节梯形的性质定理梯形两腰中点连线定理梯形的两腰中点.docx
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节梯形的性质定理梯形两腰中点连线定理梯形的两腰中点
6.3節梯形的性質
定理6.3-1梯形兩腰中點連線定理
梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半。
E
已知：
如圖6.3-1，梯形ABCD中，丽//及；^M為的中點，N為而的中點。
求證：
⑴顾//石^//灰？
1一—
（2）M/V=-（AD+RC）
想法：
利用三角形兩邊中點連線定理：
三角形的兩中點連線必平行第三邊且等於第三邊的一半。
證明:
敘述
理由
（1）作ATV,並延長ATV交RC的延長線
兩點可作一直線
於E點。
不平行的兩線必相交於一點
（2）在^AND與^ENC中
如圖所示
/AND=/ENC
對頂角相等
DN=CN
已知N為CD的中點
/ADN=/ECN
已知AD//RC&內錯角相等
（3）△AND=△ENC
由
（2）&根據三角形A.S.A.全等定理
（4）=且AN=EN
由（3）&全等三角形對應邊相等
（5）△ABE中，N為AE的中點，
由⑷AN&已知M為AB中點
M為AB中點
1
由（5）&三角形兩邊中點連線必平行
（6）且站=-RE
第三邊且等於第三邊的一半
（7）所以MM//ad//驱：
由⑹MN/M&已知AD/C遞移律
例題6.3-1:
想法：
（1）梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
解：
敘述
理由
（1）陀=（AD+范）乞
=（8+12）-2.=10
已知梯形ABCD中,DIIRC,Q為梯形中線&梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
若一梯形的中線長為10公分，且下底是上底的3倍，求下底與上底的差。
想法：
（1）梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半
解：
敘述
理由
（1）假設上底為x公分、下底為3x公分
已知下底是上底的3倍&假設
（2）10=（X+3x）2
由
（1）&梯形的中線等於兩底和的一
半&已知梯形的中線長為10
（3）X=5
由
（2）解一元一次方程式
（4）下底與上底的差=下底—上底
由
（1）上底為x公分、下底為3x公分
=3x—x=2x=10
&（3）x=5
（6）所以下底與上底的差=10公分
由⑷
若=5,祝=9,求而。
如下圖，梯形ABCD中，E、F分別為AB^D中點，G、H分別為EE、CF中點，
敘述
理由
（1）梯形ABCD中，EF為梯形中線
已知E、F分別為A*、C：
D中點
⑵EF=（AD+躯）-2
由
（1）&梯形的兩腰中點連線等於兩底和
=（5+9）-2=7
的一半&已知=5,=9
⑶EF//RC
由
（1）&梯形的兩腰中點連線必平行兩底
⑷四邊形EFCB為梯形
由（3）EF/RG&一組對邊平行為梯形
（5）梯形EFCB中，GH為梯形中線
已知G、H分別為EE、CF中點
（6）期=（EF+RC）-
由（5）&梯形的兩腰中點連線等於兩底和
=（7+9）8
的一半&已知9&
（2）EF=7已證
如下圖，梯形ABCD中，巫//无，罚=10,无=18,且E、F、G將：
^^四等分，H、I、J將而四等分，求丽+77+石7。
想法：
（1）梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半解：
敘述
理由
（1）F為中點、E為AF中點、
已知E、F、G將四等分
G為中點
（2）I為CD中點、H為a中點、
已知H、1、J將CD四等分
J為疋中點
⑶梯形ABCD中，刃為梯形中線
由
（1）F為M中點&
（2）I為C"中點
⑷F/=（AD+RC）-2
由（3）&梯形的兩腰中點連線等於兩底和
=（10+18）-=14
的一半&已知AD=10,RC=18
（5）C/航:
//An
由（3）&梯形的兩腰中點連線必平行兩底
（6）四邊形ADIF為梯形
由（5）F&—組對邊平行為梯形
（7）梯形ADIF中，EH為梯形中線
由
（1）E為占"中點&⑵H為£"中點
（8）EH=（AD+F/）-
由（7）&梯形的兩腰中點連線等於兩底和
=（10+14）-=12
的一半&已知AD=10&⑷Fi=14已證
（9）四邊形FICB為梯形
由（5）止「1RC&一組對邊平行為梯形
（10）梯形FICB中，為梯形中線
由
（1）G為中點&⑵J為FC中點
（11）GJ=W+眈）-
由（10）&梯形的兩腰中點連線等於兩底
=（14+18）-2=16
和的一半&已知眈=18&⑷fV=14
（12）所以EH+F』+G/
由（8）&（4）&（11）
=12+14+16=42
加法
如下圖，梯形ABFE中，莊//丽，而為其中線，且四邊形ABCD為平行四邊形，已知4,丽=8,求EB。
平行四邊形對邊等長
解:
敘述
理由
（1）=（A£+BF）-2
=（4+8）-
=6
已知梯形ABFE中，GH為梯形中線&梯形的兩腰中點連線等於兩底和的一半&
已知AE=4，BF=8
（2）期/AE//BF
已知為梯形中線&梯形的兩腰中點連線必平行兩底
⑶AB//CD&AD//RC
已知ABCD為平行四邊形&兩組對邊平行
⑷四邊形ADHG為平行四邊形
由⑵GH/AE&（3）A吕IICD兩組對邊
平行為平行四邊形
（5）AD=GH=6
由（4）平行四邊形對邊等長&
（1）GH=6
（6）AD=ED+AE
全量等於分量之和
（7）ED=AD—A£=6—4=2
由（6）移項&（5）qD=6&已知=4
已知:
求證:
丽、丽分別為梯形ABCD與梯形BPQC的中線，若AD^Q,EGHF是平行四邊形。
一組對邊平行且相等為平行四邊形
證明:
敘述
理由
（1）EF=（AD+肚）吃且EF//RC
已知梯形ABCD中,EF為梯形中線&梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半
⑵GH=（PQ+BC）^2且GH//RC
已知梯形BPQC中,GH為梯形中線&梯形的兩腰中點連線必平行兩底且等於兩底和的一半
（3）四邊形EGHF中
如圖所示
EF=（AD+RC）吃
由
（1）EF=（AD+HC）-2&
=（FQ+RCM=GH
已知&
（2）GH=（严^+HU）吃
（4）EF/RC//GH
由⑴EF/RC&⑵GH/RC遞移律
⑸所以EGHF是平行四邊形
由⑶EF=GH&⑷EF[[GH&
一組對邊平行且相等為平行四邊形
定理
6.3-2等腰梯形底角定理
等腰梯形的兩底角相等。
I
如圖6.3-2,
/GHI=/JIH
利用等腰三角形兩底角相等的性質
敘述
理由
（1）過黑占J作
過一點可作一線平行另一線
（2）四邊形GHNJ為一平行四邊形
已知&
（1）JN/GH
兩組對邊平行為平行四邊行
（3）GH=
由
（2）&平行四邊形對應邊相等
（4）△JNI為等腰三角形
由（3）&兩腰等長為等腰三角形
（5）/JNI=/JIN（即/JNI=/JIH）
由（4）&等腰三角形兩底角相等
（6）/GHI=/JNI
由
（1）&平行線的同位角相等
（7）所以/GHI=/JIH
由（5）&（6）遞移律
Q.E.D.
已知求證想法證明
例題6.3-7:
（等腰梯形對角互補）
已知：
四邊形ABCD為等腰梯形，AD//RC。
求證：
⑴/B+/D=180°
（2）/A+/C=180°
敘述
理由
（1）/B=/C
已知四邊形ABCD為等腰梯形&兩底角相等
（2）/A+/B=180°
已知AD//RC&同側內角互補
（3）/A+/C=180°
將
（1）/B=/C代入
（2）/A+/B=180°
（4）/C+/D=180°
已知AD/RC&同側內角互補
（5）/B+/D=180°
將
（1）/B=/C代入（4）/C+/D=180°
例題638:
想法：
（1）等腰梯形兩底角相等
（2）等腰梯形對角互補解：
敘述
理由
（1）/C=/B=60°
已知四邊形ABCD為等腰梯形&等腰梯形兩底角相等
&已知/B=60°
（2）/D+/B=180°
已知四邊形ABCD為等腰梯形&等腰梯形對角互補
（3）/D=180°—/B
=180°—60°
=120°
由⑵移項&已知/B=60°
由（3）&全等三角形對應邊相等
例題6.3-10:
已知四邊形ABCD為等腰梯形，罚//祝^而與疋為兩對角線，若疋=10,則而=?
想法：
（1）等腰梯形兩對角線相等
解：
理由
敘述
（1）歩D^C=10
已知四邊形ABCD為等腰梯形，而與犹為兩對角線&等腰梯形兩對角線相等&已知犹=10
例題6.3-11:
（2）HO=CO
已知：
等腰梯形ABCD中，罚//顶=對角線疋、而交於0點,求證：
敘述
理由
（1）在^ABC與^DCB中
如圖所示
AB=nC
已知四邊形ABCD為等腰梯形&兩腰等長
/ABC=/DCB
已知四邊形ABCD為等腰梯形&兩底角相等
RC=Cfi
共同邊
（2）△ABC=△DCB
由
（1）&根據S.A.S.三角形全等定理
（3）/BAC=/CDB
由
（2）&全等三角形對應角相等
（4）在^AOB與^DOC中
如圖所示
/BAC=/CDB
由（3）已證
/AOB=/DOC
對頂角相等
AB=DC
已知四邊形ABCD為等腰梯形&兩腰等長
（5）△AOB=△DOC
由（4）&根據A.A.S.三角形全等定理
（6）人&fiO=CO
由（5）&全等三角形對應邊相等
等腰梯形兩腰等長且兩底角相等
證明：
⑵
例題6.3-12:
等腰梯形ABCD中，彼//灰?
，/C=74°/ABD=21°若阮=9,求:
（1）/CBD
（2）/CDB（3）
想法：
（1）等腰梯形兩底角及兩腰相等
（2）兩底角相等的三角形為等腰三角形
解：
敘述
理由
（1）/ABC=/C=74°
已知ABCD為等腰梯形&兩底角相等
（2）/ABC=/CBD+/ABD
全量等於分量之和
（3）/CBD=/ABC-/ABD
由
（2）移項&⑴/ABC=74°&
=74°—21°=53°
已知/ABD=21°
（4）/ADB=/CBD=53°
已知AD/RC&內錯角相等&
（3）/CBD=53°
（5）△BCD中
如圖所示
/CDB+/CBD+/C=180°
三角形內角和180°
（6）/CDB=180°—/CBD—/C
由（5）移項&（3）/CBD=53°&
=180°—53°—74°
已知/C=74°
=53°
（7）/CDB=/CBD=53°
由（3）&（6）遞移律
（8）△BCD為等腰三角形
由（7）&兩底角相等為等腰三角形定理
（9）CD=RC=9
由（8）&等腰三角形兩腰等長&
已知RC=9
（10）AH=CD=9
已知ABCD為等腰梯形&兩腰等長
&（9）CD=9
習題6.3
習題6.3-1:
習題6.3-2:
已知一梯形的下底比上底長18公分，且中線長為20公分，求:
⑴上底的長
（2）下底的長習題6.3-3:
如下圖，梯形ABCD中，E、G、P四等分AB,F、H、Q四等分CD,已知a5=31,无=59,求丽+乔+而+西+祝。
習題6.3-4:
如下圖2梯形^ABCD中，E、G、P四等分AB,F、H、Q四等分匸。
已知5,乔=8,求顶化
習題6.3-5:
如下圖，梯形ABFE中，莊//丽，而為其中線，且四邊形ABCD為平行四邊形，已知Xe=5，丽=11，求瓦5。
習題6.3-6:
已知而、而分別為梯形ABCD與梯形BPQC的中線，若而=戶2,而=10,則丽=?
習題6.3-7
已知：
如下圖，梯形
求證••无=兀
ABCD中,EF為其中線，人G丄RC
如下圖，梯形ABCD中,EF為其中線，八匸及為其對角線。
莊=頁？
且而=丽
梯形ABCD中，E為對角線犹的中點，F為對角線而的中點。
丽=丽且
已知四邊形⑴/c=?
習題6.3-10:
ABCD為等腰梯形，AD//RC,若/B=50°則:
（2）/D=?
習題6.3-11:
已知四邊形ABCD為等腰梯形，罚//祝^而與疋為兩對角線，若疋=5,則更=?
習題6.3-12:
也//乾，/C=80°/ABD=30°若阮=6,求:
/CDB（3）顶
C
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