天津市2020届高三数学试题分类汇编——圆锥曲线.doc

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一、选择题

1（一中2020月考理4）．以为焦点且与直线有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是（C）

A．B．C．D．

2（一中2020月考理5）．双曲线的右焦点为，右准线与一条渐近线交于点，的面积为，则两条渐近线的夹角为（A）

A． B．C．D．

3（2020年滨海新区五所重点学校联考理5）、设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的方程为（A）

A．B．C． D．

4（2020年滨海新区五所重点学校联考文6）．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 （6．A）

A． B．

C． D．

5（汉沽一中2020届月考文8）.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（D）

A．B．C．D．

6（武清区2020学年度期中理）

A

二、填空题

1（汉沽一中2020届月考文12）．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.

2（2020年滨海新区五所重点学校联考文11）．抛物线的焦点坐标是（0，1）

3（和平区2020年高考数学（理）三模16）.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=30°，AB，AC边上的高分别为CD，BE，则以B，C为焦点且经过D、E两点的椭圆与双曲线的离心率的和为。

4．双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是___。

三、解答题

1（（一中2020月考理19）．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？

若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

解：

（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得

………………………………………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………（2分）

对于椭圆，

………………………………（4分）

对于双曲线，

………………………………（6分）

（Ⅱ）设的中点为，的方程为：

，以为直径的圆交于两点，中点为

令………………………………………………（7分）

2（一中2020月考理20）设椭圆的焦点分别为、，右准线交轴于点，且

.

（1）试求椭圆的方程；

（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示），试求四边形面积的最大值和最小值.

解：

（1）由题意，

为的中点

即：

椭圆方程为

（2）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积.同理当与轴垂直时，也有四边形的面积.当直线，均与轴不垂直时，设:

，代入消去得：

设所以，，所以，

，同理所以四边形的面积令因为当，且S是以u为自变量的增函数，所以.

综上可知，.故四边形面积的最大值为4，最小值为.

3（汉沽一中2020届月考文20）．（本小题满分14分）

如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m>0）作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．

（1）设点P分有向线段所成的比为λ，证明

（2）设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

20、解（Ⅰ）依题意,可设直线AB的方程为,

代入抛物线方程得：

……………①…………………2分

设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）,则x1、x2是方程①的两根．

所以

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

得，即…………………4分

又点Q是点P关于原点的以称点，

故点Q的坐标是（0，--m）,从而

=

=

=

=

=0，

所以………………………………………………………7分

（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）．

由得，

所以抛物线在点A处切线的斜率为．…………………………9分

设圆C的方程是，

则　　……………………………11分

解之得…………………13分

所以圆C的方程是．………………………………………………14分

4（2020年滨海新区五所重点学校联考理21）．（本小题满分14分）

设上的两点，

已知，，若且椭圆的离心率

短轴长为2，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：

△AOB的面积是否为定值？

如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

解：

（Ⅰ）

椭圆的方程为……………………3分

（Ⅱ）由题意，设AB的方程为

由已知得：

……7分

（Ⅲ）

（1）当直线AB斜率不存在时，即,由得……………………8分

又在椭圆上，所以

所以三角形的面积为定值……………………9分

（2）.当直线AB斜率存在时：

设AB的方程为y=kx+b

……………………10分

………………………………………12分

所以三角形的面积为定值.………………………………………14分

5（本小题满分14分）

在直角坐标平面内，已知点，是平面内一动点，直线、斜率之积为.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

解:

（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，有

.…………………3分

化简并整理，得

.

∴动点的轨迹的方程是.…………………5分

（Ⅱ）解法一：

依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为,…………………………………………………………………………6分

由方程组

消去，并整理得

设,,则

，………………………………………………………8分

∴

∴,

……………………………………………10分

（1）当时，；……………………………………………11分

（2）当时,

.

.

且.…………………………………………13分

综合

（1）、

（2）可知直线的斜率的取值范围是：

.………………14分

解法二：

依题意，直线过点且斜率不为零.

（1）当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；…………6分

（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为,…………7分

由方程组

消去，并整理得

设,,则

，………………………………………………………8分

∴

…………………10分

.

.

且.…………………………………………13分

综合

（1）、

（2）可知直线的斜率的取值范围是：

.………………14分

6（汉沽一中2020学年月考理18）．（本小题满分13分）设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．

（I）求轨迹C的方程；

（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围．

18．（本小题满分13分）

解：

（I）设P（x，y），因为A、B分别为直线和上的点，故可设

，．

　　　∵，

　　　∴∴………………………4分

　　　又，

　　　∴．……………………………………5分

　　　∴．

　　即曲线C的方程为．………………………………………6分

（II）设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）=（s，t-16）．

故，．……………………………………8分

∵M、N在曲线C上，

∴……………………………………9分

消去s得．

由题意知，且，

解得．………………………………………………………11分

又，∴．

解得（）．

故实数的取值范围是（）．………………………………13分

7（和平区2020年高考数学（文）三模22）.（本小题满分14分）

已知点，点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且

又。

（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）若直线与轨迹C交于A、B两点，AB中点N到直线的距离为，求m的取值范围。

22.（本小题满分14分）

解：

（1）设

由得（2分）

∴，即（4分）

由

∴（6分）

（2）由消去得

由N是AB的中点∴（8分）

又由已知

∴

∵，∴（11分）

令，则

双

综合∴（14分）

8（和平区2020年高考数学（理）三模22）.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，线段AB与y轴交于点，直线AB的斜率为K，且满足。

（1）证明：

对任意的实数，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；

（2）对

（1）中的抛物线C，若直线与其交于M、N两点，求

∠MON的取值范围。

22.（本小题满分14分）

解：

（1）由已知设①

又设抛物线②

由①②得（2分）

设，则

由弦长公式得

（4分）

∴

而，所以

即抛物线方程为（6分）

（2）设

由

而

则，，，（7分）

不妨设，由于，则

令，则ON到OM的角为，且满足

（9分）

令，则，且

∴（10分）

函数与在上皆为增函数

∴

∴（12分）

则（13分）

又时，

∴（14分）