数学中考试题等腰三角形.docx
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数学中考试题等腰三角形
等腰三角形
一、选择题
1．（2019·天津北辰区·一摸）用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是（）.
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：
A
2．（2019·天津市和平区·一模）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=（ ）
A．36°B．70°C．72°D．108°
【考点】多边形内角与外角；等腰三角形的性质．
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．
【解答】解：
∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°
又∵EA=ED，
∴∠EAD=×（180°﹣108°）=36°，
∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，
故选：
C．
【点评】本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键．
3.（2019·江苏丹阳市丹北片·一模）如图，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC>3，点M在AC上，
点N在CB的延长线上，连结MN交AB于点O，且AM＝BN＝3，
则S△AMO与S△BNO的差是（）
A.9B.4.5C.0
D.因为AC、BC的长度未知，所以该值无法确定
答案：
B
4.．（2019·辽宁丹东七中·一模）已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（ ）
A、12B、12或15C、15D、15或1
答案：
C
5.（2019·广东·一模）在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=
，则AD的长是（ ）
A．
B．2C．1D．2
答案：
B
6.（2019·广东东莞·联考）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（ ）
A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2
【考点】正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质．
【分析】根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC=
a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．
【解答】解：
∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，
∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，
∴sin45°=
=
=
，
∴AC=BC=
a，
∴S△ABC=×
a×
a=
，
∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：
×4=a2．
正八边形中间是边长为a的正方形，
∴阴影部分的面积为：
a2+a2=2a2，
故选：
A．
【点评】此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．
7.（2019·广东深圳·一模）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
【解答】解：
过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中
，
∴△PFD≌△QCD，
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=3，
∴DE=，
故选B．
【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
8.（2019·广东深圳·联考）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下列结论：
1△ODC是等边三角形；②BC=2AB；
③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
其中正确的结论的个数有
A．1B．2C．3D．4
答案：
C
5.（2019·广东深圳·一模）下列图形中既是轴对称，又是中心对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：
A、既不是轴对称，也不是中心对称，故本选项错误；
B、是轴对称，也是中心对称，故本选项正确；
C、不是轴对称，不是中心对称，故本选项错误；
D、是轴对称，不是中心对称，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6.（2019·河北石家庄·一模）等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）
A．42°B．60°C．36°D．46°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数．
【解答】解：
如图：
△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．
∵∠A=84°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣84°）÷2=48°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=48°；
∴∠DBC=90°﹣48°=42°．
故选A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．求一个角的大小，常常通过三角形内角和来解决，注意应用．
7.（2019·黑龙江大庆·一模）下列命题：
①等腰三角形的角平分线平分对边；②对角线垂直且相等的四边形是正方形；③正六边形的边心距等于它的边长；④过圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等．其中真命题有（）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：
A
二、填空题
1．（2019·天津市和平区·一模）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=66°，则∠AEB的大小= 126° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】由等边三角形的性质得出BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CD=CE，得出∠BCD=∠ACE，由SAS证明△BCD≌△ACE，得出∠CBD=∠CAE，再证明∠CBD﹣6°=∠ABE，得出∠ABE=∠CAE﹣6°，求出∠ABE+∠BAE=∠BAC﹣6°，即可求出∠AEB的大小．
【解答】解：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠EBD=66°，
∴∠CBD=∠ABE+（66°﹣60°）
∴∠ABE=∠CAE﹣6°，
∵∠ABE+∠BAE=∠CAE+∠BAE﹣6°=∠BAC﹣6°=54°，
∴∠AEB=180°﹣54°=126°；
故答案为：
126°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
2.（2019·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么EC= ．
答案：
4
3.（2019·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）如图，AB∥DE，△ACB是等腰直角三角形，且∠C=90°，CB的延长线交DE于点G，则∠CGE=▲度.
答案：
135；
4.（2019·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）如图，底角为
的等腰△ABC绕着点B顺时针旋转，使得点A与边BC上的点D重合，点C与点E重合，联结AD、CE．已知tan
=
，AB=5，则CE=▲．
答案：
5.（2019·广东·一模）（本题满分6分）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：
以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．
（1）求证：
AB=AE；
（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．
解：
（1）证明：
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC．
由BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；
（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠ABE=∠AEB=40°．
由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°．
6.（2019·广东深圳·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是 12 ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据AD∥BC和已知条件，推得AB=AE，由E是AD边上的中点，推得AD=2AB，再求平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，
∵E是AD边上的中点，∴AD=2AB，
∵AB=2，∴AD=4，∴平行四边形ABCD的周长=2（4+2）=12．
故答案为：
12．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现等角时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
7.（2019·黑龙江大庆·一模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，tan∠B=
，BC=30，D为BC中点，射线DE⊥AC．将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A’，点B的对应点为B’），射线A’B’分别交射线DA、DE于M、N．当DM=DN时，DM的长为________．
答案：
5+
第7题
三．解答题
1．（2019·重庆铜梁巴川·一模）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，AE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．
（1）求证：
△ACF≌△CBE；
（2）求证：
AF=BE+
DE；
（3）如图2，将直线l旋转到△ABC的外部，其他条件不变，
（2）中的结论是否仍然成立，如果成立请说明理由，如果不成立AF、BE、DE又满足怎样的关系？
并说明理由．
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；
（2）如图1，连接DF，CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD，∠CDB=90°，由全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，推出△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到∠EDB=∠FDC，DE=DF，根据余角的性质得到∠EDF=90°，根据等腰直角三角形的性质得到EF=
DE，于是得到结论；
（3）不成立，BE+AF=
DE，连接CD，DF，由
（1）证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，由
（2）证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=
DE，即可得到结论．
【解答】证明：
（1）∵BE⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠EBC=∠CAF，
∵AF⊥l于点F，
∴∠AFC=90°，
在△BCE与△ACF中，
，
∴△ACF≌△CBE；
（2）如图1，连接DF，CD，
∵点D是AB的中点，
∴CD=BD，∠CDB=90°，
∵△ACF≌△CBE，
∴BE=CF，CE=AF，
∵∠EBD=∠DCF，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴∠EDB=∠FDC，DE=DF，
∵∠CDF+∠FDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF=
DE，
∴AF=CE=EF+CF=BE+DE；
（3）不成立，BE+AF=DE，
连接CD，DF，
由
（1）证得△BCE≌△ACF，
∴BE=CF，CE=AF，
由
（2）证得△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=DE，
∵EF=CE+CF=AF+BE=DE．
即AF+BE=DE．
2．（2019·天津市南开区·一模）如图，AB是⊙O的直径，C，P是
上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图
（1），若点P是
的中点，求PA的长；
（2）如图
（2），若点P是的中点，求PA的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】几何综合题．
【分析】
（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．
（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．
【解答】解：
（1）如图
（1）所示，连接PB，
∵AB是⊙O的直径且P是的中点，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，
∴PA===．
（2）如图
（2）所示：
连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，
∵P点为弧BC的中点，
∴OP⊥BC，∠OMB=90°，
又因为AB为直径
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB=∠POB，
又因为∠ACB=∠ONP=90°，
∴△ACB∽△0NP
∴=，
又∵AB=13AC=5OP=，
代入得ON=，
∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36
在Rt△ANP中有PA===3
∴PA=3．
【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．
3．（2019·天津市南开区·一模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：
DC=1：
3时，求a的值；
（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？
若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】
（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式；
②把（﹣1，m）代入函数解析式即可求得m的值；
（2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论．利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：
（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，
把x=﹣4，y=0代入得：
﹣4k+3=0，
∴k=，
∴直线的解析式是：
y=x+3，
②P′（﹣1，m），
∴点P的坐标是（1，m），
∵点P在直线AB上，
∴m=×1+3=；
（2）∵PP′∥AC，
△PP′D∽△ACD，
∴=，即=，
∴a=；
（3）以下分三种情况讨论．
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H=AC．
∴2a=（a+4）
∴a=
∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴==，即=，
∴b=2
2）若∠P′AC=90°，（如图2），则四边形P′ACP是矩形，则PP′=AC．
若△P´CA为等腰直角三角形，则：
P′A=CA，
∴2a=a+4
∴a=4
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴==1，即=1
∴b=4
3）若∠P′CA=90°，
则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；
③当P在第三象限时，∠P′AC为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．
所有满足条件的a，b的值为：
，．
【点评】本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．
4.（2019·陕西师大附中·模拟）（7分）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：
PB=PC.
【答案】（本题满分7分）
解:
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等），
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=BF，
在△BEP和△CFP中，
∴△BEP≌△CFP（AAS），
∴PB=PC，
5.（2019·江苏常熟·一模）如图，在10×6的正方形网络中，每一个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A、B均为在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为一腰作等腰三角形ABC，使得△ABC一个顶角为钝角，点C在小正方形顶点上．
（2）直接写出△ABC的周长．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定．
【专题】作图题．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质结合网格得出符合题意的答案；
（2）利用勾股定理得出三角形的周长即可．
【解答】解：
（1）如图所示：
△ABC即为所求，
；
（2）△ABC的周长为：
5+5+3=10+3或5=5+=10+4．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题关键．
6.（2019·江苏丹阳市丹北片·一模）（6分）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：
①
②
③
④
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：
（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定
是等腰三角形吗？
说说理由；
（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使
不能构成等腰三角形的概率．
答案：
（1）能，证明略
（2）树状图或表格，
7.（2019·吉林长春朝阳区·一模）如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；
（2）求点R运动的路程长；
（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】综合题；分类讨论．
【分析】
（1）易证△APQ是等边三角形，即可得到QR=PQ=AP=2t；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图②，易得点R运动的路程长是AG+CG，只需求出AG、CG就可解决问题；
（3）四边形APRQ与△ACD重叠部分图形可能是菱形，也可能是五边形，故需分情况讨论，然后运用割补法就可解决问题；
（4）由于直角顶点不确定，故需分情况讨论，只需分∠QRB=90°和∠RQB=90°两种情况讨论，即可解决问题．
【解答】解：
（1）如图①，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠B=60°．
∵PQ∥BC，
∴∠APQ=∠ACB=60°，∠AQP=∠B=60°，
∴△APQ是等边三角形．
∴PQ=AP=2t．
∵△PQR是等边三角形，
∴QR=PQ=2t；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图②，
则点R运动的路程长是AG+CG．
在Rt△AGC中，∠AGC=90°，sin60°=
=
，cos60°=
=，AC=4，
∴AG=2
，CG=2．
∴点R运动的路程长2
+2；
（3）①当0＜t≤时，如图③，
S=S菱形APRQ=2×S正△APQ=2×
×（2t）2=2
t2；
②当＜t≤1时，如图④
PE=PC•sin∠PCE=（4﹣2t）×=2﹣t，
∴ER=PR﹣PE=2t﹣（2﹣t）=3t﹣2，
∴EF=ER•tanR=
（3t﹣2）
∴S=S菱形APRQ﹣S△REF
=2
t2﹣
（3t﹣2）2=﹣
t2+6
t﹣2
；
（3）t=或t=
提示：
①当∠QRB=90°时，如图⑤，
cos∠RQB=
=，
∴QB=2QR=2QA，
∴AB=3QA=6t=4，
∴t=；
②当∠RQB=90°时，如图⑥，
同理可得BC=3RC=3PC=3（4﹣2t）=4，
∴t=．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、等边三角形的面积公式（等边三角形的面积等于边长平方的
倍）等知识，运用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．
第19题图
A
M
C
（第17题）
O
N
B
（第15题图）
A
C
D
E
B
G
（第18题图）
C
B
A
A
D
E
B
C
8.（2019·广东东莞·联考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
【考点】等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．
【专题】作图题．
【分析】
（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．
（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．
【解答】解：
（1）如图所示：
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