对称性在二重积分计算中的应用资料下载.pdf

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#加铭血司细祀58=4利用对称性计算二重积分,可以使计算简化。

在一般情况下,不仅要求积分区域1具有对称性,而且被积分函数对于区域1也要具有对称性。

但在特殊情况下,即使积分区域1不对称,或者关于对称区域1的被积函数不具备对称性,也可以经过一些技巧性的处理,使之化为能用对称性来简化计算的积分。

下面对三种常见对称形式的二重积分的简化运算进行一些研究。

一侧的那部分区域!

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（,乃二%二,刃二（,则,%,力关于的奇函数,而五二%,刃二（是关于的偶函数,由对称性有当区域不对称时,可试试是否可将它分解为几个区域,如果分解后具有对称性,也可使计算简化。

【定理?

设二元函数%,（+在平面区域连续,且刀关于.轴和#轴都对称,则,+当六一.,刃二一%,刃或%,一（+二一%二,刃时,有如,+、二。

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叮1例3计算,二井%十3,+、,其中”,）,二石4（二粤（,产5567二,汀,3、,汗,3、,汀,3?

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（+幽4（）刀油合二言,一般地,当积分区域具有对称性,而被积分函数%,刃不具有对称性时,可以考虑被积分函数分项,看看每项是否可以汗日日?

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利用对称性来计算。

例93计算:

二.;

）呻%.和二二一所围成的闭区域。

图（2犷又略解如图,刀关于轴和#轴均对称,且被积分函数关于和#是偶函数,即有%,一（+二%一,（+二%,（+,由定理?

有,二小,二）,3+、二叮%）3,+、,其中,是的第一象限部分,由对称性知尸一一一一（丁了夕2图9略解如图9,区域刀没有对称性,所以不能直接利用对称性来计算,但作一辅助线（二一护,则刀分成刀,和刀两部分,关于#轴对称,关于.轴对称,又被积函数%,力2.;

）沙%.）尹+=是关于.的奇函数,而;

勺巾%.+%一,一,+二%,+时,有如,+、二盯%二汗%嗯伴日刀,一护1?

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二,（二一以及劣,十当积分区域关于（二对称时,被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以使二重积分计算化简,类似的,若积分区域关于直线（二一对称,且满足几产八一（,一+二1或满足只一（,如一（+卿%,+,则如,+、二。

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一二三、积分区域关于直线（二土对称【定理9=设二元函数%,刃在平面区域连续,且二刀）+如,+、二如,+、万%,+、二万%一,、在进行二重积分计算时,善于观察被积函数和积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称性方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分问题的解答大大简化。

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二参考文献【朱时3数学分析札记【=3贵州省教育出版社,93【幻李久平3广义对称性在积分计算中的应用=3工科数学,?

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梅顺治,刘富春3高等数学方法与应用【=3科学出版社,?

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