特殊平行四边形典型例题解析题Word文档下载推荐.doc
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∴OE=OC，OF=OC∴OE=OF
（2）当点O运动到AC的中点时，即OA=OC
又由
（1）证得OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
由
（1）知：
∠ECA+∠ACF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°
即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形.
因此：
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
［例2］如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AD于F，OF=3cm，AE⊥BD于E，且BE∶ED=1∶3，求AC的长.
本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：
由矩形的对角线互相平分且相等；
可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3cm，求出BD的长，即AC的长.
解：
∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD,OB=OD=OA=OC
又∵BE∶ED=1∶3∴BE∶BO=1∶2∴BE=EO
又∵AE⊥BO
∴△ABE≌△ADE∴AB=OA即AB=AO=OB
∴∠BAE=∠EAO=30°
，∠FAO=30°
∴△ABE≌△AOF
∴BE=OF=3cm,∴BD=12cm∴AC=BD=12cm
二、参考练习
1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6cm,BC=8cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.
连结BD、BE、DF由折叠的意义可知：
EF⊥BD，EF平分BD.
∴BE=ED,BF=FD
∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°
，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
∵点B和D重合∴BO=DO，∠BOF=∠DOE
∴△BOF≌△DOE∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE
∴四边形BFDE是菱形S菱形=×
BD×
EF=BF×
CD
∵BF=DF，∴可设BF=DF=x则FC=8－x
在Rt△FCD中，根据勾股定理得：
x2=（8－x）2+62
x=∴EF=7.5
因此，折痕EF的长为7.5cm.
2.当平行四边形ABCD满足条件_________时，它成为矩形（填上你认为正确的一个条件即可）.
答案：
∠BAC=90°
或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°
或∠BAD+∠BCD=180°
等条件中的任一个即可.
典型例题
例1
如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：
（1）的度数；
（2）对角线AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．
分析
（1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．
（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知
解
（1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴
是AB的中点，且，∴
∴是等边三角形，∴也是等边三角形．
∴
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，
∴，∴
（3）菱形ABCD的面积
说明：
本题中的菱形有一个内角是60°
的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2
已知：
如图，在菱形ABCD中，于于F．
求证：
要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．
证明
∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，
， ∴， ∴
例3已知：
如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.
解答：
连结AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∴，.
∴与为等边三角形.
∴
∵，∴ ∴
∵， ∴为等边三角形.
∵，
∴ ∴
说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证.
例4
如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．
垂直平分．
由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．
证明：
∵四边形、都是矩形
∴，，，
∴四边形是平行四边形
∵，∴ 在△和△中
∴△≌△
∴，
∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形
∴平分
∴平分
∵
∴垂直平分．
例5
如图，中，，、在直线上，且．
．
要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．
∵四边形是平行四边形
∴，，，∴
∵，∴
在△和△中
∴△≌△
∴
∵
∴ 同理：
∵ ∴四边形是平行四边形
∴四边形是菱形 ∴．
一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？
根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．
设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，∴
∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°
，135°
，45°
如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．
由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．
∵四边形为平行四边形，∴
，∴
答：
这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．
学习本题可以得出两个结论：
（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．
（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．
例3已知：
如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．
观察图形，，从而可说明
在中，交于O，∴
，∴，
例4
如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。
求证：
观察图形，与都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。
在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。
∵四边形ABCD是矩形，∴，∴
又，∴。
∴
例5O是ABCD对角线的交点，的周长为59，，，则________，若与的周长之差为15，则______，ABCD的周长=______.
ABCD中，，.
∴的周长
∴.
在ABCD中，.
的周长－的周长
∴ABCD的周长
本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.
例6
如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，.
求这个平行四边形的面积.
设.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴.
又∵四边形ABCD的周长为36，∴①
∵，
∴
②
解由①，②组成的方程组，得.
∴.
本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.
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