高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案.doc
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学生教案
数列求通项公式的方法
一、叠加法
1．适用于：
----------这是广义的等差数列累加法是最基本的两个方法之一。
2．若，
则
两边分别相加得
例1已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
由得则
所以数列的通项公式为。
例2.已知数列中,且,求数列的通项公式.
解:
由已知得,
化简有,由类型
（1）有,
又得,所以,又,,
则
练习1，已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.
答案：
练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式.
答案：
裂项求和
练习3.已知数列满足，，求。
解：
由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
评注：
已知,，其中f（n）可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
二、叠乘法
1.○。
------------ 适用于：
----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若，则
两边分别相乘得，
例3.已知数列满足，，求。
解：
由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
练习1.已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
练习2.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.
解：
已知等式可化为：
（）（n+1）,即
时，
==.
评注：
本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.
练习.已知,求数列{an}的通项公式.
答案：
-1.
评注：
本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如,其中）型
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：
设,
得,与题设比较系数得
所以所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，
所以即：
.
规律：
将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
例4.已知数列中，，求数列的通项公式。
解：
又是首项为2，公比为2的等比数列
，即
四．逐项相减法（逐差法1）：
有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型
（1）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例5已知数列中，，求数列的通项公式。
解：
两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……
练习．已知数列中，求通项。
答案：
2．形如：
（其中q是常数，且n0,1）
①若p=1时，即：
，累加即可.
②若时，即：
，
求通项方法有以下三种方向：
i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
即：
令，则,然后类型1，累加求通项.
ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。
即：
令,则可化为.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：
目的是把所求数列构造成等差数列
设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.
注意：
应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。
例6已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数法）：
设，比较系数得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即
解法二（两边同除以）：
两边同时除以得：
，下面解法略
解法三（两边同除以）：
两边同时除以得：
，下面解法略
练习.已知数列中，,，求。
解：
在两边乘以得：
令，则,应用例7解法得：
所以
3．形如（其中k,b是常数，且）
方法1：
逐项相减法（逐差法）
方法2：
待定系数法
通过凑配可转化为;
解题基本步骤：
1、确定=kn+b
2、设等比数列，公比为p
3、列出关系式,即
4、比较系数求x,y
5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例7在数列中，求通项.（逐项相减法）
解：
，①
时，，
两式相减得.令,则
利用类型5的方法知即②
再由累加法可得.亦可联立①②解出.
练习.在数列中，,求通项.（待定系数法）
解：
原递推式可化为
比较系数可得：
x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为.即：
故.
5.形如时将作为求解
分析：
原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。
例8已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
设
比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）
则，则是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
练习1.数列中，若,且满足,求.
答案：
.
练习2.已知数列，
求数列的通项公式an.
解：
所以
又bn=－1，所以.
方法2：
本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：
设c，则c,转化为上面类型
（1）来解
五、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例9已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
求倒数得为等差数列，首项，公差为，
六、对数变换法适用于（其中p,r为常数）型p>0，
例10.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
解：
两边取对数得：
，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，∴
练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.
答案：
例11已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：
因为，所以。
两边取常用对数得
设 （同类型四）
比较系数得，
由，得，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
七、换元法适用于含根式的递推关系
例12已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
令，则
代入得
即
因为，
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
八、逐差法2（逐项相减法）
1、递推公式中既有，又有
分析：
把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例13已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
解：
∵对任意有⑴
∴当n=1时，，解得或
当n≥2时，⑵
⑴-⑵整理得：
∵各项均为正数，∴
当时，，此时成立
当时，，此时不成立，故舍去
所以
练习。
已知数列中,且,求数列的通项公式.
答案：
2、对无穷递推数列
例14已知数列满足，求的通项公式。
解：
因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则故
所以 ③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为
数列的通项公式与求和
练习1
练习2
练习3
练习4
练习5
练习6
练习7
练8若等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则
练习9求和：
5，55，555，5555，…，，…；
练习10求和：
练习11已知求和：
练习12设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且
，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
答案
练习1答案：
练习2证明：
（1）注意到：
a（n+1）=S（n+1）-S（n）
代入已知第二条式子得：
S（n+1）-S（n）=S（n）*（n+2）/n
nS（n+1）-nS（n）=S（n）*（n+2）
nS（n+1）=S（n）*（2n+2）
S（n+1）/（n+1）=S（n）/n*2
又S
（1）/1=a
（1）/1=1不等于0
所以{S（n）/n}是等比数列
（2）
由
（1）知，
{S（n）/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。
所以S（n）/n=1*2^（n-1）=2^（n-1）
即S（n）=n*2^（n-1）（*）
代入a（n+1）＝S（n）*（n+2）/n得
a（n+1）=（n+2）*2^（n-1）（n属于N）
即a（n）=（n+1）*2^（n-2）（n属于N且n>1）
又当n=1时上式也成立
所以a（n）=（n+1）*2^（n-2）（n属于N）
由（*）式得：
S（n+1）=（n+1）*2^n
=（n+1）*2^（n-2）*2^2
=（n+1）*2^（n-2）*4
对比以上两式可知：
S（n+1）=4*a（n
练习3答案：
1）
a1=S1=1/3（a1-1）
a1=-1/2
a2=S2-S1=1/3（a2-1）+1/2
3a2=a2-1+3/2
2a2=1/2
a2=1/4
2）
3Sn=an-1
3S（n-1）=a（n-1）-1
相减：
3an=an-a（n-1）
2an=-a（n-1）
an/a（n-1）=-1/2
所以{an}为等比数列！
练习4累加法，答案：
练习5累乘法，答案：
练习6待定系数法，答案：
练习7倒数法，答案：
练习8公式法，答案：
练习9答案：
．
练习10，列项相消法，答案
练习11，,列项相消法
1/（1+2+3+……+n）=1/[n（n+1）/2]=2/[n（n+1）]
所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n（n+1）]
=1+2*[（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1）]
=1+2*[1/2-1/（n+1）]
=2-2/（n+1）
练习12（错位相减法）
答案：
解：
（Ⅰ）设的公差为，的公比为，
则依题意有且
解得，．所以，
．（Ⅱ）
．，
①，②
②－①得
，
．
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