1911平行四边形及其性质一.docx

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1911平行四边形及其性质一

19.1.1平行四边形及其性质

（一）

　　第十九章平行四边形

　　1.1平行四边形及其性质

　　一、教学目标：

　　．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角的性质．

　　．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的．

　　．培养学生发现问题、解决的能力及逻辑推理能力．

　　二、重点、难点

　　．重点：

平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等及对角线互相的性质，以及性质的应用．

　　．难点：

运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

　　三、课堂引入

　　．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护栏，想一想它们是四边形。

　　平行四边形是我们常见的图形，请你在举出平行四边形在生活中应用的例子。

　　你能说出平行四边形的定义吗？

　　定义：

两组对边分别的四边形是平行四边形．

　　如右图：

平行四边形用符号“”来表示．读作。

　　平行四边的定义：

　　①用文字语言表示为：

　　在四边形ABcD中，AB平行于Dc，AD平行于Bc，那么四边形ABcD是．

　　②用符号语言表示为：

　　∵AB//Dc，AD//Bc，∴四边形ABcD是。

；反过来：

　　∵四边形ABcD是。

∴AB//Dc，AD//Bc．

　　注意：

平行四边形中对边是指无公共的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共的边，邻角是指有一条公的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．

　　所以我说定义很特殊：

既可以当用，又可以当用。

　　;平行四边的性质：

　　【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的一般性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？

我们进行探究．

　　我们根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行以外，度量它的边和角，发现平行四边形的对边，对角，邻角，

　　证明，如图：

∵　AB∥cD，AD∥Bc∴∠+∠BAD＝180°，∠+∠=180°∴平行四边形中，相邻的角互为补角．

　　猜想平行四边形的对边相等、对角相等．

　　下面证明这个结论的正确性．

　　已知：

如图ABcD，

　　求证：

AB＝cD，cB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BcD．

　　分析：

作ABcD的对角线Ac，它将平行四边形分成△ABc和△cDA，证明这两个三角形即可得到结论．

　　证明：

连接Ac，如图

　　∵　AB∥，AD∥Bc，∴∠1＝∠3，∠＝∠4．又Ac＝cA，∴　△ABc≌△cDA．

　　∴　AB＝，＝AD，∠＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴　∠BAD＝∠BcD．

　　由此得到：

用文字语言表示为

　　平行四边形性质1

　　平行四边形的对边相等．

　　平行四边形性质2平行四边形的对角相等．

　　用符号语言表示为：

　　∵如图在ABcD中∴AB＝，cB＝AD，∠B＝∠，∠A＝∠c．

　　五、例习题分析

　　例1如图，在平行四边形ABcD中，AE=cF，求证：

AF=cE．

　　分析：

要证AF=cE，需证△≌△cBE，由于四边形ABcD是平行四边形，因此有∠=∠B，AD=，AB=cD，又AE=cF，根据等式性质，可得=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．

　　证明．在ABcD中，∵AB=cD，又∵=∴BE=DF.

　　∵cB＝AD，∠B＝∠D∴△≌△∴.

　　六、随堂练习

　　．填空：

　　在ABcD中，∠A=，则∠B=度，∠c=度，∠D=度．

　　如果ABcD中，∠A—∠B=240，则∠A=度，∠B=度，∠c=度，∠D=度．

　　如果ABcD的周长为28c，且AB：

Bc=2∶5，那么AB=c，Bc=c，cD=c，cD=c．

　　．如图4.3－9，在ABcD中，Ac为对角线，BE⊥Ac，DF⊥Ac，E、F为垂足，

　　求证：

BE＝DF．

　　七、课后练习

　　．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是．

　　对角相等对角互补邻角互补内角和是

　　．如图，AD∥Bc，AE∥cD，BD平分∠ABc，求证AB=cE．

　　【证明】:

∵AD∥Bc∴∠DBc=∠,又∵BD平分∠ABc。

　　∴∠=∠ADB,∴=∴AB=AD.

　　又∵AD∥Bc，AE∥cD∴四边形AEcD是

　　∴AD=cE，又AB=AD∴.

　　1.1平行四边形的性质

　　一、教学目标：

　　．理解平行四边形对称的特征，掌握平行四边形对角线互相的性质．

　　．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关，和证明．

　　．培养学生的论证能力和逻辑能力．

　　二、重点、难点

　　．重点：

平行四边形对角线互相的性质，以及性质的应用．

　　．难点：

综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

　　三．课堂引入

　　．复习提问：

　　的四边形是平行四边形？

四边形与平行四边形的关系是。

　　平行四边形的性质：

　　①具有一般四边形的性质．②角：

平行四边形的对角相等，邻角互补．

　　边：

平行四边形的对边相等．

　　．【探究】：

　　请学生在纸上画两个全等的ABcD和EFGH，并连接对角线Ac、BD和EG、，设它们分别交于点o．把这两个平行四边形落在一起，在点o处钉一个图钉，将ABcD绕点o旋转，观察它还和EFGH重合吗？

进一步，我们还能发现平行四边形的对角线有性质是

　　结论：

平行四边形是对称图形，两条对角线的交点是；

　　平行四边形的对角线互相．

　　用符号语言表示为：

如图在EFGH中EG、HF交与o点∴oH=,

　　Go=

　　四、例习题分析

　　例1　已知：

如图4－21，ABcD的对角线Ac、BD相交于点o，EF过点o与AB、cD分别相交于点E、F．

　　求证：

oE＝oF，AE=cF，BE=DF．

　　证明：

在ABcD中，AB∥cD，

　　∴∠1＝∠．∠3＝∠．又＝oc，

　　∴△AoE≌△coF∴oE＝oF，=cF．

　　∵ABcD，∴AB=．∴AB—AE=cD—cF．即BE=FD．

　　【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？

若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交，例1的结论是否成立，说明你的理由．

　　请你利用图来证明。

你想到的辅助线是。

可以利用对顶。

　　【证明】

　　例2已知四边形ABcD是平行四边形，AB＝10c，AD＝8c，Ac⊥Bc，求Bc、cD、Ac、oA的长以及ABcD的面积．

　　1.2平行四边形的判定

　　一、教学目标：

　　．在探索平行四边形的判定，理解并掌握用、角，对角线来判定平行四边形的方法．

　　．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来问题．

　　．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

　　二、重点、难点

　　．重点：

平行四边形的判定方法及应用．

　　．难点：

平行四边形的判定定理与定理的灵活应用．

　　三、课堂引入

　　．欣赏上面图片、提出问题．有个平行四边形？

你是怎样判断的？

　　让你画一个平行四边你会怎么画。

　　从中得到平行四边的判定方法：

文字语言表示为：

　　平行四边形判定方法1两组对边分别的四边形是平行四边形。

　　平行四边形判定方法2对角线互相的四边形是平行四边形。

　　平行四边形判定方法3两组对角的四边形是平行四边形

　　用符号语言表示：

如图：

∵AB＝，cB＝∴四边形ABcD是平行四边形

　　∵Ao=co,Bo=Do.∴四边形ABcD是平行四边形∵∠BAD=∠，∠ABc=∠

　　∴四边形ABcD是平行四边形.

　　五、例习题分析

　　例1已知：

如图ABcD的对角线Ac、BD交于点o，E、F是Ac上的两点，并且AE=cF．求证：

四边形BFDE是平行四边形．

　　分析:

欲证四边形BFDE是平行四边形可根据判定方法2来证明．

　　证明:

在ABcD中，Ao=co,Bo=Do,又∵E,F为Ao,co的中点

　　∴=,Bo=Do∴四边形BEDF是。

　　例2已知：

如图，A′B′∥BA，B′c′∥cB，c′A′∥Ac．

　　求证：

∠ABc＝∠B′，∠cAB＝∠A′，∠BcA＝∠c′；

　　△ABc的顶点分别是△B′c′A′各边的中点．

　　证明：

∵A′B′∥BA，c′B′∥Bc，

　　∴四边形ABcB′是形．

　　∴　∠ABc＝∠B′．

　　同理∠cAB＝∠A′，∠＝∠c′．

　　∵A′B′∥BA，c′B′∥Bc∴四边形ABcB′是平行四边形．同理，四边形ABA′c是平行四边形．

　　∴AB＝B′c，AB＝A′c．

　　∴＝A′c．同理B′A＝，A′B＝．

　　∴　△ABc的顶点A、B、c分别是△B′c′A′的边B′c′、c′A′、A′B′的中点．

　　例3）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？

并说说你的理由．

　　解：

有6个平行四边形，分别是，，，，，．

　　理由是：

因为正△ABo≌正△AoF，所以AB=，=FA

　　根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，

　　可知四边形是平行四边形．其它五个同理．

　　六、随堂练习

　　．如图，在四边形ABcD中，Ac、BD相交于点o，

　　若AD=8c，AB=4c，那么当Bc=____c，cD=____c时，

　　四边形ABcD为平行四边形；

　　若Ac=10c，BD=8c，那么当Ao=___c，Do=___c时，

　　四边形ABcD为平行四边形．

　　．已知：

如图，ABcD中，点E、F分别在cD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点o．求证：

Eo=oF．

　　【证明】：

　　七、课后练习

　　．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是．

　　对角线互相垂直对角线相等

　　对角线互相垂直且相等对角线互相平分

　　．已知：

如图，△ABc，BD平分∠ABc，DE∥Bc，EF∥Ac，

　　求证：

BE=cF

　　1.2平行四边形的判定

　　一、教学目标：

　　．掌握用一组对边平行且来判定平行四边形的方法．

　　．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来问题．

　　．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高问题的能力．

　　二、重点、难点

　　．重点：

平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．

　　．难点：

平行四边形的判定定理与性质定理的综合．

　　三、课堂引入

　　平行四边形的性质有个；2..平行四边形的判定方法有个我们看下面的判方法

　　【探究】取两根等长的木条AB、cD，将它们平行放置，再用两根木条Bc、AD加固，得到的四边形ABcD是平行四边形吗？

填是或者不是

　　结论：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

　　如图;∵AD=cB，且ABcD,∴四边形ABcD是。

　　四、例习题分析

　　例1）已知：

如图，ABcD中，E、F分别是AD、Bc的中点，

　　求证：

BE=DF．

　　分析：

证明BE=DF，可以证明两个三角形，也可以证明

　　四边形BEDF是四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．

　　证明：

∵四边形ABcD是平行四边形，

　　∴AD∥cB，AD=cB．

　　∵E、F分别是AD、Bc的点，

　　∴DE∥BF，且DE=AD，BF=．

　　∴DE=．

　　∴四边形BEDF是平行四边形．

　　∴BE=DF．

　　例2已知：

如图，ABcD中，E、F分别是Ac上两点，且BE⊥Ac于E，DF⊥Ac于F．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

　　分析：

由已知得BE⊥Ac于E，DFAc于F，所以BE∥DF．需再证明BE=，这需要证明△ABE与△cDF，

　　证明：

∵四边形ABcD是平行四边形，

　　∴ABcD，且AB∥cD．

　　∴∠BAE=∠DcF．

　　∵BE⊥Ac于E，DF⊥Ac于F，

　　∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFc=°．

　　∴△ABE≌△cDF．

　　∴BE=DF．又∵BE∥DF，

　　∴四边形BEDF是四边形．

　　五、课堂练习

　　．在下列给出的条件中，能判定四边形ABcD为平行四边形的是．

　　AB∥cD，AD=Bc∠A=∠B，∠c=∠D

　　AB=cD，AD=BcAB=AD，cB=cD

　　．已知：

如图，Ac∥ED，点B在Ac上，且AB=ED=Bc，

　　找出图中的平行四边形，并说明理由．

　　．已知：

如图，在ABcD中，

　　AE、cF分别是∠DAB、∠BcD的平分线．求证：

四边形AFcE是平行四边形．

　　六、课后练习

　　．判断题：

　　相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；

　　两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

　　一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

　　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

　　对角线相等的四边形是平行四边形；

　　对角线互相平分的四边形是平行四边形．

　　．延长△ABc的中线AD至E，使DE=AD．求证：

四边形ABEc是平行四边形．

　　1.2平行四边形的判定——三角形的中位线

　　一、教学目标：

　　．理解三角形中位线的，掌握它的性质．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的．

　　．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．

　　二、重点、难点

　　．重点：

掌握和运用形中位线的性质．2．难点：

三角形中位线性质的证明．三、课堂引入

　　创设情境实验：

请同学们思考：

将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？

　　图中有几个平行四边形？

。

　　你是如何判断的？

。

　　五、例习题分析

　　例1如图，点D、E、分别为△ABc边AB、Ac的中点，求证：

DE∥Bc且DE=Bc．

　　分析：

所证明的结论既有平行关系，又有关系，联想已学过的知

　　识，可以把要证明的内容转化到一个中，利用平行四边形的

　　对边平且的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这

　　就需要添加适当的线来构造平行四边形．

　　方法1：

如图，延长DE到F，使EF=DE，连接，由△ADE≌△，可得AD∥Fc，且AD=Fc，因此有BD∥Fc，BD=Fc，所以四边形BcFD是平行四边形．所以DF∥Bc，DF=Bc，因为DE=DF，所以DE∥Bc且DE=Bc．自己写清楚辅助线的做法

　　【证明】：

　　定义：

连接三角形两边点的线段叫做三角形的中位线．

　　想一想：

①一个三角形的中位线共有几条？

②三角形的中位线与中线有什么区别？

　　三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

　　三角形中位线的性质：

三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．符号语言表示为：

在△ABc中，AD=,AE=cE,∴DEBc且DE∥Bc。

　　例2已知：

如图，在四边形ABcD中，E、F、G、H分别是AB、Bc、cD、DA的中点．求证：

四边形EFGH是平行四边形．

　　证明：

连结Ac），△DAG中，∵AH=HD，cG=GD，

　　∴HG∥Ac，HG=Ac．

　　同理EF∥Ac，EF=Ac．∴HG∥EF，且HGEF．

　　∴四边形EFGH是平行四边形．

　　此题可得结论：

顺次连结四边形四条边的点，所得的四边形是四边形．

　　六、课堂练习

　　．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点c，

　　连结Ac和Bc，并分别找出Ac和Bc的中点、N，

　　如果测得N=20，那么A、B两点的距离是，

　　理由是．

　　．已知：

三角形的各边分别为8c、10c和12c，

　　求连结各边中点所成三角形的周长是．

　　．

　　七、课后练习

　　．一个三角形的周长是135c，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是c．

　　．已知：

如图，E、F、G、H分别是AB、Bc、cD、DA的中点．求证：

四边形EFGH是平行四边形．