesgue控制收敛定理，就可立即得出结论。

例如Riemann积分的“控制收敛”定理。

因此，通过这些联系，我进一步体会到学习实变函数理论确实能帮助加深对数学分析中的有关内容的理解，实变函数与数学分析间有着比任何课程更密切的联系。

五、总结

实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响，特别是Lebesgue积分作为纯粹数学研究的产物，在控制论等自然学科有着深刻而重要的应用。

我所攻读的控制理论学科，通常被视为一门应用数学学科。

然而，不管对系统进行分析还是综合，首要前提就是建立起系统的数学模型（如表征系统输入输出关系的传递函数、表征系统内部信息的状态空间描述等），对系统的主要属性进行数学描述，利用适当的数学工具对系统属性间的关系进行定量描述和分析。

随着控制理论的发展，所用的数学工具也随着变化。

可以说，具体学科的发展为数学的发展提供了素材，而数学的发展，也为具体学科的发展提供了更为有力的工具。

尽管控制理论的发展经历了经典控制理论、现代控制理论和大系统、智能控制理论的过程，现代数学分析的法则则贯穿于控制理论学科发展的全过程。

它的基本工具和手段是数学的理论与方法。

同时，它对许多数学学科的理论也有着创造性的发展。

有人说过：

“一个优秀的系统与控制专家所应掌握的数学工具不应比一个数学家要少。

”作为一名控制科学与工程的研究生，虽然不能同时掌握控制理论所有的前沿知识，但是必须要对不同的控制理论与控制方法有一个比较全面的了解。

因此掌握基本的实变函数的知识和扎实的现代数学分析基础的知识尤为重要。

必须打下良好的数学基础，才能在将来的理论研究和工程实践中做到得心应手，有所作为。

参考文献

1.胡适耕.实变函数[M].北京:

高等教育出版社,2014

2.周民强.实变函数论[M].北京:

北京大学出版社,2008

3.薛昌兴.实变函数与泛函分析[M].北京:

高等教育出版社,1993

4.沈燮昌,邵品琮.数学分析纵横谈[M].北京:

北京大学出版社,1991