西南财经大学高等数学期末考卷及解答文档格式.docx
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八
总分
阅卷
人
成
绩
出题教师必填:
1、考试类型:
闭卷。
2、本套试题共道大题,共—页,完卷时间分钟。
3、考试用品中除纸、笔、尺子外,可另带的用具有:
计算器[]字典[]等
(请在下划线上填上具体数字或内容,所选[]内打钩)
考生注意事项:
1、出示学生证或身份证于桌面左上角,以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数,如有重页、页数不足、空白页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
一、填空题(每小题2分,共20分):
1.微分方程y-2y-3y=0的通解为.
2.点(2,1,0,)到平面3x4y5^0的距离d=
3•过点M(1,1,1),且垂直向量n=i2j-k的平面为.
22
4.设fx•y,x-y]=exyx2-y2,贝Uf迈,迈、二•
5.
若f(x,y)=yx,且y0,则fxv(1,e)=
112
7.二次积分Qdxxeydy=.
8.设f(x,y)连续,且f(x,y)二xy2f(u,v)du,dv其中D={(x,y)x2y2<
2x},则
D
f(x,y)=
10.将函数fx二e^x展为x的幕级数为e'
x二.
二、选择题(每小题2分,共10分):
1.方程y-x3dxdy二2xydxx2dy是().
1变量可分离方程②齐次方程
③一阶线性方程④以上均不正确
2.下列曲面中,()是平行x轴的柱面.
①x2y2=3②x2二z2y
③z2-x=2④2y23z2=1
3•设方程xy^,x2y2z^.2确定了函数z=z(x,y),则z(x,y)在点(1,0,T)处的全微分
3有极大值一定有最大值④有最大值一定有极大值
二、解答题(每小题7分,共56分):
1•求微分方程、二的通解.
y—x
2.求微分方程y"
・y=:
「2x的通解.
3.设z=arctan—,求x—y—.ycXdy
4.设:
:
」(axbz,cy—dz)=0,验证d—-^―=1.
cdya欣
5.求二重积分「ydxdy,其中D由y=x2,y=1及y轴所围成.
6.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分,求曲线积分(xdy-2ydx的值.
QOxn
7.求幕级数a的收敛区间.
n±
In+1
00x2n
8.求幕级数1'
(_{—(x:
:
1)的和函数f(x).
n土2n
四、应用题(每小题8分,共8分):
多?
四、证明题(每小题6分,共6分):
2008级《高等数学》期末试题参考解答
、填空题(每小题2分,共20分):
1.y二Ge3x(2e^C1,C2为任意常数.;
2...2;
3.x-12(y-1)-(z-1)=0或x2y-z=2;
4.2e2;
5.2;
6.—
3
7.
丄(e—1);
8.xy;
9
2
.12a;
10.
nn
<
(一2)x
n^0
选择题
(每小题2分,共10分):
1.③;
④;
3.①;
4.④;
5•②.
四、
(每小题7分,共56分):
1•解:
将原方程化为一阶线性非齐次方程
dx1x^1
dyy
所以原方程的通解为
2•解:
所给方程对应的齐次方程为
特征方程为■•1=0,特征根为
设非其次方程的特解形式为'
二A0x•Ay=Ax
y=_2x
代入原方程解的A=-2,于是非齐次方程的一个特解为
故原方程的通解为
y=-2xGcosxC2sinx.
z
3.解:
敛1乍)2
y
■y1&
-x
xy
2x
2*22*2=0
.yxyxy
4.解:
“1(axbz,cy-dz)(abZx)“2(—dZx)=0
\(axbz,cy_dz)(bzyp:
J2(c_dz^J=0
C'
Ez_屮1血=
xdr—br'
fydj—b、
=1
d:
zb:
Z-
c:
ya:
xd>
2_bJ1d:
'
2_bJ1
5.解:
^dxdy=0dx;
丽
0y2|1x2dy
=lj0-
6.解:
正向圆周x2寸=2在第一象限中的部分,用参数方程可表示为
H1—x3)dx=|3=1
X=j2cos0,nc兀
丿-日:
0T—•
y=<
2sin日,2
于是Lxdy-2ydx二。
2[2cos)2cosr22sinr、2sinr]dr
ji+
7.解:
liman±
=lim=1,
ann护1
Jn+1
所以收敛半径为
1.
旳1
当x=1时,得级数a1
n仝Qn+1
发散,
当x=—1时,得级数「(一1)收敛.
n壬In+1
于是收敛区域为[—1,1).
oO
8.解:
f(x)八(-1)nx
n=1
2nJx
-1+x2
上式两边从0到x积分,得
xt12
f(x)-f(0)2dtln(1x2)
o1亠t22
由f(0)=1,得
12
f(x)=1_—ln(1+x),(x<
1)
四、应用题(每小题8分,共8分):
解:
设总利润函数为L(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=4x2y
-x2
1
xy—
约束条件为x+y=19
212八
F(x,y,■)=4x2y-xxyy-<
(xy-19)4分
[4—2xy■=0
x=8
令|2+x—y十九=0解得丿7分
y=11x+y—19=0k
由于实际问题存在最大值,所以工厂分别生产甲、乙两种型号的汽车8,11辆
时,总利润最多,Lmax(8,11)=17.5(万元)。
8分四、证明题(每小题6分,共6分):
证明:
因为
所以limf(x,y)不存在,所以f(x,y)在点(0,0)处不连续,3分
y—0
但f(x,0)=f(0,y)=0,则fx(0,0)=fy(0,0)=0故f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在.