正弦定理、余弦定理基础练习.doc
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正弦定理、余弦定理
基础练习
1．在△ABC中：
（1）已知、、，求b；
（2）已知、、，求．
2．在△ABC中（角度精确到1°）：
（1）已知、c＝7、B＝60°，求C；
（2）已知、b＝7、A＝50°，求B．
3．在△ABC中（结果保留两个有效数字）：
（1）已知a＝5、b＝7、C＝120°，求c；
（2）已知、c＝7、A＝30°，求a．
4．在△ABC中（角度精确到1°）：
（1）已知、b＝7、，求A；
（2）已知、、，求C．
5．根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到0.1）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）C＝20 ，a＝5，c＝3；
（5）；
（6）．
6．选择题：
（1）在△ABC中，下面等式成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
（2）三角形三边之比为3∶5∶7，则这个三角形的最大角是（ ）．
A．60° B．120° C．135° D．150°
（3）在△ABC中，，，B＝30°，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
（4）在△ABC中、、，则（ ）．
A． B． C．5 D．10
7．填空题：
（1）△ABC中、、面积，则_______；
（2）在△ABC中，若，则△ABC的形状是_______．
8．在△ABC中，，求角C．
综合练习
1．设方程有重根，且A、B、C为△ABC的三内角，则△ABC的三边、b、c的关系是（ ）．
A．b＝ac B．a＝bc C．c＝ab D．
2．在△ABC中、，，垂足为D，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．等腰三角形的底角正弦和余弦的和为，则它的顶角是（ ）．
A．30°或150°B．150或75° C．30° D．15°
4．在△ABC中，则这个三角形是（ ）三角形．
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．等边
5．在△ABC中，则△ABC是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定其形状
6．在△ABC中，是的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既不充分也不必要
7．在锐角△ABC中，若，则的范围为（ ）．
A． B． C．（0，2） D．
8．已知A为三角形的一个内角，函数，对于任意实数x都有，则（ ）．
A． B．
C． D．
9．已知锐角三角形的边长为2、3、x，则x的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
10．在△ABC中，若面积，则cosA等于（ ）．
A． B． C． D．
11．在△ABC中、、，则________．
12．在△ABC中，若，则________．
13．在△ABC中，若，则△ABC的形状是________．
14．△ABC的面积和外接圆半径都是1，则＝________．
15．在△ABC中，，则△ABC的形状是________．
16．如图5-8，∠A＝60°，∠A内的点C到角的两边的距离分别是5和2，则AC的长为________．
图5-8
17．已知A为锐角三角形一个内角，且，，则的值为________．
18．在△ABC中，若，，，则的值为________．
19．在△ABC中，已知，，，求B和的面积．
20．在△ABC中，已知，求角C．
21．在△ABC中，内角A最大，C最小，且，若，求此三角形三边之比．
22．已知三角形的三边长分别为、、，求这个三角形中最大角的度数．
拓展练习
1．三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的2倍，则最小角的余弦等于（ ）．
A． B． C． D．
2．在中，P表示半周长，R表示外接圆半径，下列各式中：
① ②
③ ④
正确的序号为（ ）．
A．①、④ B．①、②、④ C．①、②、③ D．②、③、④
3．在△ABC中，若，则有（ ）．
A． B． C． D．
4．在△ABC中，，则此三角形为（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．在△ABC中，若，且B为锐角，则△ABC的形状是________．
6．设A是△ABC中的最小角，且，则的取值范围是_______．
7．如图5-9，在平面上有两定点A和B，，动点M、N满足．记△AMB和△MNB的面积分别为S、T，问在什么条件下，取得最大值？
图5-9
8．在△ABC中，已知C＝2B，求证：
．
图5-10
9．圆O的半径为R，其内接△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若，求△ABC面积的最大值．
10．若ABC是半径为r的圆的弓形，弦AB长为，C为劣弧上一点，
于D，当C点在什么位置时△ACD的面积最大，并求此最大面积（如图5-10）．
参考答案
基础练习
1．
（1）
（2）．
2．
（1），
（2）．
3．
（1），
（2）．
4．
（1）．，
（2）．
5．
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），°，或，，；
（5），，；
（6），，．
6．
（1）B．；
（2）B．三角形中大边对大角，由余弦定理，求出最长的边所对角的．
（3）A．由正弦定理，得，将代入解得b、c的值；
（4）C．由余弦定理，，即，解关于的方程，得．
7．
（1）或，由面积公式：
，即，解得，从而求出A；
（2）等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得，整理得，则或，所以，或．
8．．由正弦定理：
，可将已知的三个角的正弦关系转化为三边关系：
，即，再利用余弦定理：
，所以，．
综合练习
1．D． 方程有重根，∴ ，即．由正弦定理，得．
2．C．设AB＝a，则，．由面积关系式：
，得．
3．A．设等腰三角形顶角为、底角为，则，两边平方，解得，即．∴ ．又∵ a为顶角，∴ 或．
4．D．由正弦定理得，即
，∴ ．∴ ．
5．C．∵ A、B、C为三角形的内角，又，∴ ，，，∴ C为钝角．
6．C．，
∵ A、B为三角形的内角，∴ ．
∴ （R为外接圆半径）．
由正弦定理，．
∴
．
∴ ．
7．A．，
又 ∴ ，∴ ．即．
8．B．由条件知即
∴ ．又∵ 又∵ A为三角形的一个内角，∴ ，∴ ．
9．B．设三边2、3、x所对的三个角分别为A、B、C，根据三角形任意两边之和大于第三边和余弦定理，有：
即∴ ∴ ．
10．D．由三角形面积公式：
．∴ ．∴ ．∴ ．由余弦定理，∴ ．
∴ ，即．解得或为三角形的内角，∴ ．
11．．由余弦定理，．
．
12．1．，∴ ．∴ ．∴ ．即．
13．等腰三角形，，∴
．
∴ ．∴ ，．∴ ，即B＝C．
14．．设外接圆半径为R，则R＝1．
由正弦定理．
设的面积为S，则S＝1．由面积公式
，
．∴ ．∴ ．∴ ．
15．直角三角形．由正弦定理、余弦定理，
．∴
．
整理，得．∵ a>0，b>0，∴ ．∵ ．
16．，由于A、E、C、F四点共圆，，连结EF，在中，由余弦定理：
．又由正弦定理可得AECF的外接圆直径．
图答5-7
17．，两式相减，
．，即．
．．
18．．由三角形面积公式，，，．由余弦定理，，．由正弦定理，．由等比定理可得：
．
19．．，由正弦定理、余弦定理，，∴ ，，∴ ．由正弦定理，．
．
20．．设R外接圆半径，由正弦定理：
，
化简得：
，∴ ．
再由余弦定理，得：
．∴ ．
21．．，由正弦定理：
，∴ ．
，∴ ．由余弦定理：
．
．，．
，．．．
22．．为三角形的三边，
解得，．
是最大的边长．令其所对的角为，由余弦定理：
．
∴ ，即这个三角形中最大角的度数为．
拓展练习
1．A．设三角形三边为、n、，它们所对的角分别为C、B、A，则．则正弦定理，，．由余弦定理，．．去分母得：
．∴ ，∴ ，∴ ．
＝．即最小角的余弦值为．
（法二）如图，中，，设，A、B、C三内角所对的三边分别为、、．在AB上取一点D，使．∴ ．
∴ ∽．设CD为x，则DA为x，∴ ．∴ ．
∴ 即．∴ ．∵ ，∴ ．∴ 的三边长为4、5、6．由余弦定理，．∴ 最小角的余弦值为．
图答5-8
2．C．①正确．∵ ，由半角公式、余弦定理：
．
②正确．由积化和差公式、正弦定理：
．
③正确．如图：
作AB边上的高CD，则．∴ ．或A、B中有一为钝角，同理可证得．（法二）由余弦定理，＝
．
④错误．由正弦定理：
．
3．B．由正弦定理，得：
．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．即．∴ ．
，∴ ，
∴ ．
4．D．由正弦定理，．
∴ ．
∴ ．
∴ 或．
当时，A＝B；
当时，，
∴ ．
∴ 或．
5．等腰直角三角形．∵ ，∴ ．∴ ，又B为锐角，∴ ．又，由正弦定理，有．∵ ，
∴ ．∴ ．
∴ ，即．∴ ．∴ ，∴ ．∴ 是等腰直角三角形．
6．．∵ A是中的最小角，∴ ．∴ ．即．．
7．当为等腰三角形时，取得最大值．由余弦定理，
图答5-10
，
．
∴ ．∴ ．
．
∵ ，∴ ．∴ ∴ 当时，取得最大值．此时，即，∴ 当为等腰三角形时，取得最大值．
8．，∴ ．又∵ ，∴ ．
设的外接圆半径为R，由正弦定理：
．
∴ ．
9．．∵ ，由正弦定理：
．∴ ．∴ ．
由余弦定理，．又∵ 0 ∴
＝
＝
＝
∴ 当，即时，．
10．．设，连结．
5-11
∵ ，，
∴ ．∴ ．
∴ ．∵ 内接于圆O，由正弦定理，．
在中，
∴
∴ 当时，．
由，又，∴ ，∴ ．
∴ 当时，面积最大，最大面积为．
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