因式分解的9种方法Word格式.doc

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2.公式法

完全平方公式、平方差公式。

注意：

使用公式法前，部分题目先提取公因式。

例二：

分解因式

分析：

此题较为简单，可以看出4=22，适用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）2解：

原式=（x+2）（x-2）

3.十字相乘法

是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果

例三：

把分解因式.

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数（只取正因数）：

2＝1×

2＝2×

1；

分解常数项：

3=1×

3=3×

1=（-3）×

（-1）=（-1）×

（-3）.

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解原式=（x-3）（2x-1）.

对于二次三项式ax^2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

　　a1c1

　　╳

　　a2c2

　　a1c2+a2c1

　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.

这种方法要多实验，多做，多练。

它可以包括前两者方法。

4.分组分解法

也是比较常规的方法。

一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来，需要可持续性！

例四：

可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式

原式=（x+2）^2-y^2=（x+2+y）（x+2-y）

分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。

5.换元法

整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上

例五：

考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y

那么原式=a^2-2a+1=（a-1）^2，回代原式=（x+y-1）^2

6.主元法

这种方法要难一些，多练即可。

即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数

例六：

因式分解

　　分析：

本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=...............................主元法

=（x^2y^2-2x^2y+x^2+8y）（x^2+2）---------------------【十字相乘法】

可见，十字相乘十分重要。

7.双十字相乘法

难度较之前的方法要提升许多。

是用来分解形如的二次六项式

在草稿纸上，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。

则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

要诀：

把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

例七：

ab＋＋a－b－2分解因式

　　解：

原式＝0×

1×

a^2＋ab＋b^2＋a－b－2

　　＝（0×

a＋b＋1）（a＋b－2）

　　＝（b＋1）（a＋b－2）

8.待定系数法

将式子看成方程，将方程的解代入，这时就要用到“1”中提到的知识点了

当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个（x-a）因式

例八：

该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法

我们可以把它当方程做，x^2+x-2=0

一眼看出，该方程有一根为x=1，那么必有一因式为（x-1）

结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）

一次项系数必为1（因为与1相乘要为1），所以另一因式为（x+2），分解为（x-1）（x+2）

9.列竖式

让人拍案叫绝的方法。

原理和小学的除法差不多。

要建立在待定系数法的方程法上，不足的项要用0补

除的时候，一定要让第一项抵消

例九：

提示：

x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）

那么该式分解为（x+1）（3x^2+2x-2）

因式分解有9种方法，这么多？

其实是不止的，还有很多很多。

不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。

xy＋6－2x－3y

（x＋2）（x－3）＋（x＋2）（x＋4）

－29x＋15x（y＋2）－x－y－1

+8mn++4n－15+2x-8

+3x-10.+x-6+5x-3

+4x-2-2x-35ax+5bx+3ay+3by