勾股定理整章复习.docx

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勾股定理整章复习

勾股定理复习

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的等于斜边的；如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么。

思考：

（1）a2,b2,c2分别代表什么？

（2）a2与a的单位的关系。

（3）变式：

由a2+b2=c2得a=或b=,或c=（4）运用勾股定理的前提是：

必须知道有一个直角）

2、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是___________.

3、勾股数：

满足a2+b2=c2的三个a,b,c,成为勾股数；写出常用的几组勾股数，，

4．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。

典型例题解析与练习

专题一：

勾股定理

例题1、在Rt△ABC，∠C=90°则：

⑴已知a=b=5，求c2。

⑵已知a=1,c=2,求b2。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=3：

4,c=25,求b。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

例题2、已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

例题3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出BD的长吗？

练习。

如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm

．求此时AD的长．

例题4、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。

★等积法：

在直角三角形中：

直角边×另一条直角边=斜边×斜边上的高

例5：

已知直角三角形的两条直角边长分别为3,4，则斜边上的高等于

专题二：

勾股定理的逆定理

例题1、判断由线段abc组成的三角形是不是直角直角三角形：

（1）a=15，b=8，c=17

（2）a=13，b=14，c=15（3）三边长之比为3∶4∶5；

例题2：

已知：

在△ABC中，∠A∠B∠C的对边分别是abc，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：

∠C=90°。

例题3、若△ABC的三边abc满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。

专题三：

勾股定理的应用

例题1、求下列阴影部分的面积：

（1）阴影部分是正方形；

（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

练习：

若

的三条边长分别为7cm、24cm、25cm。

则

_______

例题2、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为　　　米。

例题3、如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米。

①求梯子顶端与地面的距离OA的长。

②若梯子顶点A下滑1米到C点，

求梯子的底端向右滑到D的距离。

知识点1：

（已知两边求第三边）

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________

2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是________________．

3．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC的长？

4.在数轴上画出

的点.

知识点2：

一、利用方程求线段长

1.如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，

（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？

（2）DE与CE的位置关系

（3）使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？

利用方程解决翻折问题

2、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．

想一想，此时EC有多长？



3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。

2、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．

想一想，此时EC有多长？



3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。

4.如图，将一个边长分别为4、8的矩形形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EF的长是多少？

D’

5.折叠矩形ABCD的一边AD,折痕为AE,且使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm，以B点为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系。

求点F和点E坐标。

、

6.边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求

（1）三角形ADC的面积，

（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式.

y

知识点3：

勾股定理在立体图形中的应用

问题一：

如图，已知圆柱体底面直径AB为2cm，高为4cm

M

（1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。

（2）如果蚂蚁从A点到BF边中点H，求蚂蚁爬行的距离。

问题二：

如图，已知正方体的棱长为2cm

（1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。

（2）如果蚂蚁从A点到G点，求蚂蚁爬行的距离。

（3）如果蚂蚁从A点到CG边中点M，求蚂蚁爬行

的距离。

●M

变式一：

将正方体改为有一组对面为正方形的长方体，长为4cm，宽2cm，高2cm，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。

变式二：

将正方体改为长方体，长为AB=4cm，宽BC=2cm，高GC=3cm，

试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。

变式三：

将变式二中的长方体放置如图墙角位置，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。

知识点4:

判断一个三角形是否为直角三角形

间接给出三边的长度或比例关系

1.

（1）.若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为1cm,则这个三角形是___________。

（2）．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是____________．

（3）在△ABC中，，那么△ABC的确切形状是_____________。

2.如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，你能说明∠AFE是直角吗？

变式：

如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且你能说明∠AFE是直角吗？

3.一位同学向西南走40米后，又走了50米，再走30米回到原地。

问这位同学又走了50米后向哪个方向走了?

知识点5：

寻找规律性问题

1、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…

（1）记正方形ABCD的边长

，依上述方法所作的正方形的边长依次为

，

的值。

（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长

的表达式。

2.细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：

（1）用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的长；

（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值。

3、已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC长为

p，BBl是∠ABC的平分线交AC于点B1，过B1作B1B2⊥AB于点B2，过B2作B2B3∥BC交AC于点B3，过B3作B3B4⊥AB于点B4，过B4作B4B5∥BC交AC于点B5，过B5作B5B6⊥AB于点B6，…，无限重复以上操作．设b0=BBl，b1=B1B2，b2=B2B3，b3=B3B4，b4=B4B5，…，bn=BnBn+1，…．

（1）求b0，b3的长；

（2）求bn的表达式（用含p与n的式子表示，其中n是正整数）

中考链接：

1.

（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开.大会会标如图甲.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5.求中间小正方形的面积.

（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.（要求：

先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）

2请阅读下列材料：

问题：

现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1－①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：

画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.

小东同学的做法是：

设新正方形的边长为x（x＞0）.依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x＝

.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长.于是，画出图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形.

参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图2④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：

在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.

图2

教材改编：

教材68页练习1：

有一个直径为50dm的圆形洞口，想用一个正方形盖住洞口，则需要正方形的对角线至少多长？

变式一：

有一个直径为50dm的正方形洞口，想用一个圆

盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？

变式二：

有一个长为40cm，宽为30cm的长方形洞口，想用一个圆盖住洞口，则需要圆的直径至少多长？

材67页探究2：

如图,一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.

问题：

如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1m?

变式一：

当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离AC

会等于梯子底端下滑的距离BD?

变式二：

如果设梯子的长度为c米，AO=b米，BO=a米，请

用含a、b的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑

的距离AC会等于梯子底端下滑的距离BD?

B

D

教材70页练习5：

要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离。

变式一：

如果电线杆的高度未知，现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆，且钢缆长比电线杆长8米，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为12米，求电线杆的高度

变式二：

现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆，给你一把米尺，你能测量出旗杆的高度吗？

请你设计方案。

教材71页练习11：

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面

积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3.

问题：

如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，

其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么

关系？

（不必证明）

变式一：

如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三

角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间

的关系并加以证明；

变式二：

若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，

其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?

.

思维拓展：

1、如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，∠B=90°，求证：

∠A+∠C=180°

2．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B’，那么BB’的值：

①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．

3、已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

例6：

在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长．

例7：

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，则CD的长是多少?

例8：

如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。