经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式Word文档下载推荐.doc

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设是实数

其中.当且仅当时，等号成立.

（2）柯西不等式

设是实数，则

当且仅当或存在实数，使得时，等号成立.

（3）排序不等式

设，为两个数组，是的任一排列，则

当且仅当或时，等号成立.

（4）切比晓夫不等式

对于两个数组：

，，有

二相关证明

（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式

证明：

由

而

根据“顺序和乱序和”（在个部分同时使用），可得

即得

同理，根据“乱序和反序和”，可得

综合即证

（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”：

构造两个数列：

其中.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：

总是两数组的反序和.于是由“乱序和反序和”，总有

于是

即

即证

（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”：

不妨设，

.

由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证.

（4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”

不妨设，则，由切比晓夫不等式，上式成立.即证.

（5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式

由切比晓夫不等式，有

由均值不等式，有

所以

两边平方，即得.即证.

（6）补充“调和—几何平均不等式”的证明

将中的换成，有.

两边取倒数，即得.

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