天津市红桥区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷.doc
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天津市红桥区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列各命题正确的是（）
A． 终边相同的角一定相等 B． 第一象限角都是锐角
C． 锐角都是第一象限角 D． 小于90度的角都是锐角
2．（3分）求值sin210°=（）
A． B． ﹣ C． D． ﹣
3．（3分）=（）
A． B． C． D．
4．（3分）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则=（）
A． B． C． D．
5．（3分）若，则等于（）
A． B． C． D．
6．（3分）已知，都是单位向量，则下列结论正确的是（）
A． •=1 B． 2=2 C． ∥ D． •=0
7．（3分）已知cosα=，cos（α+β）=，且α，β为锐角，那么sinβ的值是（）
A． B． C． D． ﹣
8．（3分）函数图象的一条对称轴方程是（）
A． B． x=0 C． D．
9．（3分）已知sinθ+cosθ=，且θ∈（0，π），则tanθ的值为（）
A． B． C． ﹣ D． ﹣
10．（3分）有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；
②横坐标变为原来的，再向左平移；
③横坐标变为原来的，再向左平移；
④向左平移，再将横坐标变为原来的；
其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是（）
A． ①和② B． ①和③ C． ②和③ D． ②和④
11．（3分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）
A． y=sin（x+） B． y=sin（2x﹣） C． y=cos（4x﹣） D． y=cos（2x﹣）
12．（3分）在上满足sinx≥的x的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
13．（4分）||=1，||=2，，且，则与的夹角为．
14．（4分）已知||=4，||=5，与的夹角为60°，那么|3﹣|=．
15．（4分）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形中心角的弧度数是．
16．（4分）α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα=，则sinα=．
17．（4分）若tanα=2，tan（β﹣α）=3，则tan（β﹣2α）的值为．
18．（4分）函数y=tan4x的最小正周期T=．
19．（4分）函数y=sinx，x∈，则y的取值范围是．
20．（4分）下列各组函数中，偶函数且是周期函数的是．（填写序号）
①y=sinx；②y=cosx；③y=tanx；④y=sin|x|；⑤y=|sinx|．
三、解答题（本大题共4小题，共32分，解答时写出必要的过程）
21．（8分）化简：
•sin（α﹣2π）•cos（2π﹣α）+cos2（﹣α）﹣．
22．（7分）四边形ABCD中，
（1）若，试求x与y满足的关系式；
（2）满足
（1）的同时又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
23．（7分）已知cos（α﹣）=﹣，sin（）=，，，
（1）求cos（）；
（2）求tan（α+β）．
24．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）在如图坐标系里用五点法画出函数f（x），x∈的图象．
x ﹣
天津市红桥区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列各命题正确的是（）
A． 终边相同的角一定相等 B． 第一象限角都是锐角
C． 锐角都是第一象限角 D． 小于90度的角都是锐角
考点：
任意角的概念；象限角、轴线角．
专题：
阅读型．
分析：
明确终边相同的角、锐角、第一象限角、小于90°的角的定义，通过举反例排除某些选项，从而选出答案．
解答：
解：
∵30°和390°是终边相同的角，但30°≠390°，故可排除A．
第一象限角390°不是锐角，故可排除B．
﹣30°是小于90°的角，但它不是锐角，故可排除D．
锐角是第一象限角是正确的，
故选C．
点评：
本题考查终边相同的角、锐角、第一象限角、小于90°的角的定义，通过举反例说明某个命题不成立，是一种简单有效的方法．
2．（3分）求值sin210°=（）
A． B． ﹣ C． D． ﹣
考点：
运用诱导公式化简求值．
分析：
通过诱导公式得sin210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．
解答：
解：
∵sin210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣
故答案为D
点评：
本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．可以根据角的象限判断正负．
3．（3分）=（）
A． B． C． D．
考点：
二倍角的余弦．
分析：
看清本题的结构特点符合平方差公式，化简以后就可以看出是二倍角公式的逆用，最后结果为cos，用特殊角的三角函数得出结果．
解答：
解：
原式=
=cos
=，
故选D
点评：
要深刻理解二倍角公式和两角和差的正弦和余弦公式，从形式和意义上来认识，对公式做到正用、逆用、变形用，本题就是逆用余弦的二倍角公式．
4．（3分）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则=（）
A． B． C． D．
考点：
向量的加法及其几何意义．
专题：
规律型．
分析：
根据图形，由向量加法的三角形法则依次求和，即可得到和向量的表达式，从图形中找出相对应的有向线段即可
解答：
解：
由题意，如图==．
故选B．
点评：
本题考点是向量的加法及其几何意义，考查向量加法的图形表示及加法规则，是向量加法中的基本题型．
5．（3分）若，则等于（）
A． B． C． D．
考点：
平面向量的坐标运算；平面向量坐标表示的应用．
专题：
计算题．
分析：
以和为基底表示，设出系数，用坐标形式表示出两个向量相等的形式，根据横标和纵标分别相等，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可．
解答：
解：
∵，
∴，
∴（﹣1，2）=m（1，1）+n（1，﹣1）=（m+n，m﹣n）
∴m+n=﹣1，m﹣n=2，
∴m=，n=﹣，
∴
故选B．
点评：
用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等．
6．（3分）已知，都是单位向量，则下列结论正确的是（）
A． •=1 B． 2=2 C． ∥ D． •=0
考点：
平面向量数量积的运算．
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析：
，都是单位向量，结合单位向量的概念，向量数量积，向量共线的基础知识解决
解答：
解：
根据单位向量的定义可知，||=||=1，但夹角不确定．
且==1，
故选B．
点评：
本题只要掌握单位向量的概念，向量数量积，向量共线的基础知识便可解决．属于概念考查题．
7．（3分）已知cosα=，cos（α+β）=，且α，β为锐角，那么sinβ的值是（）
A． B． C． D． ﹣
考点：
两角和与差的正弦函数．
专题：
三角函数的求值．
分析：
由同角三角函数的基本关系可得sinα和sin（α+β）的值，代入sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα计算可得．
解答：
解：
∵α，β为锐角，cosα=，
∴sinα==，
又cos（α+β）=，∴sin（α+β）=，
∴sinβ=sin
=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
==
故选：
A
点评：
本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．
8．（3分）函数图象的一条对称轴方程是（）
A． B． x=0 C． D．
考点：
正弦函数的对称性．
专题：
计算题．
分析：
直接利用正弦函数的对称轴方程，求出函数的图象的一条对称轴的方程，即可．
解答：
解：
y=sinx的对称轴方程为x=kπ，
所以函数的图象的对称轴的方程是
解得x=，k∈Z，k=0时
显然C正确，
故选C
点评：
本题是基础题，考查三角函数的对称性，对称轴方程的求法，考查计算能力，推理能力．
9．（3分）已知sinθ+cosθ=，且θ∈（0，π），则tanθ的值为（）
A． B． C． ﹣ D． ﹣
考点：
同角三角函数基本关系的运用．
专题：
计算题；三角函数的求值．
分析：
利用同角三角函数间的基本关系可求得sinθ﹣cosθ=，从而可求得sinθ与cosθ，继而可得答案．
解答：
解：
∵sinθ+cosθ=，①
∴1+sin2θ=，
∴sin2θ=﹣，又0＜θ＜π，
∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴（sinθ﹣cosθ）2=1﹣sin2θ=，
∴sinθ﹣cosθ=，②
由①②得：
sinθ=，cosθ=﹣．
∴tanθ=﹣．
故选：
C．
点评：
本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了考生对三角函数基础公式的熟练应用，属于中档题．
10．（3分）有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；
②横坐标变为原来的，再向左平移；
③横坐标变为原来的，再向左平移；
④向左平移，再将横坐标变为原来的；
其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是（）
A． ①和② B． ①和③ C． ②和③ D． ②和④
考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：
计算题．
分析：
直接利用函数的图象的平移变换，由正弦曲线y=sinx的图象变为的图象，即可得到选项．
解答：
解：
正弦曲线y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象，再将横坐标变为原来的，变为的图象；
将正弦曲线y=sinx的图象横坐标变为原来的，得到函数y=sin2x的图象，再向左平移，变为的图象；
故选A．
点评：
本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意两种变换的方式的区别．
11．（3分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）
A． y=sin（x+） B． y=sin（2x﹣） C． y=cos（4x﹣） D． y=cos（2x﹣）
考点：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
根据题意，设出y=sin（ωx+α），利用函数图象求出ω与α，得出函数解析式，从而选出正确的答案．
解答：
解：
根据题意，设y=sin（ωx+α），α∈（﹣，）；
∴=﹣（﹣）=，
解得T=π，
∴ω==2；
又x=时，y=sin（2×+α）=1，
∴+α=，
解得α=；
∴y=sin（2x+），
即y=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）．
故选：
D．
点评：
本题考查了利用函数的图象求三角函数解析式的问题，是基础题目．
12．（3分）在上满足sinx≥的x的取值范围是（）
A． B． C． D．
考点：
正弦函数的单调性．
专题：
计算题．
分析：
利用三角函数线，直接得到sinx≥的x的取值范围，得到正确选项．
解答：
解：
在上满足sinx≥，由三角函数线可知，满足sinx≥，的解，在图中阴影部分，
故选B
点评：
本题是基础题，考查三角函数的求值，利用单位圆三角函数线，或三角函数曲线，都可以解好本题，由于是特殊角的三角函数值，可以直接求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
13．（4分）||=1，||=2，，且，则与的夹角为120°．
考点：
数量积表示两个向量的夹角．
专题：
计算题．
分析：
根据，且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos＜＞=再结合＜＞∈即可求出＜＞．
解答：
解：
∵，且
∴
∴（）•=0
∵||=1
∴=﹣1
∵||=2
∴cos＜＞==﹣
∵＜＞∈
∴＜＞=120°
故答案为120°
点评：
本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜＞=同时要注意＜＞∈这一隐含条件！
14．（4分）已知||=4，||=5，与的夹角为60°，那么|3﹣|=．
考点：
平面向量数量积的含义与物理意义；向量的模；向量的线性运算性质及几何意义．
专题：
计算题；平面向量及应用．
分析：
由数量积的运算，可先求，求其算术平方根即得答案．
解答：
解：
由题意可得：
==9
=9×42﹣6×4×5×cos60°+52=109
故=，
故答案为：
点评：
本题考查向量的数量积的运算和模长公式，属基础题．
15．（4分）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形中心角的弧度数是．
考点：
弧长公式．
专题：
三角函数的求值．
分析：
设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r．利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．
解答：
解：
设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r．
∵一个扇形的弧长与面积的数值都是5，
∴5=αr，5=，
解得α=．
故答案为：
．
点评：
本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．
16．（4分）α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα=，则sinα=．
考点：
任意角的三角函数的定义；象限角、轴线角．
专题：
计算题．
分析：
先求PO的距离，根据三角函数的定义，求出cosα，然后解出x的值，注意α是第二象限角，求解sinα．
解答：
解：
由题意|op|=，所以cosα==，
因为α是第二象限角，解得：
x=﹣，cosα=﹣，
sinα==
故答案为：
点评：
本题考查任意角的三角函数的定义，象限角、轴线角，考查计算能力，是基础题．
17．（4分）若tanα=2，tan（β﹣α）=3，则tan（β﹣2α）的值为．
考点：
两角和与差的正切函数．
专题：
计算题．
分析：
把tanα=2，tan（β﹣α）=3代入tan（β﹣2α）=tan（β﹣α﹣α）=求得结果．
解答：
解：
tan（β﹣2α）=tan（β﹣α﹣α）===
，故答案为．
点评：
本题考查两角差正切公式的应用，角的变换是解题的关键．
18．（4分）函数y=tan4x的最小正周期T=．
考点：
三角函数的周期性及其求法．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
由条件根据函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，可得结论．
解答：
解：
函数y=tan4x的最小正周期T=，
故答案为：
．
点评：
本题主要考查函数y=Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
19．（4分）函数y=sinx，x∈，则y的取值范围是．
考点：
正弦函数的图象．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得y的取值范围．
解答：
解：
由x∈，可得y=sinx∈，
故答案为：
．
点评：
本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
20．（4分）下列各组函数中，偶函数且是周期函数的是②⑤．（填写序号）
①y=sinx；②y=cosx；③y=tanx；④y=sin|x|；⑤y=|sinx|．
考点：
三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的性质；余弦函数的图象．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
判断各个函数的奇偶性和周期性，从而得出结论．
解答：
解：
由于y=sinx为奇函数，故排除①；
由于y=cosx为偶函数，且它的周期为2π，故满足条件；
由于y=tanx为奇函数，故排除③；
由于y=sin|x|不是周期函数，故排除④；
由于函数y=|sinx|为偶函数，且周期为•2π=π，故满足条件，
故答案为：
②⑤．
点评：
本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
三、解答题（本大题共4小题，共32分，解答时写出必要的过程）
21．（8分）化简：
•sin（α﹣2π）•cos（2π﹣α）+cos2（﹣α）﹣．
考点：
运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
专题：
三角函数的求值．
分析：
原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数基本关系变形，整理即可得到结果．
解答：
解：
原式=﹣•（﹣sinα）•cosα+cos2α+=sin2α+cos2α+=1+．
点评：
此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
22．（7分）四边形ABCD中，
（1）若，试求x与y满足的关系式；
（2）满足
（1）的同时又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
考点：
平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：
计算题．
分析：
（1）根据所给的三个向量的坐标，写出要用的的坐标，根据两个向量平行的充要条件写出关系式，整理成最简形式．
（2）写出向量的坐标，根据两个向量垂直的充要条件写出关系式，结合上一问的结果，联立解方程，针对于解答的两种情况，得到四边形的面积．
解答：
解：
（1）∵
∴x•（﹣y+2）﹣y•（﹣x﹣4）=0，
化简得：
x+2y=0；
（2），
∵
∴（x+6）•（x﹣2）+（y+1）•（y﹣3）=0
化简有：
x2+y2+4x﹣2y﹣15=0，
联立
解得或
∵
则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形
当
此时
当，
此时．
点评：
本题考查向量垂直和平行的充要条件，结合向量的加减运算，利用方程思想，是一个综合问题，运算量比较大，注意运算过程不要出错，可以培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用．
23．（7分）已知cos（α﹣）=﹣，sin（）=，，，
（1）求cos（）；
（2）求tan（α+β）．
考点：
两角和与差的正弦函数．
专题：
三角函数的求值．
分析：
（1）由条件求得sin（）和cos（）的值，再根据cos（）=cos，
利用两角差的余弦公式求得结果．
（2）由
（1）可得∈（，）以及sin=的值，可得tan的值，再利用二倍角公式求得tan（α+β）的值．
解答：
解：
（1）∵cos（α﹣）=﹣，sin（）=，，，
∴sin（）=，cos（）=．
∴cos（）=cos
=cos（）cos（）+sin（）sin（）=﹣+=．
（2）由
（1）可得∈（，），∴sin==，
∴tan==，∴tan（α+β）==．
点评：
本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．
24．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）在如图坐标系里用五点法画出函数f（x），x∈的图象．
x ﹣
考点：
三角函数中的恒等变换应用；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．
专题：
三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：
（1）首先利用函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）直接利用
（1）的函数关系式利用整体思想求正弦型函数的单调区间．
（3）利用列表，描点．连线求出函数的图象．
解答：
解：
（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1
=
所以：
（2）令：
（k∈Z）
解得：
（k∈Z）
所以：
函数的单调递减区间为：
（k∈Z）
（3）列表：
描点并连线
x ﹣
2x+ ﹣π ﹣ 0 π
sin（2x+） 0 ﹣1 0 1 0
2sin（2x+） 0 ﹣2 0 2 0
点评：
本题考查的知识要点：
函数关系似的恒等变换，正弦型函数的周期和单调区间的应用，利用五点法画出函数的图象．属于基础题型．
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