有关梯形的概念、等腰梯形的性质、判定及应用Word下载.doc

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3.梯形的分类

梯形

（1）直角梯形：

有一个角为直角的梯形为直角梯形

（2）等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形

（二）梯形的性质

1.一般梯形的性质

在梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A+∠B=，∠C+∠D=

2.直角梯形具有的特征

在直角梯形ABCD中，若AD∥BC，∠B=，则∠A=，∠C+∠D=

3.等腰梯形具有的性质

（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等

（2）等腰梯形的两条对角线相等

（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。

4.等腰梯形的判定

（1）利用定义：

（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形

二梯形题目的转化策略

常见的梯形辅助线规律口诀为:

梯形问题巧转化，变为△和□;

要想尽快解决好,添加辅助线最重要;

平移两腰作出高,延长两腰也是关键;

记着平移对角线,上下底和差就出现;

如果出现腰中点,就把中位线细心连;

上述方法不奏效,过中点旋转成全等;

灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;

想要易解梯形题,还得注意特题特解;

注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:

1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．

【例1】已知：

如图2,在梯形ABCD中,.求证：

.

【例2】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC的中点,若.AD=7,BC=15,求EF．

2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．

【例3】.如图,在梯形中,,,梯形的面积与梯形的面积相等．求证：

.

3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．

【例4】.如图,在梯形中,.求证：

4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．

【例5】.如图,等腰梯形中,,,且,是高,是中位线,求证：

．

【例6】.已知：

如图,在梯形中,.求证：

梯形是等腰梯形.

5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系.或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．

【例7】.已知：

如图4,在梯形中,是的中点,且.求证：

.

【例8】.已知：

梯形ABCD中ADBC,E为AB中点,且AD＋BC=DC,　求证：

DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD．

证法2：

延长CE与DA延长线交于一点F,过程略．

证法3：

在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决.

6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.

【例9】.已知：

如图5,在梯形ABCD中,M、N分别是BD、AC的中点.求证：

.

　取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形．

【例10】.如图,梯形中,,、分别平分和,为中点,求证：

分析：

要证明,可以利用为中点,延长与的延长线交于,,得到,再证明即可．

【例11】.已知：

如图,在梯形中,是CD的中点.求证：

说明：

在图5中,相当于由绕点E旋转得到；

在图6中,是由绕点E旋转得到.

【例12】.如图,梯形中,,为腰的中点,求证：

巩固练习

例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B，CD=2cm，则梯形ABCD的面积为

A. B. C. D.

例2.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，DE=BC，

（1）求证：

∠E=∠DBC

（2）判断△ACE的形状

例3.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，求。

例4.如图，已知：

AD是△ABC边BC上的高线，E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：

四边形EDGF是等腰梯形。

例5.有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农民种植（即将梯形面积两等分），在图1和图2中，试设计两种方案，并说明理由。

图1 图2

【模拟试题】

1.等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，则等腰梯形的下底角为_____.

2.如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°

，AB∥CD，AB=25，BC=24.将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为________.

3.如图所示，图

（1）中梯形符合_________条件时，可以经过旋转和翻折形成图

（2）.

4.如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°

，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=________.

5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC，BD相交于点O，如下四个结论：

①梯形ABCD是轴对称图形；

②∠DAC=∠DCA；

③△AOB≌△DOC.

请把其中正确结论的序号填在横线上：

________.

6.若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（）

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（）

A.6 B.5 C.4 D.3

8.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，点E是AB的中点，EC∥AD，则∠ABC等于（）

A.75°

B.70°

C.60°

D.30°

9.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°

，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（）

A.19 B.20 C.21 D.22

10.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°

至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）

A.1 B.2 C.3 D.不能确定

11.已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是底边BC的中点，连接AE、DE.求证：

△ADE是等腰三角形.

12.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=120°

求证：

（1）BD⊥DC；

（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积.

13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°

，DE∥AB.

求证：

（1）DE=DC；

（2）△DEC是等边三角形.

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