抛物线及其标准方程练习题.doc

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课时作业（十二）

一、选择题

1．（2014·广东省茂名）准线与x轴垂直，且经过点（1，－）的抛物线的标准方程是（　　）

A．y2＝－2x B．y2＝2x

C．x2＝2y D．x2＝－2y

【解析】　本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则（－）2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.

【答案】　B

2．（2014·人大附中高二月考）以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（　　）

A．y2＝16x B．y2＝－16x

C．y2＝8x D．y2＝－8x

【解析】　因为双曲线－＝1的右顶点为（4,0），即抛物线的焦点坐标为（4,0），所以抛物线的标准方程为y2＝16x.

【答案】　A

3．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于

（　　）

A.B.C．2D．2

【解析】　抛物线的焦点为（，0），即c＝.双曲线的渐近线方程为y＝x，由＝，即b＝a，所以b2＝2a2＝c2－a2，所以c2＝3a2，即e2＝3，e＝，即离心率为.

【答案】　B

4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为（　　）

A．3B．2C．2D.

【解析】　本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±x，它们所围成的三角形为边长为2的正三角形，所以面积为3，故选A.

【答案】　A

二、填空题

5．（2014·绵阳高二月考）抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．

【解析】　抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.

【答案】　2

6．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2,1）．

其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．（要求填写适合条件的序号）

【解析】　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M（1，y0）是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为（2,1）时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．

【答案】　②④

7．抛物线y＝2x2的准线方程为________．

【解析】　化方程为标准方程形式为x2＝y，故＝，开口向上，

∴准线方程为y＝－.

【答案】　y＝－

三、解答题

8．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．

【解】　　由题意可设抛物线方程为y2＝2mx（m≠0），

则焦点为.

∵焦点在双曲线－＝1上，

∴＝1，求得m＝±4，

∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.

9．已知平面上动点P到定点F（1,0）的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．

【解】　　法一　设点P的坐标为（x，y），

则有＝|x|＋1.

两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.

∴y2＝

即点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）．

法二　由题意，动点P到定点F（1,0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1,0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F（1,0）与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）．

1．（2014·合肥高二月考）已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：

x＝－1，l2：

x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（　　）

A．2B．4C.D.＋1

【解析】　将P点到直线l1：

x＝－1的距离转化为点P到焦点F（1,0）的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A.

【答案】　A

2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为（　　）

A.B.C.D．2

【解析】　根据题意画出简图（图略），设∠AFO＝θ（0<θ<π），|BF|＝m，则点A到准线l：

x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cosθ⇒cosθ＝，又m＝2＋mcos（π－θ）⇒m＝＝，△AOB的面积为S＝·|OF|·|AB|·sinθ＝×1××＝，故选C.

【答案】　C

3．如图2­4­2是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.

图2­4­2

【解析】　以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

设抛物线的标准方程为x2＝－2py（p>0）．

则A（2，－2），代入方程得p＝1，

∴抛物线的方程为x2＝－2y，

设B（x0，－3）（x0<0）代入方程得x0＝－.

∴此时的水面宽度为2米．

【答案】　2

4．已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线过双曲线－＝1（a>0，b>0）的左焦点F1，点M是两条曲线的一个公共点．

（1）求抛物线的方程；

（2）求双曲线的方程．

【解】　　

（1）把M代入方程y2＝2px，

得p＝2，

因此抛物线的方程为y2＝4x.

（2）抛物线的准线方程为x＝－1，所以F1（－1,0），设双曲线的右焦点为F，则F（1,0），

于是2a＝||MF1|－|MF||＝＝，

因此a＝.

又因为c＝1，所以b2＝c2－a2＝，

于是，双曲线的方程为－＝1.