（2010xx理数）（18）（本题满分14分）在厶ABCxx角AB、C
所对的边分别为a,b,c，已知
⑴求sinC的值;
高考数学三角函数练习题及答案解析
（II）当a=2,2sinA=sinC时，求b及c的长.
解析：
本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（I）解：
因为cos=1-2sin二，及OvCvn
所以sinC=.
（I）解：
当a=2,2sinA=sinC时，由正弦定理，得
c=4
由cos=2cos-1=,J及OvCvn得
cosC=±
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得
b2±b-12=O
解得b=或2
所以b=b=
c=4或c=4
（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）
中，为边上的一点，，，，求.
高考数学三角函数练习题及答案解析
【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
【参考答案】
由cos/ADC*0,知Bv.
由已知得cosB=,sin/ADC=.
从而sin/BAD=sin（/ADC-B）=sin/ADCcosB-cos/ADCsinB==.
由正弦定理得,所以=.
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.
解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
（2010xx文数）17.（本小题满分12分）在厶ABCxx已知B=45°,D是BC边上的一点,
AD=10,AC=14,DC=6求AB的长.
解在厶ADCxxAD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
高考数学三角函数练习题及答案解析
cos=,
ADC=12°0,ADB=6°0
在厶ABDxxAD=10,B=45°,ADB=60°,
由正弦定理得,
AB=.
（2010xx文数）（17）（本小题满分12分）
在xx，分别为内角的对边，
且
（I）求的大小；
（H）若，试判断的形状.
解：
（I）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
（”）由（I）得
又，得因为，
高考数学三角函数练习题及答案解析
故
所以是等腰的钝角三角形。
（2010xx理数）（17）（本小题满分12分）
在厶ABCxxa,b,c分别为内角A,B,C的对边，且
2asinA=（2ac）sinB（2cb）sinC.
（I）求A的大小；
（H）求的最大值.
解：
（I）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故，A=120°……6分
（H）由（I）得：
sirB+siC=sBnsin（~6B0
1cosBsinB2
-sin（60B）
（2010全国卷2文数）（17）（本小题满分10分）
中，为边上的一点，，，，求。
【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形
ABDxx由正弦定理可求得AD
（2010xx理数）17.（本小题满分12分）
已知函数。
（1）当m=0时，求在区间上的取值范围；
（2）当时，，求m的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。
依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.
解：
（1）当m=0时，
，由已知，得
从而得：
的值域为
高考数学三角函数练习题及答案解析
化简得：
当，得：
，，
代入上式，m=-2.
（2010xx文数）16、（本小题满分12分）
的面积是30，内角所对边长分别为，。
（I）求；
（n）若，求的值。
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
【解题指导】
（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.
解：
由，得.
又，二.
n），
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30,,所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.
（2010xx文数）（18）.（本小题满分13分），（I）小问5分，（II）小问8分.）
设的内角AB、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc.
（I）求sinA的值；
（I）求的值.
«：
（I）由余玆定理冯―』
2sinU
（2010xx文数）（18）（本题满分）在厶ABCxx角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设SABC的面积，满足。
（I）求角C的大小;
高考数学三角函数练习题及答案解析
（H）求的最大值。
:
叭車越主豪S磁疋玻上角弗賣馳式、三角变换尊誉嗣识，同时屜三般丽解旌九満分U
i*所以伽C恳"
W%U“5
所以寮
fD;；diLitimilI**in/f=科町［-Mfl（tr-C-^）=Mil\+A；h{-4）
Q1sitil-A*■*6
2册形珂脱尊号.
MUmhI
（2010xx理数）（16）（本小题满分13分，（I）小问7分，
（II）小问6分）
设函数。
（I）求的值域；
（II）记的内角AB、C的对边长分别为a,b,c,若=1,b=1,c=，
求a的值。
=sin（jt++1
D
（2010xx文数）（17）（本小题满分12分）
已知函数（）的最小正周期为,
（I）求的值;
（II）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变,
得到函数的图像，求函数在区间上的最小值
trvz#■■■»
A*:
CI）ES为/所現
/（X）■+匕_£|!
?
££
-£-tn2tfz+-^-CQiZwX+扌■^sinCZfcjE+于｝+*
曲：
＞o•依题伽話■承
阿p<■*«■9t■*««9-K*49«■*>«***»44*
“〉触T）知g■yiin（2x+^）4-i*
所臥g（x＞-f3■警血g十护+寺・当o吒jt瑶畚昭于％*工+十站T为
故＜（J）:
&扛间®話］上的咼小值为h
（2010xx文数）（15）（本小题共13分）
已知函数
（I）求的值;
（H）求的最大值和最小值
解：
（I）=
（n）
=3cos2x-1,xR
因为,所以，当时取最大值2;当时，去最小值-1
高考数学三角函数练习题及答案解析
（2010xx理数）（15）（本小题共13分）
已知函数。
（I）求的值；
（H）求的最大值和最小值。
解：
（I）
（II）
一5
因为，
所以，当时，取最大值6；当时，取最小值
（2010xx理数）（19）（本小题满分12分）
（I）证明两角和的余弦公式；
由推导两角和的正弦公式.
（H）已知△ABC的面积，且，求cosC.
本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函
数间的关系等基础知识及运算能力
解：
（1）①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆Q并作出角a、
B与一B,使角a的始边为Qx,交OO于点P1，终边交OO于P2;角B的始边为QP2终边交OO于P3;角一B的始边为QP1终边交OO于P4.
则P1（1,0）,P2（cosa,sina）
P3（cos（a+B）,sin（a+B））,P4（cos（—[3）,sin（—p））
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得
[cos（a+B）—1]2+sin2（a+B）=[cos（—B）—cosa]2+[sin（—B）—sina]2
展开并整理得：
2—2cos（a+B）=2—2（cosacosB—sinasinB）
cos（a+B）=cosacosB—sinasinB4
分
②由①易得cos（—a）=sina,sin（—a）=cosa
sin（a+B）=cos[—（a+B）]=cos[（—a）+（—B）]
=cos（—a）cos（—B）—sin（—a）sin（—B）
=sinacosB+cosasinB6分
⑵由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
高考数学三角函数练习题及答案解析
贝yS=bcsinA=
=bccosA=3>0
「•A€（0,）,cosA=3sinA
又sin+cos=1,「•sinA=,cosA=
由题意，cosB=,得sinB=
cos（A+B）=cosAcosB—sinAsinB=
故cosC=cos[n—（A+B）]=—cos（A+B）=
—12分
（2010xx文数）（17）（本小题满分12分）
在ABCxx，。
（I）证明B=C
（H）若=-，求sin的值。
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与xx等基础知识，考查基本运算
能力.满分12分.
高考数学三角函数练习题及答案解析
（I）证明：
在厶ABCxx由正弦定理及已知得=.于是
sinBcosC-cosBsinC=0，即卩sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.
所以B=C.
（H）解：
由A+B+C和（I）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.
又0<2B<,于是sin2B==.
从而sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=.
所以
（2010xx理数）（17）（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（H）若，求的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与xx、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的xx等基础知识,考查基本运算能力，满分12分。
（I）解：
由，得
f（x）二.3（2sinxcosx）（2cos2xT）=3sin2xcos2x二2sin（2x）
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，所以函数在区间上的最大值为2,最小值为-1
（H）解：
由
（1）可知
又因为，所以
由，得
从而
所以
3-4；3
10
（兀）兀］（兀）兀（兀）兀
cos2xo=cos|2xo+—丨一一=cosI2xo+—Icos—+sin2x°+—lsin—
006丿6一I6丿6I06丿6
（2010xx理数）16、（本小题满分14分）
已知函数在时取得最大值4.
（1）求的最小正周期；
（2）求的解析式；
（3）若（a+）=,求sina.
■':
l7y
is.解；⑴7=—T
3
（2）由_/（工）的叢犬值是4知，A=4,
⑶/◎+令=4刑3（"+令+存字即邮（和+評少|,
（2010xx文数）
16.（本小題满分M分）
设函=3sm（to+-^）.0>Oa"-X/kx）»且以百为最仝忑周期.
（1）求㈣；
（2）求的誕析式；
（3）£>—>=-,求血口的值.
4125
解：
（！
）/（O）s-3sm（6J-0+—）a：
3x-s-
622
（2）vT—=兰nq二4
曲2
:
./（x）=3sa（4x+^）
6
（3）/（^+—）=3sin（4（-^—）+-]=3sm（o+-）
八41241262
故：
sina=±V1-cos'a=±“
（2010全国卷1理数）（17）（本小题满分10分）
已知的内角，及其对边，满足，求内角.
co实AcosS
脾：
由已知反£E菠定理，Wsiii^+sin3=sin^*—+sinF•—:
=；cosj4+cosB
sin^4sinB
真3处jtjr3^7l^r7jT
sin.4-008^4-cosB-sinB,.\sin（j4——）=stn（B+—）/;D<——vH——<—<—<——
4444444
门盲十盼*="*+迟右亏
（2010xx文数）（19）（本小题满分12分）
（I）证明两角和的余弦公式;
由推导两角和的正弦公式.
（H）已知，求
（2010xx文数）16.（本小题满分12分）
已经函数
（I）函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？
（H）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。
16.本小愿主骥番査三角函敷的悄输变換.础妙识和运HIE力*I満井12分）
Mi（I）/（x>«^co»2jr*~$in（2x++・
2-"2Z24
的图象只需耍把叙打的酣發向左屮t埒牛和沐弧的
*1
枸钦向上平样丄个旅擁检疫耨n乩
4
fl2x+--2*ji+x（icZ）rt小们-逻*丄》:
上2返.
4244
敞巧取徇星小«z）.
U
（2010xx理数）
高考数学三角函数练习题及答案解析
三、解答题〕本大题共E小题’共“分*
G+“（（kx补基觴过克qgh
门？
）（本/卜題満分心分）已知函數/（jt）=-^sin2xsin＜i）求事的值*
（I】）将函数尸/㈤餉圏靈上各点的橫坐标谿晅到康来的丄纵坐标不变，得到函数尸的图塞
2求函数£仗）在咸扌】上的最大值和最小值.
【解析】（【＞因肉已知函馥聽过点（-：
-＞*所以有
11.JT.2打1.（打）
—=—an2x—sm^+cos—cos^p--sin—+^\
2
26&2^2J
5^7T77""TT
H-—所限卩+―=_+解得卩=_・
26623
gm2?
c+—co占'H—=—sun2区+—x
24A2
7FtT賁賓％賞
所以豈（耳）=亠血（4計卫），因^js&[0,-＞所l^4z+-e[-,—],
264666
所以当4只+£二£时，蛊（弄）取最大值21当=T或字时，畧（刃取最小值;.
6226664
【命题意图】本題考查三肃函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函魏的最庖问题.労析间题耳解决间题的能力.
（2010xx理数）16.（本小题满分12分）
已知函数.
（I）求函数的最大值;
（II）求函数的零点的集合。
【解析】（I）因?
a/（x）=-73sin2x-（1-co52x）=2sin（2x+—
6
所以，S2x+-=2^+-,即x=k7r^-（keZ^i,函数才（力取最大值1屮
626
（II）解准1由
（1）Rf（x）=O得血（2尢+三）=二所以事
62
2x+—=»或2x+—=lk7t+—r即厂疋兀或龙=上更+二心
6666^3
故求函数/«的零点的集合为31尸血，或兀二睑+二用已Z》卜
3
由金）=0得2屈in.ycosx=2sin"兀于是吕inx二Q或前cosx=sinx*
即tanx=^/3*J
由sinx=0可知沪Atz;即tanx二希可知，疋=上兀十三*
3
故求函数f（x）的零点的集合沟｛x|jc=a\或x二上7+2用E卍
【彷題意图】本题劣查三角妙的恒爭变形，简单三角芳程，二倍角公丸两角和差的正余弦公式，琴察学生三角运算血属中档题亠
（2010xx理数）16.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=
（I）求函数f（x）的最小正周期;
（H）求函数h（x）=f（x）—g（x）的最大值，并求使h（x）取得最
大值的x的集合。
16.本疏鬆主妾龙查三张伍数的基冻公武.册需和最值需義础如识.的时灣杏蔓左运算能力.
（滴分12井〉
W：
fI）/（X）€0S（^+X）COS（JJ0=（*tosI;3,:
■-ecuX—iin*x
4J
（1J}A（r）=/（x>-x（Jr）.丄co*2x-丄sin2x=—co$（2jr+—
2224
^2jt+^-2j^atZJH：
机力駄邯址人债申*
心2
肌巧取时址人ut时.对阵的・Jtczj*g
（2010xx理数）19.（本小题满分13分）
。
，轮船位于港口Oxx偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿xx方向匀速行驶。
假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到/小时，试设计航行方案
（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】如图，由
（1）得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在AC（包含C）的任意位置相遇，设，0D=
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，
高考数学三角函数练习题及答案解析
所以，解得，
从而值，且最小值为，于是
当取得最小值，且最小值为。
此时，在XX,，故可设计航行方案如下：
航行方向为xx偏东，航行速度为/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
（2010XX理数）16、（本小题满分12分）
设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且
。
（I）求角的值；
（II）若，求（其中）。
（场）（本小题满分口分）本题考查两角和的正弦公式，同角二角函数的基本关系，特汰角的三毎函数值，向就的数fi积’利用余弦宦理解三角形等有黄知识，考查综合运算求解能九
解：
（【）因为sin?
A=（ycosfi+y-sin5）（^-cosB亠ysihB）
_32，n1.1ry.23
==-cosB-—-amB+=—
444
所以心二土孕又A为锐角，所以A=-^
（n）由諺・AC=12可得
cbcoaA-12h'①
由（I）知肛牛所以
424.②
由余弦定理ftaI=c1+52-2c6ccs4,将*2刀及（3＞（弋人，得
J+b—厶③
③+②x2,得。
+疔=100,所以"
c+i=10,
因此，6占是一元二武方程?
-10i+24=0的两个抿+
解此方程并由20知"6,6=4,
（2010xx卷）17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔ae的高度h（单位：
m，如示意图，垂
直放置的标杆BC的高度h=,xx/ABE=/ADE=
（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24,tan=1.20，请据此算出
H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：
m，使与之差较大，可以提高测量精确度。
若电视塔的实际高度为，试问d为多少时，-最大？
［解析］本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式
的应用。
（1），同理：
，
高考数学三角函数练习题及答案解析
AD—AB=DB故得，解得：
。
因此，算出的电视塔的高度H是。
（2）由题设知，得，
（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，贝几所以当时，-最大。
故所求的是m
（2010xx卷）23.（本小题满分10分）
已知△ABC的xx长都是有理数。
1、求证cosA是有理数；
（2）求证：
对任意正整数n,cosnA是有理数。
［解析］本题主要考查余弦定理、数学xx等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。
满分10分。
（方法一）
（1）证明：
设xx长分别为，，T是有理数,
是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
二必为有理数，•••cosA是有理数。
（2）①当时，显然cosA是有理数；
当时，丁，因为cosA是有理数，二也是有理数；
②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。
当时，，
解得：
VcosA,，均是有理数，.••是有理数，
是有理数。
即当时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。
（方法二）证明：
（1）由ABBCAC为有理数及余弦定理知
是有理数。
（2）用数学xx证明cosnA和都是有理数。
1当时，由
（1）知是有理数，从而有也是有理数。
2假设当时，和都是有理数。
当时，由，
及①和归纳假设，知和都是有理数。
即当时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
升级会员 