椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：
对于椭圆1（a>b>0）,F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两焦点。
若P（x,y）是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.
5．几个常用结论：
1）过椭圆上一点P（x0,y0）的切线方程为
；
2）斜率为k的切线方程为；
3）过焦点F2（c,0）倾斜角为θ的弦的长为
。
6．双曲线的定义，第一定义：
满足||PF1|-|PF2||=2a（2a<2c=|F1F2|,a>0）的点P的轨迹；
第二定义：
到定点的距离与到定直线距离之比为常数e（>1）的点的轨迹。
7．双曲线的方程：
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
，
参数方程为（为参数）。
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
。
8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
（a,b>0）,
a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为（-a,0）,（a,0）.左、右焦点为F1（-c,0）,F2（c,0），对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e>1。
两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。
若a=b，则称为等轴双曲线。
9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两个焦点。
设P（x,y）是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2）过焦点的倾斜角为θ的弦长是。
10．抛物线：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。
若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px（p>0），离心率e=1.
11．抛物线常用结论：
若P（x0,y0）为抛物线上任一点，
1）焦半径|PF|=；
2）过点P的切线方程为y0y=p（x+x0）；
3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。
12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：
到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若01，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。
这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。
二、方法与例题
1．与定义有关的问题。
例1已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。
例2已知P，为双曲线C：
右支上两点，延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。
求证：
∠F1K=∠KF1Q.
2．求轨迹问题。
例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。
例4长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。
例5在坐标平面内，∠AOB=，AB边在直线l:
x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。
3．定值问题。
例6过双曲线（a>0,b>0）的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。
求证：
H的横坐标为定值。
注：
本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。
例7设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。
证明：
直线AC经过定点。
例8椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：
为定值。
4．最值问题。
例9设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。
例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：
1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。
5．直线与二次曲线。
例11若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。
例12若直线y=2x+b与椭圆相交，
（1）求b的范围；
（2）当截得弦长最大时，求b的值。
三、基础训练题
1．A为半径是R的定圆⊙O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________.
2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2（>0），则动点的轨迹是________.
3．椭圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.
4．双曲线方程，则k的取值范围是________.
5．椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.
6．直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________.
7．ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________.
8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.
9．已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________.
10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，的取值范围是________.
11．已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。
12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a（2a<）；（iii）半圆上有相异两点M，N，它们与直线l的距离|MP|，|NQ|满足求证：
|AM|+|AN|=|AB|。
13．给定双曲线过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2的中点的轨迹方程。
四、高考水平测试题
1．双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是=0，则此双曲线的标准方程是_________.
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1=_________.
3．双曲线的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.
4．椭圆的中心在原点，离心率，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M横坐标为-1，M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.
5．4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆恰有一个公共点的_________条件.
6．若参数方程（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_________.
7．如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的范围是_________.
8．过双曲线的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.
9．过坐标原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________.
10．以椭圆x2+a2y2=a2（a>1）的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_________个.
11．求椭圆上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。
12．设F，O分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。
13．已知双曲线C1：
（a>0），抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。
（1）求证：
C1，C2总有两个不同的交点。
（2）问：
是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？
若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。
五、联赛一试水平训练题
1．在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_________.
2．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面积为_________.
3．给定椭圆，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ，则离心率e的取值范围是_________.
4．设F1，F2分别是双曲线（a>b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_________.
5．ΔABC一边的两顶点坐标为B（0，）和C（0，），另两边斜率的乘积为，若点T坐标为（t,0）（t∈R+）,则|AT|的最小值为_________.
6．长为l（l<1）的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________.
7．已知抛物线y2=2px及定点A（a,b）,B（-a,0）,ab≠0,b2≠2pa，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_________.
8．已知点P（1，2）既在椭圆内部（含边界），又在圆x2+y2=外部（含边界），若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.
9．已知椭圆的内接ΔABC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。
10．设曲线C1：
（a为正常数）与C2：
y2=2（x+m）在x轴上方有一个公共点P。
（1）求实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当011．已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线的方程。
六、联赛二试水平训练题
1．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：
∠GAC=∠EAC。
2．求证：
在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。
3．以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于Ci（i=0,1），在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1，交AB0的延长线于。
求证：
（1）点与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；
（2）P0，Q0，P1，Q1共圆。
4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v0和不同发射角（即发射方向与x轴正向之间的夹角）α（α∈[0,π],α≠）射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。
证明：
此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。
5．直角ΔABC斜边为AB，内切圆切BC，CA，AB分别于D，E，F点，AD交内切圆于P点。
若CPBP，求证：
PD=AE+AP。
6．已知BCCD，点A为BD中点，点Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一点R，使BR=2RQ，CQ上找一点S，使QS=RQ，求证：
∠ASB=2∠DRC。
答案：
基础训练题
1．圆。
设AO交圆于另一点是A关于的对称点。
则因为AB，所以P在以为直径的圆上。
2．圆或椭圆。
设给定直线为y=±kx（k>0）,P（x,y）为轨迹上任一点，则
。
化简为2k2x2+2y2=m2（1+k2）.
当k≠1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。
3．12．由题设a=10,b=6,c=8，从而P到左焦点距离为10e=10×=8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。
4．-25或-25.设两条焦半径分别为m,n，则因为|F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即（m+n）2-3mn=144.所以，
6．3x+4y-5=0.设M（x1,y1）,N（x2,y2），则两式相减得-（y1+y2）（y1-y2）=0.由
，得。
故方程y+1=（x-3）.
7.-4.设B（x1,y1）,C（x2,y2），则=0，所以y1+y2=-8，故直线BC的斜率为
8．=1。
由渐近线交点为双曲线中心，解方程组得中心为（2,1），又准线为，知其实轴平行于y轴，设其方程为=1。
其渐近线方程为=0。
所以y-1=（x-1）.由题设，将双曲线沿向量m=（-2,-1）平移后中心在原点，其标准方程为=1。
由平移公式平移后准线为，再结合，解得a2=9，b2=16，故双曲线为=1。
9．2．曲线y2=ax关于点（1，1）的对称曲线为（2-y）2=a（2-x）,
由得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,从而=
=1，所以a=2.
10．（2，]。
设P（x1,y1）及，由|PF1|=ex1+a
|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以，即。
因，所以，所以即211.解：
由对称性，不妨设点P在第一象限，由题设|F1F2|2=4=4c2，又根据椭圆与双曲线定义
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
在ΔF1PF2中，由余弦定理
从而
又sin∠F1PF2=
所以
12．解：
以直线AB为x轴，AT的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由定义知M，N两点既在抛物线y2=4ax上，又在圆[x-（a+r）]2+y2=r2上，两方程联立得x2+（2a-2r）x+2ra+a2=0，设点M，N坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2），则x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r，所以
|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|.
得证。
13．解：
若直线l垂直于x轴，因其过点A（2,1），根据对称性，P1P2的中点为（2，0）。
若l不垂直于x轴，设l的方程为y-1=k（x-2），即
y=kx+1-2k.①
将①代入双曲线方程消元y得
（2-k2）x2+2k（2k-1）x-（4k2-4k+3）=0.②
这里且Δ=[2k（2k-1）]2+4（2-k）2（4k2-4k+3）=8（3k2-4k+3）>0,
设x1,x2是方程②的两根，由韦达定理
③
由①，③得y1+y2=kx1+（1-2k）+kx2+（1-2k）
=k（x1+x2）+2（1-2k）=④
设P1P2的中点P坐标（x,y），由中点公式及③，④得
消去k得
点（2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。
高考水平测试题
1．由椭圆方程得焦点为，设双曲线方程，渐近线为由题设，所以a2=3b2,又,c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36.
2.900。
见图1，由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3．相切，若P（x,y）在左支上，设F1为左焦点，F2为右焦点，M为PF1中点，则|MO|=|PF2|=（a-ex），又|PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和（-a-ex）+a=（a-ex）=|MO|，所以两圆外切。
当P（x,y）在右支上时，同理得两圆内切。
4．与F1对应的另一条准线为x=-11，因|MF1|与M到直线x=-11距离d1之比为e，且d1=|xm+11|=10.所以，所以|MF1|=
5．充要。
将y=2x+1代入椭圆方程得（b2+4a2）x2+4a2x+a2（1-b2）=0.①
若Δ=（4a2）2-4（b2+4a2）a2（1-b2）=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直线与椭圆有一个公共点。
6．y=2（x-1）。
消去参数得（y-2m）2=4（x-m），焦点为它在直线y=2（x-1）上。
7．1≤m<5。
直线过定点（0,1），所以0≤1.又因为焦点在x轴上，所以5>m,所以1≤m<5。
8．3．双曲线实轴长为6，通径为4，故线段端点在异支上一条，在同支上有二条，一共有三条。
9．或。
设直线l:
y=kx与椭圆交于A（x1,y1）,B（x2,y2），把y=kx代入椭圆方程得（1+3k2）x2-6x+3=0，由韦达定理得
①
②
因F（1，0），AFBF，所以（x1-1）（x2-1）+y1y2=0,即
x1x2-（x1+x2）+1+k2x1x2=0.③
把①，②代入③得，所以倾斜角为或
10．3．首先这样的三角形一定存在，不妨设A，B分别位于y轴左、右两侧，设CA斜率为k（k>0），CA的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为（a2k2+1）x2+2a2kx=0，得x=0或，于是，|CA|=
由题设，同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得
（k-1）[k2-（a2-1）k+1]=0,
解得k=1或k2-（a2-1）k+1]=0。
①
对于①，当1时，①有两个不等实根，故最多有3个。
11．解设焦点为F1，F2，椭圆上任一点为P（x0,y0）,∠F1PF2=θ,根据余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cosθ,
又|PF1|+|PF2|=2a，则4c2=（2a）2-2|PF1|•|PF2|（1+cosθ）,再将|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2（a2-e2）（1+cosθ）.
于是有
由0，得，所以。
因θ∈[0，π]，所以cosθ为减函数，故0
当2b2>a2即时，，arccos，sinθ为增函数，sinθ取最大值
；当2b2≤a2时，arccos,θ∈[0,π]，则sinθ最大值为1。
12．解设A（x1,y1）,B（x2,y2），若AB斜率不为0，设为k，直线AB方程为y=k（x+c），代入椭圆方程并化简得
（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2（k2c2-b2）=0.①
则x1,x2为方程①的两根，由韦达定理得
②
③
因为y1y2=k2（x1+c）（x2+c），再由②，③得
所以=x1x2+y1y2=,O点在以AB为直径的圆内，等价<0，即k2（a2c2-b4）-a2b2<0对任意k∈R成立，等价于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0若斜率不存在，问题等价于即，综上
13．解
（1）由双曲线方程得，所以F1（,0），抛物线焦点到准线的距离，抛物线
①
把①代入C1方程得
②
Δ=64a2>0，所以方程②必有两个不同实根，设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a2<0，所以②必有一个负根设为x1,把x1代入①得y2=,所以（因为x1≠0），所以C1，C2总有两个不同交点。
（2）设过F1（,0）的直线AB为my=（x+a）,由得y2+4may-12a2=0，因为Δ=48m2a2+48a2>0，设y1,y2分别为A，B的纵坐标，则y1+y2=,y1y2=-12a2.所以（y1-y2）2=48a2（m2+1）.所以SΔAOB=|y1-y2|•|OF1|=a•a•
，当且仅当m=0时，SΔAOB的面积取最小值；当m→+∞时，SΔAOB→+∞，无最大值。
所以存在过F的直线x=使ΔAOB面积有最小值6a2.
联赛一试水平训练题
1．m>5.由已知得
，说明（x,y）到定点（0,-1）与到定直线x-2y+3=0的距离比为常数，由椭圆定义<1，所以m>5.
2.因为b=|PQ|=|PF|+|QF|=
所以。
所以SΔOPQ=absinθ=.
3.。
设点P坐标为（r1cosθ,r1sinθ）,点Q坐标为（-r2sinθ,r2cosθ），因为P，Q在椭圆上，可得，RtΔOPQ斜边上的高为≤|OF|=c.所以a2b2≤c2（a2+b2），解得≤e<1.
4.以O为圆心，a为半径的圆。
延长F1M交PF2延长线于N，则F2N，而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以|OM|=a.
5.t∈（0,1]时|AT|min=,t>1时|AT|min=|t-2|.由题设kAB•kAC=-,设A（x,y），则（x≠0），整理得=1（x≠0），所以|AT|2=（x-t）2+y2=（x-t）2+（x-2t）2+2-t2.因为|x|≤2,所以当t∈（0,1]时取x=2t,|AT|取最小值。
当t>1时，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.
6.设点M（x0,y0），直线AB倾斜角为θ，并设A（x0-）,B（x0+）,因为A，B在抛物线上，所以
①
②
由①，②得2x0cosθ=sinθ.③
所以
因为l2<1，所以函数f（x）=.在（0，1]在递减，
所以。
当cosθ=1即l平行于x轴时，距离取最小值
7．设
，由A，M，M1共线得y1=，同理B，M，M2共线得，设（x,y）是直线M1M2上的点，则y1y2=y（y1+y2）-2px，将以上三式中消去y1,y2得
y02（2px-by）+y0•2pb（a-x）+2pa（by-2pa）=0.
当x=a,y=时上式恒成立，即定点为
8．。
由题设且a2+2b2≤15，解
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