全国卷高三文科数学模拟考试卷含答案.doc
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2017年全国卷高三文科数学模拟考试卷含解析
一．选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设A={x∈Z||x|≤2}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B的元素个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．{x∈R|0≤x≤log23} B．{x∈R|﹣2≤x≤2}
C．{x∈R|0≤x≤log23，或x=2} D．{x∈R|﹣2≤x≤log23，或x=2}
4．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
5．某地铁站每隔10分钟有一趟地铁通过，乘客到达地铁站的任一时刻是等可能的，乘客候车不超过2分钟的概率（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
6．函数y=x2+ln|x|的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》有这样一个问题：
今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
8．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
9．双曲线C：
﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
10．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）=2，则不等式f（x）＜2ex的解集为（ ）21·世纪*教育网
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） D．（2，+∞）
11．已知x＞0，y＞0且x+y=4，若不等式+≥m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．{m|m＞} B．{m|m≥} C．{m|m＜} D．{m|m≤}
12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13．若“∀x∈[﹣，]，m≤tanx+1”为真命题，则实数m的最大值为 ．
14．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为 ．
15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于 ．
16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c•cosB=a+b，△ABC的面积S=c，则边c的最小值为 ．【来源：
21cnj*y.co*m】
三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．等差数列{an}中，a2=8，S6=66
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设bn=，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn．
18．某中学高三年级有400名学生参加月考，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示．
（1）求第四个小矩形的高；
（2）估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数；
（3）已知样本中，成绩在[140，150]内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机选取2人做学习交流，求恰好男生女生各有一名的概率．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A1B1⊥BC，BC=1，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．【出处：
21教育名师】
（Ⅰ）求证：
C1F∥平面EAB；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCE的体积．
20．已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：
OA⊥OB（O为坐标原点）．
21．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x﹣1，a＞0．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．
请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）2·1·c·n·j·y
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．
23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（I）若∃x0∈R，使得不等式f（x0）≤m成立，求实数m的最小值M
（Ⅱ）在（I）的条件下，若正数a，b满足3a+b=M，证明：
+≥3．
参考答案及解析
一．选择题（共12小题）
故选：
B．
3．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．{x∈R|0≤x≤log23} B．{x∈R|﹣2≤x≤2}
C．{x∈R|0≤x≤log23，或x=2} D．{x∈R|﹣2≤x≤log23，或x=2}
解：
根据题意，得
当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，
∴1≤2x≤3，
∴0≤x≤log23；
当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，
∴1≤x+1≤3，
∴0≤x≤2，
即x=2；
∴x的取值范围是{x∈R|0≤x≤log23，或x=2}．
故选：
C．
4．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
解：
由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；
上面是斜高为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为=，故体积为．
∴几何体的体积为8+．
故选A．
6．函数y=x2+ln|x|的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
解：
∵f（﹣x）=x2+ln|x|=f（x），
∴y=f（x）为偶函数，
∴y=f（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，
当x→0时，y→﹣∞，故排除D，
或者根据，当x＞0时，y=x2+lnx为增函数，故排除D，
故选：
A
8．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
解：
由题意正方形ABCD中，E为DC的中点，可知：
=．
则λ+μ的值为：
．
故选：
A．
9．双曲线C：
﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，则它的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
解：
双曲线C：
﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，
可得，∴，
可得，
双曲线的渐近线方程为：
y=±．
故选：
A．
10．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）=2，则不等式f（x）＜2ex的解集为（ ）www.21-cn-
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） D．（2，+∞）
设g（x）=，
则g'（x）=，
∵f（x）＞f′（x），
∴g'（x）＜0，即函数g（x）单调递减．
∵f（0）=2，
∴g（0）=f（0）=2，
则不等式等价于g（x）＜g（0），
∵函数g（x）单调递减．
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故选：
C．
11．已知x＞0，y＞0且x+y=4，若不等式+≥m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．{m|m＞} B．{m|m≥} C．{m|m＜} D．{m|m≤}
解：
x＞0，y＞0且x+y=4，
则：
，
那么（+）（）=+1≥=，当且仅当2x=y=时取等号．
∴+的最小值为．
要使不等式+≥m恒成立，
∴m．
故选D．
12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1
解：
∵当x≥0时，
f（x）=；
即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；
x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；
则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，
最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，
∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），
∴f（﹣x）=（﹣x+1），
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），
∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，
解得x=1﹣2a，
∴所有根的和为1﹣2a．
故选：
A．
二．填空题（共4小题）
13．若“∀x∈[﹣，]，m≤tanx+1”为真命题，则实数m的最大值为 0 ．
解：
“∀x∈[﹣，]，m≤tanx+1”为真命题，
可得﹣1≤tanx≤1，
∴0≤tanx+1≤2，
实数m的最大值为：
0
故答案为：
0．
14．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为 [﹣2，1] ．
解：
如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：
由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），
设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；
=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；
=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，
由题意可知：
x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，
∴的取值范围为[﹣2，1]．
故答案为：
[﹣2，1]．
15．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于 8π ．
解：
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，【来源：
21·世纪·教育·网】
∴=
∴AA1=2
∵BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=
设△ABC外接圆的半径为R，则，∴R=1
∴外接球的半径为=
∴球的表面积等于4π×=8π
故答案为：
8π
16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c•cosB=a+b，△ABC的面积S=c，则边c的最小值为 1 ．www-2-1-cnjy-com
解：
在△ABC中，由条件里用正弦定理可得sinCcosB=sinA+sinB=sin（B+C）+sinB，2-1-c-n-j-y
即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，
∴2sinBcosC+sinB=0，
∴cosC=﹣，C=．
由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，
∴c=3ab．
再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得：
9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，
当且仅当a=b时，取等号，
∴ab≥，可得：
c=3ab≥1，即边c的最小值为1．
故答案为：
1．
三．解答题（共7小题）
17．等差数列{an}中，a2=8，S6=66
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设bn=，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn．
解：
（1）设等差数列{an}的公差为d，则有…（2分）
解得：
a1=6，d=2，…（4分）
∴an=a1+d（n﹣1）=6+2（n﹣1）=2n+4…（6分）
（2）bn===﹣…（9分）
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=﹣+﹣+…+﹣=﹣=…（12分）
18．某中学高三年级有400名学生参加月考，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示．
（1）求第四个小矩形的高；
（2）估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数；
（3）已知样本中，成绩在[140，150]内的有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机选取2人做学习交流，求恰好男生女生各有一名的概率．
（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由频率分布直方图，
第四个矩形的高是[1﹣（0.010+0.012+0.020+0.030）×10]÷10=0.028．…（4分）
（Ⅱ）成绩不低于1（20分）的频率是1﹣（0.010+0.020）×10=0.7，
可估计高三年级不低于1（20分）的人数为400×0.7=280人．…（7分）
（Ⅲ）由直方图知，成绩在[140，150]的人数是0.012×10×50=6，
记女生为A，B，男生为c，d，e，f，这6人中抽取2人的情况有
AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种．…（9分）21教育网
其中男生女生各一名的有8种，概率为=．…（12分）
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A1B1⊥BC，BC=1，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．21*cnjy*com
（Ⅰ）求证：
C1F∥平面EAB；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCE的体积．
解：
（Ⅰ）法一：
取AB中点G，连结EG，FG，…（1分）
∵E，F分别是A1C1，BC的中点，
∴FG∥AC，且FG=AC；
又∵AC∥A1C1，且AC=A1C1，
∴FG∥EC1，且FG=EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形，…（4分）
∴C1F∥EG；
又∵EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
∴C1F∥平面ABE；…（6分）
法二：
取AC中点H，连结C1H，FH，…（1分）
则C1E∥AH，且C1E=AH，
∴四边形C1EAH为平行四边形，
∴C1H∥EA；
又∵EA⊂平面ABE，C1H⊄平面ABE，
∴C1H∥平面ABE，…（3分）
∵H、F分别为AC、BC的中点，
∴HF∥AB；
又∵AB⊂平面ABE，FH⊄平面ABE，
∴FH∥平面ABE；…（4分）
又∵C1H∩FH=H，C1H⊂平面C1HF，FH⊂平面C1HF，
∴平面C1HF∥平面ABE；…（5分）
又∵C1F⊂平面C1HF，
∴C1F∥平面ABE；…（6分）
（Ⅱ）∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB==；…（8分）
∴三棱锥A﹣BCE的体积为
VA﹣BCE=VE﹣ABC…（10分）
=S△ABC•AA1
=×××1×2=．…（12分）
20．已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：
OA⊥OB（O为坐标原点）．
解：
（Ⅰ）解：
椭圆焦点在x轴上，
由题意可得2c=4，．则a=4，c=2．
由b2=a2﹣c2=12，
∴椭圆标准方程为：
．…（5分）
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为（4，0），
由题意得，可设过（4，0）的直线方程为：
x=my+4．…（7分）
由，消去x得：
y2﹣4my﹣16=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则．…（10分）
∴，
则•=0，则⊥
故OA⊥OB．…（12分）
21．已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x﹣1，a＞0．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．
解：
（1）当a=2时，函数f（x）=x3+2x2﹣4x﹣1，
求导：
f′（x）=3x2+4x2﹣4=（3x﹣2）（x+2），
令f′（x）=0，解得：
x=，x=﹣2，
由f′（x）＞0，解得：
x＞或x＜﹣2，
由f′（x）＜0，解得：
﹣2＜x＜，
∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣2，），单调递增区间（﹣∞，﹣2），（，+∞）；
（2）要使f（x）≤0在[1，+∞）上有解，只要f（x）在区间[1，+∞）上的最小值小于等于0，
由f′（x）=3x2+2ax2﹣22=（3x﹣a）（x+a），
令f′（x）=0，解得：
x1=＞0，x2=﹣a＜0，
①当≤1，即a≤3时，f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值为f
（1），
由f
（1）≤0，即1+a﹣a2﹣1≤0，整理得：
a2﹣a≥0，
解得：
a≥1或a≤0，
∴1≤a≤3．
②当＞1，即a＞3时，f（x）在区间[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）上最小值为f（），
由f（）=+﹣﹣1≤0，解得：
a≥，
∴a＞3．
综上可知，实数a的取值范围是[1，+∞）．
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）21世纪教育网版权所有
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．
解：
（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，
∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：
ρ2=4ρcosθ，
∴x2+y2=4x，
∴（x﹣2）2+y2=4．
（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：
（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，
化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则，
∴|AB|=|t1﹣t2|==，
∵|AB|=，
∴=．
∴cos．
∵α∈[0，π），
∴或．
∴直线的倾斜角或．
23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（I）若∃x0∈R，使得不等式f（x0）≤m成立，求实数m的最小值M
（Ⅱ）在（I）的条件下，若正数a，b满足3a+b=M，证明：
+≥3．
解：
（I）函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，
可得|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，
当（2x+1）（2x﹣3）≤0，即﹣≤x≤时，f（x）取得最小值4．
由题意可得m≥4，
即实数m的最小值M=4；
（Ⅱ）证明：
正数a，b满足3a+b=4，
即1=（3a+b），
+=（+）（3a+b）=（3+3++）
≥×（6+2）=×（6+2×3）=3，
当且仅当b=3a=2时，取得等号．
则+≥3．
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