A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
4.θ是任意实数,则方程x2+y2sinθ=4表示的曲线不可能是( )
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
5.设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点,P在椭圆上,当△F1PF2面积为1时,的值为()
A.0B.1C.2D.
6.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于( )
A.或B.或2C.或2D.或
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:
x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1
8.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是( )
A.或B.或C.或D.
9.过椭圆+=1内的一点P(2,-1)的弦,恰好被P点平分,则这条弦所在的直线方程是( )
A.5x-3y-13=0B.5x+3y-13=0C.5x-3y+13=0D.5x+3y+13=0
10.已知点P是椭圆上任意一点,则点P到直线的距离最大值为()
A. B. C. D.
11.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:
y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=( )
A.B.C.D.
11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点.若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈π6,π4,则该椭圆离心率e的取值范围为 ( )
A.22,3-1 B.22,1C.22,32 D.33,63
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.以双曲线-=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为________.
14.设F1,F2为曲线C1:
+=1的焦点,P是曲线C2:
-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为________.
15已知双曲线=1的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为.
16.已知A(4,0),B(2,2)为椭圆内的点,M是椭圆上的动点,则|MA|+|MB|最小值是
三、解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P,求抛物线的方程和双曲线的方程.
18.(本小题满分12分)已知抛物线方程为y2=2x,在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,求直线l的方程.
19.(本小题满分12分)设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求t的值及点D的坐标.
20.(本小题满分12分)已知椭圆+=1及直线l:
y=x+m.
(1)当直线l与该椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值.
21.(本小题满分12分)已知点A(0,-2),椭圆E:
+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
22.(本小题满分12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C,D两点,问:
是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?
请说明理由.
17.(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P,求抛物线的方程和双曲线的方程.
解:
依题意,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
∵点P在抛物线上,∴6=2p×.∴p=2,∴所求抛物线的方程为y2=4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x=-1上,∴c=1,即a2+b2=1.
又点P在双曲线上,∴-=1,解方程组
得或(舍去).
∴所求双曲线的方程为4x2-y2=1.
18.(本小题满分12分)已知抛物线方程为y2=2x,在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,求直线l的方程.
解:
设直线l的方程为y=kx+2,
由消去x得ky2-2y+4=0.
∵直线l与抛物线相交,∴解得k<且k≠0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=,从而x1x2=·=.
∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0,即+=0,解得k=-1符合题意,
∴直线l的方程为y=-x+2.
19.(本小题满分12分)设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求t的值及点D的坐标.
解:
(1)由题意知a=2,
又∵一条渐近线为y=x,即bx-ay=0.
∴由焦点到渐近线的距离为,得=.∴b2=3,
∴双曲线的方程为-=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程y=x-2代入双曲线方程-=1得x2-16x+84=0,
则x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.
∴∴
∴t=4,点D的坐标为(4,3).
20.(本小题满分12分)已知椭圆+=1及直线l:
y=x+m.
(1)当直线l与该椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值.
解:
(1)由消去y,并整理得
9x2+6mx+2m2-18=0.①
上面方程的判别式Δ=36m2-36(2m2-18)=-36(m2-18).
∵直线l与椭圆有公共点,∴Δ≥0,据此可解得-3≤m≤3.
故所求实数m的取值范围为[-3,3].
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
由①得:
x1+x2=-,x1x2=,
故|AB|==
=,
当m=0时,直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
21.(本小题满分12分)已知点A(0,-2),椭圆E:
+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
解:
(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.
又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为+y2=1.
(2)当l⊥x轴时不合题意,
故设l:
y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入+y2=1中,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,
由根与系数的关系得:
x1+x2=,x1x2=.
从而|PQ|=|x1-x2|=.
又点O到直线PQ的距离d=.
所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.
设=t,则t>0,S△OPQ==.
因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.
所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.
22.(本小题满分12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C,D两点,问:
是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?
请说明理由.
解:
(1)直线AB方程为:
bx-ay-ab=0.
依题意解得∴椭圆方程为+y2=1.
(2)假若存在这样的k值,由得
(1+3k2)x2+12kx+9=0.
∴Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0.①
设C(x1,y1),D(x2,y2),
则②
而y1·y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4.
要使以CD为直径的圆过点E(-1,0),当且仅当CE⊥DE时,
则·=-1.即y1y2+(x1+1)(x2+1)=0.
∴(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.③
将②式代入③整理解得k=.
经验证k=使①成立.
综上可知,存在k=,使以CD为直径的圆过点E.