轴对称图形.docx

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轴对称图形

《作轴对称图形》

学习目标：

1.会画一个平面图形关于某条直线对称的图形。

2.学会运用轴对称的性质解决有关求最短距离的作图。

强化练习：

1．由一个平面图形可以得到它关于某条直线对称的图形，这个图形与原图形的_________、___________完全一样．

2．下列说法正确的是（）

A．任何一个图形都有对称轴;B．两个全等三角形一定关于某直线对称;

C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′;

D．点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO=BO，则点A与点B关于直线l对称.

3．身高米的人站在平面镜前2米处，它在镜子中的像高______米，人与像之间距离为_______米；如果他向前走米，人与像之间距离为______米．

4、画出以下图形的对称轴。

5、画出以下两个图形的轴对称图形。

6.把图中（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的蝴蝶图案.

7、如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等。

8、如图，l1、l2交于A点，P、Q的位置如图所示，试确定M点，使它到l1、l2的距离相等，且到P、Q两点的距离也相等。

9、在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两厂到货场C的距离和最小，试在图上作出C。

10．如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．

《用坐标表示轴对称》

学习目标：

1.掌握一个点关于X轴、Y轴对称点的坐标特点。

2.会画一个平面图形关于X轴、Y轴对称的图形.

强化训练：

1、下列两点中，关于X轴对称的点是（）

A、（-1、3）（1、-3）B、（3、-4）（-3、-4）

C、（-3、4）（3、-4）D、（4、-3）（4、3）

2、点M（-2、0）关于y轴的对称点N的坐标是（）

A、（-2、0）B、（2、0）C、（0、2）D、（0、-2）

3．已知A、B两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：

①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④若A、B之间的距离为4，其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

※4．已知M（0，2）关于x轴对称的点为N，线段MN的中点坐标是（）

A．（0，-2）B．（0，0）C．（-2，0）D．（0，4）

5.点A（-4，-3）与B（4，-3）关于对称

6．一个点的纵坐标不变，把横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的关系是___．

7．点M（-2，1）关于x轴对称的点N的坐标是________，直线MN与x轴的位置关系是___________．

8．已知A（-1，-2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．

9.若将⊿ABC的三个顶点横坐标不变，纵坐标均乘以-1后等到⊿A，B，C，，

则⊿A，B，C，（）

A、与ABC关于X轴对称B、与⊿ABC关于y轴对称

C、与ABC关于原点对称D、向X轴负方向平移1个单位

10、点P（3-a，5-a）在第二象限，则点Q（a—3，5—a）在第象限。

11.已知A（2m＋n,2）、B（1,n－m），当m，n分别为何值时

（1）A、B关于x轴对称；

（2）A、B关于y轴对称；

（3）A、B关于原点对称

12.如图,写出A、B、C关于x轴对称的点坐标,并作出与△ABC关于y轴对称的图形.

13．已知：

如图，△ABC，

（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2，△A1B1C1和△A2B2C2各顶点坐标为：

A1（，）；B1（，）；C1（，）；A2（，）；B2（，）；C2（，）．

（2）求△ABC的面积。

14．已知点P（x+1，2x-1）关于x轴对称的点在第一象限，试化简：

│x+2│-│1-x│.

15．已知A（-1，2）和B（-3，-1）．试在y轴上确定一点P，使其到A、B的距离和最小，求P点的坐标．

16.平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.

（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；

（2）求△ABC的面积.

（3）若

与△ABC关于x轴对称，写出

、

、

的坐标.

四、探究题

17．如图:

①写出A、B、C三点的坐标．

②若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系？

③在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以-1，在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系？

18．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）

19、△ABC的顶点A在∠EOD的边OD上，B、C在∠EOD内部，分别以OE、OD为对称轴作关于△ABC的对称图形。

（2）如图，在直线

上找一点，使PA=PB.

20、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置（保留作图痕迹，并写出作法）。

四、探究题

21、如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？

22、电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等。

到两条公路m和n的距离也必须相等。

发射

《等腰三角形》

一、知识要点：

1．等腰三角形

（1）有两边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高互相重合.

（3）等腰三角形的判别方法：

①直接根据定义；②等角对等边.

2．等边三角形

（1）三边都相等的三角形叫做等边三角形.是轴对称图形，有三条对称轴.

（2）等边三角形的性质：

等边三角形的三个角都是60°.

（3）等边三角形的判别方法：

①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

二、题目特点：

和等腰三角形有关的题目主要有两类：

（1）计算题.如求等腰三角形的腰长，周长、角度等；

（2）说理题.如证明一个三角形是等腰（或等边）三角形;（3）实际应用题.如根据实际问题构造等腰三角形解决问题.

三、解题切入点：

解决和等腰三角形有关的计算问题，要把握等腰三角形的性质，注意分类思想在等腰三角形中的应用.解决证明问题主要依据等腰（或等边）三角形的性质和判定方法,有的问题还需要作恰当的辅助线.

【目标一典型例题】

例1.如图在ΔABC中，AB=AC，E在BA延长线上，且AE=AF，

求证：

EF⊥BC

例2.已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，求另外两边长

课堂练习：

1.下列说法中，正确的是（　）

A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形　B．一个等腰三角形一定是锐角三角

C．一个直角三角形一定不是等腰三角D．一个等边三角形一定不是钝角三角形

2.等腰三角形的对称轴是（）

A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线

3.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）

A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm

4.如图AB=AC，D是AE上一点，且BD=DC.求证：

AE⊥BC。

5．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠ACD=1120，求△ABC各内角的度数．

6.如图，AB=AC=AD，

（1）若AD∥BC，那么BD平分∠ABC吗?

请说明理由,并找出∠C与∠D的关系,也请说明理由．

（2）若BD平分∠ABC，那么AD∥BC吗?

请说明理由．

目标二：

等腰三角形的判定

方法1：

定义法

方法2：

等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角，那么这两个角所对的边简成．

【目标二典型例题】

例1.已知，∠CAE是△ABC的外角，∠EAD=∠DAC,AD∥BC求证:

AB=AC

例2.如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，求证：

△BDE是等腰三角形

例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是角平分线。

求证：

BC＝AC＋AD

课堂练习：

1.等腰三角形有两边长是4cm和9cm，则这个三角形的周长是（）.

或22cm

2.若等腰三角形的底边长15cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差是8cm，则腰长是（）.

A.7cm或23cmD.以上都不对

3.等腰三角形的一个角是70°，则一腰上的高与另一腰的夹角是（）.

A.20°B.50°C.20°或50°D.70°

4.已知一个等腰三角形的内角度数之比是1:

4，则这个等腰三角形的顶角为（）.

A.20°B.120°C.36°D.20°或120°

5.如图，在△ABC中，AB=AC，E为CA延长线上一点，ED⊥BC于D且交AB于F.

求证：

△AEF为等腰三角形.

6.如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重合部分（即△BDF）是等腰三角形吗？

请说明理由.

8.已知：

如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，

EF交BC于D.求证：

DE＝DF.

目标三：

等边三角形

1.条边都相等的三角形叫做（也叫）.

2.等边三角形的性质:

（1）等边三角形的三个内角都_________，并且每一个内角都等于；

（2）等边三角形是　　　图形，有条对称轴.

（3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都　　

3.等边三角形的判定:

（1）　个角都相等的三角形是　三角形；

（2）有一个角是　的　三角形是　三角形．

4.直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半

【目标三典型例题】

例1.在正三角形ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使得∠1=∠2，连接BN、CM.

（1）求证：

BN=CM；

（2）求∠NOC的度数.

例2.如图，在等边△ABC的三边上，分别取点D,E,F,使AD=BE=CF,求证：

△DEF是等边三角形.

【目标三课堂练习】

1.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，那么这个三角形是（）

A.等腰三角形但不是等边三角形B.有一个内角是120°的等腰三角形

C.等边三角形D.有一个内角是30°的直角三角形

2.如图已知OA=10,P是射线ON上的一动点（即P可在射线ON上移动），

∠AON=60O,当OP=时，△AOP为等边三角形.

3.如图等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°,

图中与BD相等的线段共有条.

4.在△ABC中,AB=AC,∠A=120O,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,求证BM=MN=NC.

5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于D、E。

求证：

EB=2AC

6.已知△ABC为等边三角形，在图1中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.

（1）请猜一猜：

图1中∠BQM等于多少度？

（2）若M,N两点分别在线段BC,CA的延长线上，其他条件不变，如图2所示，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.

课后练习

一、选择题

1.已知M（a,3）和N（4，b）关于y轴对称，则

的值为（　　　）

　　　B、－1　　　C.

　　　D.

2．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：

①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，则直线1垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）

A．①③④B．③④C．①②D．①②③④

3．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30

）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（）

A、1　　B、2　　　　C、3　　　　D、4

4.如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　　）

A.在AC、BC两边高线的交点处　　　　　B.在AC、BC两边中线的交点处

C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处　　D.在A、B两内角平分线的交点处

5.下列说法中错误的是（）

A成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴

B关于某条直线对称的两个图形全等

C全等的三角形一定关于某条直线对称

D若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称

6．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）

A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm

7．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）

A．40°B．50°C．60°D．30°

8．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）

A．100°B．100°或40°C．40°D．80°

9.已知：

在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（）

A．平行垂直且平分BC

C.斜交垂直但不平分BC

10．如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（）

A.<1>和<2>B.<2>和<3>C.<2>和<4>D.<1>和<4>

二、

填空题

11.如图所示，镜子里号码如图，则实际纸上的号码是＿＿＿＿.

12.一个汽车车牌在水中的倒影为W5236499，则该车的牌照号码是______．

13．已知A（－1，－2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．

14.如图3，在△ABC中BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_______cm

15.如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有____个

16．已知等腰三角形的一个角为42°，则它的底角度数_______．

17.如图，

和

是

分别沿着

边翻折

形成的，若

，则

的度数是．

18.如图，在

中，

，

，

分别是

，

的中点，

，

为

上的点，连结

，

．若

，

，

，则图中阴影部分的面积为

．

三、解答题

19.（6分）如图5，设点P是∠AOB内一个定点，分别画点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2交于点M，交OB于点N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为多少？

20.（6分）如图7，已知：

△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D。

求证：

AD是∠BAC的平分线。

21.（10分）如图9，△ABC是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求△AEF的周长．

22．如图所示，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连结CF、EF，过点F作直线FD⊥CE于D，试发现∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由．

23．已知：

如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证CT=BE．

24．如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°，且AB+BH=HC，求∠B度数．