定积分在生活中的应用资料Word文件下载.docx

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,卅，Xn作极限lim0fix

i1Pi1

如果不论对a,b怎样分法，也不论在小区间人1必上点i怎样取法，只要当P0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数fx在区间a,b上的定积分（简称积分），记作bfxdx，即a

xdx=I

其中fx叫做被积函数,

dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫

做积分下限，b叫做积分上限，

a,b叫做积分区间。

2.定积分的性质

设函数fx和gx在a,b

上都可积，k是常数，则kfx和f

都可积，并且

bb

kfxdx=kfxdx;

aa

bbb

fxgxdx=fxdx+gxdx

aaa1

fxgxdx=fxdx-gxdx.

aaa

性质1

性质2

xgxdx=

性质3

定积分对于积分区间的可加性

的相对位置如何，都有

在区间上可积，且a,b和c都是区间内的点，则不论

b

fxdx=fxdx+

a

性质

存一点使得

3.定理

如果在区间

a,b上f

如果在［a,b］上,m

（定积分中值定理）

f（x）dxf（）（b

定理1微积分基本定理

f（x）

如果

a）

c

fxdx。

1，贝y1dx=dx=ba。

7aa

0，则fxdx0ab。

M贝卩m（ba）f（x）dxM（b

f（x）在［a,b］上连续，则在［a,b］上至少

如果函数fx在区间a,b上连续，则积分上限函数x

x

aftdt在a,b上

可导，并且它的导数是

dftdt

x=一

dx

定理2原函数存在定理

X

如果函数fX在区间a,b上连续，则函数X=aftdt就是fX在a,b上的一个原函数.

定理3如果函数Fx是连续函数fx在区间a,b上的一个原函数，

b贝yfxdx=FbFa

称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.

二、定积分的应用

1、定积分在几何中的应用

（1）设连续函数f（x）和g（x）满足条件g（x）f（x）,x[a,b].求曲线

yf（x）,yg（x）及直线xa,xb所围成的平面图形的面积S.（如图

1）解法步骤：

第一步：

在区间[a,b]上任取一小区间[x,xdx]，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以[f（x）g（x）]为高，以dx为底的矩形面积近似，于

是dS[f（x）g（x）]dx.

第二步：

在区间[a,b]上将dS无限求和，得到Sab[f（x）g（x）]dx.

图2

厂

/

亍〈=血刃

o|

*X

>

■土呂何

（2）上面所诉方法是以x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；

我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。

由连续曲线x（y）、x（y）其中（y）（y）与

直线yc、yd所围成的平面图形

（图2）的面积为：

d

Sc[（y）（y）]dy

例1求由曲线ysinx,ycosx

及直线x0,x所围成图形的面积A.

解

（1）作出图形，如图所示.

易知，在［0,］上，曲线ysinx与ycosx的交点为（才#）；

（2）取x为积分变量，积分区间为［0,］.从图中可以看出，所围成的

图形可以分成两部分；

（3）区间［0,-］上这一部分的面积Ai和区间［-,］上这一部分的面积A2

44

分别为

A14（cosxsinx）dx,A2（sinxcosx）dx,

4

所以，所求图形的面积为

AA-iA2=o4（cosxsinx）dx+（sinxcosx）dx

~4

sinxcosx0cosxsinx2-2.

7

22

例2求椭圆务占1的面积.

ab

解椭圆关于x轴,y轴均对称，故所求面积为第一象限部分的面积的

xacost

ybsint

4倍，即

S4S140ydx利用椭圆的参数方程

应用定积分的换元法,dxasintdt且当x0时,t—,xa时,t0,于是

S4bsint（acost）dt

2

4abo'

sin2tdt

cos2tlxdt

2.求旋转体体积

用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例

如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割T:

axox!

Xnb划

分成许多基本的小块，每一块的厚度为Xi（i1,2,,n），假设每一个基本的

小块横切面积为A（x）（i1,2,,n）,A（x）为a,b上连续函数，贝卩此小块的体

积大约是A（Xi）Xi，将所有的小块加起来，令T0，我们可以得到其体积：

体体积.

解先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化

区间为［1,4］，相应于［1,4］上任取一子区间［x,x+dx］的小窄条，绕x轴旋

转而形成的小旋转体体积，可用高为似代替，

即体积微元为

242

dV=ndx=冗

（一）dx,

于是，体积

dx,底面积为n2的小圆柱体体积近

442n1（）dx

|x

41=16n2dx

1子

16n^4=12n.

3.求曲线的弧长

（1）设曲线yf（x）在a,b上有一阶连续导数（如下图），利用微元

法，取x为积分变量，在a,b上任取小区间x,xdx，切线上相应小区间的

小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即Imnds•得弧长微元为:

dsMT,（dx）2（dy）21（y）2dx,再对其积分，

则曲线的弧长为：

sbdsb1（y）2dxb1[f（x）]2dx

（2）参数方程表示的函数的弧长

则曲线的弧长为

sds[（t）][（t）]dt

3

例3

（1）求曲线y-x2上从0到3一段弧的长度3

解由公式s=1y2dx（ab）知，弧长为

（2）求摆线

;

a;

cost）在012上的一段弧的长度（a0）•

解取t为积分变量，积分区间为［0,2］.由摆线的参数方程，得

xa（1cost），yasint，

2、定积分在经济中的应用

（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量

根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间［a,b］上的

改变量（增量）就等于它们各自边际在区间［a,b］上的定积分：

R（b）

R（a）

aR（x）dx

（1）

C（b）

C（a）

C（x）dxa

（2）

L（b）

L（a）

L（x）dx

（3）

例1已知某商品边际收入为0.08x25（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入R（x），总成本C（x），利润I（x）的改变量（增量）。

解首先求边际利润

L（x）R（x）C（x）0.08x2550.08x20

所以根据式

（1）、式

（2）、式（3），依次求出:

R（300）

R（250）

300

R（x）dx

250

（0.08x

25）dx=150万元

C（300）

C（250）

C（x）dx

dx=250

万元

L（300）

L（250）

L（x）dx

250'

20）dx=100万元

（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率

f（t）dt

设某经济函数的变化率为f（t），则称为该经济函数在时间间隔

t2t1

［t2,tl］内的平均变化率。

例2某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：

年）的函数：

r（t）0.080.015.t

求它在开始2年，即时间间隔［0，2］内的平均利息率

解由于

Q2r（t）dt：

（0.080.015,t）dt0.160.01仁口00.160.02.2

所以开始2年的平均利息率为

0r（t）dt-

r-0.080.01,20.094

20

例3某公司运行t（年）所获利润为L（t）（元）利润的年变化率为

L（t）3105（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔［3，

8］内年平均变化率

所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为

7.6105（元/年）

即在这5年内公司平均每年平均获利7.6105元

（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量

设某个项目在t（年）时的收入为f（t）（万元），年利率为r，即贴现率是f（t）ert，则应用定积分计算，该项目在时间区间［a,b］上总贴现值的

b.

增量为f（t）endt。

设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入

预计为a（万元）年利率为r，银行利息连续计算。

在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式

T

oaedtA

成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。

例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入

预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。

解这里A1000，a200，r0.08，则该工程竣工后T年内收入的总

卄/古斗T”小0.08t一2000.08tTclcc0.08T.

贴现值为200edte。

2500（1e）

00.08

令2500（1e0.08T）=1000，即得该工程回收期为

110001

T——ln

（1）——In0.6=6.39（年）

0.0825000.08

3、定积分在物理中的应用

1、求变速直线运动的路程

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数

v=v（t）（v（t）X））在时间区间［a,b］上的定积分，即sbv（t）dt

如图

例1、一辆汽车的速度一时间曲线

所示.求汽车在这1min行驶的路程.

解：

由速度一时间曲线可知：

3t,0t10,

v（t）30,10t40

1.5t90,40t60.

因此汽车在这1min行驶的路程是:

104060

s03tdt[io3Odt40（1.5t90）dt

3,2.104^.3,260

tb30tI10（t90t）I401350（m）

24

答：

汽车在这1min行驶的路程是1350m.

总结：

从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向学习、思维的妙处•因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的，若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃•