正弦定理和余弦定理.ppt

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第七节正弦定理和余弦定理,【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填

（1）正弦定理:

=_=_=2R（R是ABC外接圆的半径）,

（2）余弦定理:

在ABC中,有a2=_;b2=_;c2=_.在ABC中,有:

cosA=_;cosB=_;cosC=_.,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,（3）在ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况:

一解,两解,一解,一解,无解,2.必备结论教材提炼记一记

（1）三角形的内角和定理:

在ABC中,A+B+C=_,其变式有:

A+B=_,=_等.

（2）三角形中的三角函数关系:

sin（A+B）=_;cos（A+B）=_;sin=_;cos=_.,-C,sinC,-cosC,（3）正弦定理的公式变形:

a=_,b=_,c=_;sinAsinBsinC=_;sinA=,sinB=_,sinC=_;,2RsinA,2RsinB,2RsinC,abc,3.必用技法核心总结看一看

（1）常用方法：

代入法、边角转化法.

（2）数学思想:

数形结合、分类讨论.,【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判

（1）正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.（）

（2）三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.（）（3）已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.（）（4）在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.（）（5）在ABC中,若sinAsinB,则AB.（）,【解析】

（1）正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任意三角形都成立.

（2）错误.由正弦定理可知该结论错误.（3）正确.由余弦定理可知该结论正确.（4）错误.当已知三个角时不能求三边.（5）正确.由正弦定理知sinA=,sinB=,由sinAsinB得ab,即AB.答案:

（1）

（2）（3）（4）（5）,2.教材改编链接教材练一练

（1）（必修5P8T2

（1）改编）在ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=（）A.90B.120C.135D.150【解析】选B.先求B.cosB=因为0B180,所以B=60,故A+C=120.,

（2）（必修5P4T1

（2）改编）在ABC中,已知A=60,B=75,c=20,则a=.【解析】C=180-（A+B）=180-（60+75）=45.由正弦定理,得答案:

10,3.真题小试感悟考题试一试

（1）（2014湖北高考）在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.【解析】依题意,由正弦定理知得出sinB=由于0B,所以B=答案:

（2）（2014福建高考）在ABC中,A=60,AC=2,BC=,则AB等于.【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,得3=AB2+4-22ABcos60,即AB2-2AB+1=0,解得AB=1.答案:

1,考点1正弦定理的应用【典例1】

（1）在ABC中,已知a=2,b=,A=45,则满足条件的三角形有（）A.一个B.两个C.0个D.无法确定

（2）（2014广东高考）在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=.,（3）（2015吉林模拟）如图,在ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上,ADC=75,则AD的长为.,【解题提示】

（1）利用正弦定理计算.

（2）利用正弦定理化边为角,利用三角恒等变换进行化简.（3）根据等腰三角形三线合一的性质求出角B,再利用正弦定理求解.,【规范解答】

（1）选B.由正弦定理,得sinB=因为ba,所以B=60或120.故满足条件的三角形有两个.

（2）由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinB,所以sin（B+C）=2sinB,sin（-A）=2sinB,即sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,所以=2.答案:

2,（3）过点A作AEBC，垂足为E，则在RtABE中，在ABD中，ADB=180-ADC=180-75=105.由正弦定理得AD=答案：

【一题多解】解答本例

（1）,

（2）你还有其他方法吗?

（1）选B.数形结合法:

如图,CD=sin45=,又a=2,b=,所以CDab,故满足条件的三角形有两个.

（2）如图,作ADBC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即=2.答案:

2,【规律方法】1.正弦定理的应用技巧

（1）求边：

利用公式或其他相应变形公式求解.

（2）求角：

先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA=或其他相应变形公式求解.（3）相同的元素归到等号的一边：

即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.,2.判断三角形解的个数的两种方法

（1）代数法：

根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.

（2）几何图形法：

根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.,【变式训练】（2015三门峡模拟）已知在ABC中，a=x，b=2，B=45，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A.x2B.x2且xsin452，所以2x2.,【加固训练】1.在ABC中，a=10，B=60,C=45,则c等于（）A.10+B.10

（1）C.+1D.10,【解析】选B.A=180（BC）=180（60+45）=75.由正弦定理，得,2.（2015绵阳模拟）在锐角ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asinB=b,则角A=.【解析】由正弦定理得2sinAsinB=sinB,又sinB0,故sinA=,又0A90,所以A=60.答案:

60,3.（2015黄山模拟）若ABC的三内角A,B,C满足A+C=2B,且最大边为最小边的2倍,则三角形三内角之比为.,【解析】因为A+C=2B，不妨设A=B-,C=B+.因为A+B+C=,所以B-+B+B+=,所以B=再设最小边为a,则最大边为2a.由正弦定理得即sincos+cossin=2（sincos-cossin）,所以tan=,=所以三内角分别为它们的比为123.答案：

123,考点2余弦定理的应用【典例2】

（1）（2015青岛模拟）已知锐角三角形的边长分别为1,3,x,则x的取值范围是（）A.8x10B.2xC.2x10D.x8,

（2）（2015咸阳模拟）在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若（a+b+c）（a-b-c）+bc=0,则A=.（3）（2014辽宁高考）在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac,已知=2,cosB=,b=3,求:

a和c的值;cos（B-C）的值.,【解题提示】

（1）使大边的对角是锐角,其余弦值大于0,列不等式组求解.

（2）已知三边的关系求角用余弦定理.（3）利用向量运算及余弦定理找等量关系求解;利用已知条件求sinB,cosC,sinC,代入公式求值.,【规范解答】

（1）选B.因为31,所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可,故又因为x0,所以,

（2）因为（a+b+c）（a-b-c）+bc=a2-（b+c）2+bc=a2-b2-c2-bc=0,所以a2=b2+c2+bc,cosA=又A（0,）,所以A=.答案:

（3）由=cacosB=2，所以ac=6.又由b=3及余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，所以a2+c2=13，因为ac，解得a=3,c=2.由a=3,b=3,c=2得cosC=sinC=由cosB=得sinB=所以cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=,【互动探究】对于本例

（2）,若ABC的三边a,b,c满足a2=b2+c2-则A=_.【解析】由余弦定理，得cosA=因为A（0,）,所以A=.答案：

【规律方法】1.利用余弦定理解三角形的步骤,2.利用余弦定理判断三角形的形状在ABC中,c是最大的边,若c2a2+b2,则ABC是钝角三角形.提醒:

已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形,可用正弦定理,也可用余弦定理,用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.,【变式训练】（2015合肥模拟）设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=（）【解析】选B.因为3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a=因为b+c=2a,所以c=所以cosC=因为C（0,）,所以C=,【加固训练】1.在ABC中,若abc=357,则这个三角形中最大内角为（）A.60B.90C.120D.150【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x（x0）,则c为最大边,角C为三角形中最大内角,由余弦定理,得cosC=所以C=120.,2.在ABC中,C=60,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则=.【解析】因为C=60,所以a2+b2-c2=ab,所以a2+b2=ab+c2,等式两边都加上ac+bc,整理得（a2+ac）+（b2+bc）=（b+c）（a+c）,所以答案:

1,考点3正、余弦定理的综合应用知考情利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三角形的形状是高考的重要考向,常与三角恒等变换相结合,以选择题、填空题、解答题的形式出现,以后两种题型为主.,明角度命题角度1:

综合利用正、余弦定理求角（或其正、余弦值）【典例3】（2014天津高考）在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.【解题提示】利用正弦定理化角为边,解方程组得边的关系,然后利用余弦定理求cosA的值.,【规范解答】因为2sinB=3sinC，所以2b=3c，又b-c=a,解得b=a=2c.所以cosA=答案：

命题角度2:

判断三角形的形状【典例4】（2013陕西高考改编）设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,且sin2B=sin2C,则ABC的形状为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解题提示】由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断.,【规范解答】选D.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin（B+C）=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,即A=,又因为sin2B=sin2C,所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,故ABC为等腰直角三角形.,命题角度3:

综合利用正、余弦定理求边长【典例5】（2014湖南高考）如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.

（1）求cosCAD的值.

（2）若cosBAD=,sinCBA=求BC的长.【解题提示】利用余弦定理和正弦定理求解.,【规范解答】

（1）在ADC中，由余弦定理，得cosCAD=

（2）设BAC=,则=BADCAD.因为cosCAD=,cosBAD=所以sinCAD=,悟技法1.综合利用正、余弦定理求边和角的步骤

（1）根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出.

（2）结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解.提醒:

在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.,2.判断三角形形状的方法若已知条件中有边又有角,则

（1）化边:

通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.

（2）化角:

通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=这个结论.,通一类1.（2013山东高考）ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c=（）A.2B.2C.D.1【解析】选B.由B=2A,则sinB=sin2A,由正弦定理知即所以cosA=所以A=B=2A=所以C=-B-A=,所以c2=a2+b2=1+3=4,故c=2.,2.（2015锦州模拟）在ABC中,cos2（a,b,c分别为角A,B,C的对边）,则ABC的形状为（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2,所以2cos2所以cosB=,所以所以c2=a2+b2.所以ABC为直角三角形.,3.（2015开封模拟）如图ABC中，已知点D在BC边上，满足=0，sinBAC=AB=3,BD=

（1）求AD的长.

（2）求cosC.,【解析】

（1）因为所以ADAC,所以sinBAC=sin（+BAD）=cosBAD,因为sinBAC=所以cosBAD=在ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD,即AD2-8AD+15=0,解之得AD=5或AD=3.由于ABAD,所以AD=3.,

（2）在ABD中，由正弦定理可知又由cosBAD=可知sinBAD=所以sinADB=因为ADB=DAC+C,DAC=,所以cosC=,规范解答4正、余弦定理在三角形计算中的应用【典例】（12分）（2014天津高考）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知ac=b，sinB=sinC.

（1）求cosA的值.

（2）求cos（2A）的值.,解题导思研读信息快速破题,规范解答阅卷标准体会规范

（1）在ABC中，由及sinB=sinC,可得b=c,2分又由a-c=b,有a=2c.4分所以cosA=7分,

（2）在ABC中，由cosA=可得sinA=8分于是，cos2A=2cos2A-1=9分sin2A=2sinAcosA=10分所以，,高考状元满分心得把握规则争取满分1.认真审题,把握变形的方向认真审题,弄清已知条件和要求的值的关系,确定条件的变形方向是解答三角函数、解三角形问题的关键,如本题第

（1）问求cosA的值,自然想到用余弦定理,由此确定化角为边,找出边的关系.,2.大胆书写,争取多得分解答题不同于选择、填空题,它是按步给分,故要善于把已知条件变形,在变形中探究解题思路,即使不能把问题全部解答完整,也要争取多得几分.3.计算准确,争取得满分

（1）公式运用要准确,这是算对的前提.

（2）算数要准确无误,尤其注意正、负号的选择,计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程,简单了就不易算错,要是算错了结果,扣分是很重的.,