高考数学二轮复习 专题8 排列组合与概率统计 教案 文Word文件下载.docx

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（8）独立重复试验与二项分布

　　①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：

（1）相同条件；

（2）多次重复；

（3）各次之间相互独立；

　　②．二项分布的概念：

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．

统计

（1）三种抽样方法

　　①简单随机抽样

　　简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：

放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．

　　简单随机抽样的特点：

被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．

　　实施抽样的方法：

抽签法：

方法简单，易于理解．随机数表法：

要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．

　　②系统抽样

　　系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．

　　系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．

　　系统抽样的操作步骤：

第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；

第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔，当（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，；

当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，这时；

第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号，再按事先确定的规则抽取样本．通常是将加上间隔k得到第2个编号，将加上k，得到第3个编号，这样继续下去，直到获取整个样本．

　　③分层抽样

　　当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；

在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．

　　分层抽样的过程可分为四步：

第一步，确定样本容量与总体个数的比；

第二步，计算出各层需抽取的个体数；

第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；

第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．

（2）用样本估计总体

　　样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．

　　①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：

求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．

　　②茎叶图刻画数据有两个优点：

一是所有的信息都可以从图中得到；

二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．

　　③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．

　　（3）两个变量之间的关系

　　变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：

如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器．

　　（4）求回归直线方程的步骤：

　　第一步：

先把数据制成表，从表中计算出；

　　第二步：

计算回归系数的a，b，公式为

　　第三步：

写出回归直线方程．

（4）独立性检验

①列联表：

列出的两个分类变量和，它们的取值分别为和的样本频数表称为列联表1

分类

1

2

总计

　　　　构造随机变量

（其中）

得到的观察值常与以下几个临界值加以比较：

　　　如果　，就有的把握因为两分类变量和是有关系；

如果　　就有的把握因为两分类变量和是有关系；

如果低于，就认为没有充分的证据说明变量和是有关系．

　　　②三维柱形图：

如果列联表1的三维柱形图如下图

　　　由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值

　较大，说明两分类变量和是有关的，否则的话是无关的．

重点：

一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。

　③二维条形图（相应于上面的三维柱形图而画）

　　　由深、浅染色的高可见两种情况下所占比例，由数据可知要比小得多，由于差距较大，因此，说明两分类变量和有关系的可能性较大，两个比值相差越大两分类变量和有关的可能性也越的．否则是无关系的．

通过图形以及所占比例直观地粗略地观察是否有关，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思想方法。

④等高条形图（相应于上面的条形图而画）

　由深、浅染色的高可见两种情况下的百分比；

另一方面，数据

要比小得多，因此，说明两分类变量和有关系的可能性较大，

图3

否则是无关系的．

直观地看出在两类分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况，是在图２的基础上换一个角度来理解。

【典型例题】

考点：

【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。

掌握古典概型和几何概型的概率求法。

【命题规律】

（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。

这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

例1、在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为。

解：

如图：

区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。

答案

点评：

本题考查几何概型，利用面积相比求概率。

例2某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，车上的乘客人数及频率如下表：

人数

0~6

7~12

13~18

19~24

25~30

31人以上

频率

0.1

0.15

0.25

0.20

（I）从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是多少？

（II）全线途经10个停靠点，若有2个以上（含2个）停靠点出发后，车上乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？

（Ⅰ）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为

0.1+0.15+0.25+0.2=0.7

1.（Ⅱ）从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为0.20+0.20+0.1=0.5

2.途经10个停靠点，没有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为

途经10个停靠点，只有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率

所以，途经10个停靠点，有2个以上（含2个）停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率

P=1－－C（）（1－）9=1－=

∴该线路需要增加班次。

答：

（Ⅰ）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.7

（Ⅱ）该线路需要增加班次

考点四：

【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤．会用三种抽样方法从总体中抽取样本．会用样本频率分布估计总体分布．会用样本数字特征估计总体数字特征．会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；

掌握独立性检验的步骤与方法。

例3

（1）（xx湖南卷文）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为.

答案120

解析设总体中的个体数为，则

（2）（xx四川卷文）设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。

黄金矩形常应用于工艺品设计中。

下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：

0.5980.6250.6280.5950.639

乙批次：

0.6180.6130.5920.6220.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是

A.甲批次的总体平均数与标准值更接近

B.乙批次的总体平均数与标准值更接近

C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

答案A

解析甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613

例4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生

产能耗Y（吨标准煤）的几组对照数据

3

4

5

6

y

2.5

4.5

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据

（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

（参考数值：

32．5+43+54+64．5=66.5）

（1）散点图略.

（2）,,,

由所提供的公式可得,故所求线性回归方程为10分

（3）

吨.

例5、为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图,如图.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项．

（Ⅰ）求等比数列的通项公式;

（Ⅱ）求等差数列的通项公式；

（Ⅲ）若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率的大小.

由题意知：

，

∵数列是等比数列，∴公比

∴.

∵=13,

∴

，

∵数列是等差数列，∴设数列公差为，则得，

　∴＝87，

，，

=

（或=）

答:

估计该校新生近视率为91%.

例6、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:

日期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日

昼夜温差x（°

C）

10

11

13

12

8

6

就诊人数y（个）

22

25

29

26

16

该兴趣小组确定的研究方案是:

先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

（5分）

（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程；

（6分）

（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

（3分）

（参考公式:

）

（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选

取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的

其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种

所以

（Ⅱ）由数据求得

由公式求得

再由

所以关于的线性回归方程为

（Ⅲ）当时,,；

同样,当时,,

所以,该小组所得线性回归方程是理想的.

模拟演练

3.已知事件“三位中国选手均进入亚运会体操决赛”，事件“三位中国选手均未进入亚运会体操决赛”，那么事件和是（　　）

Ａ．等可能性事件Ｂ．不互斥事件

Ｃ．互斥但不是对立事件Ｄ．对立事件

3．C提示：

根据两事件不能同时发生，且当一个不发生时不一定发生另一个，因此两事件

是互斥但不是对立事件.

4．若对于变量与的组统计数据的回归模型中，相关指数，又知残差平方和为，那么的值为（）。

A．B.C.D.

4.A提示：

根据表示总偏差平方和，得

.

5.①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次

抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；

②如果某种彩票的中奖概

率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖；

③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运

动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；

一个

骰子掷一次得到2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次2.其中不正确的说法是

（）

A①②③④B①②④C③④D③

5.A提示：

概率是一个随即性的规律，具有不确定性，因此①②④错误，而③抛掷均匀塑料

圆板出现正面与方面的概率相等，是公平的.因此均为不正确的说法.

6.若，则方程有实根的概率为（）

6．C提示：

若方程有实根，则有

.因为，根据几何概型“有实根的”概率为.

7.（专题七文科第7题）

8.下图是xx年渥太华冬奥会上，七位评委为某冰舞

运动员打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最低分和一

个最高分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）

A．，B．，

C．，D．，

8．D提示:

根据茎叶图，所剩数据为，因此

9．某高校调查询问了56名男女大学生，在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据.

从表中数据分析，

有以上的把握认为性别与是否参加运动有关；

在100个参加运动的大学生中有95个男生；

认为性别与是否参加运动有关出错的可能性小于；

在100个参加运动的大学生中有5个女生；

其中正确命题的个数为（）.

A．1B．2C．3D．4

9．B提示：

根据

，因此有95%以上的把握认为二者有关系，出错的可能性小于5%.

正确.

10.（（专题七文科第10题））

11.xx年3月“十一届全国人大三次会议及十一届全国政协三次会议”在北京隆重召开，

针对中国的中学教育现状，现场的2500名人大代表对其进行了综合评分，得到如下“频率

分布直方图”（如图），试根据频率分布直方图，估计平均分为（）.

ABCD

11．B提示：

找到每个矩形的中点和频率，从而利用平均数公式求解.要注意频率分布直方图中每个小矩形面积表示该段的频率.

12.（专题七文科第12题）

13．半径为10cm的圆周上有两只蚂蚁，它们分别从两个不同的点A、B出发，沿劣弧相向而行，速度分别为10mm/s与8mm/s，则这两只蚂蚁在5s内相遇的概率为.

13.提示：

5s内两只蚂蚁相遇时所行走的最大距离为mm，而两只蚂蚁初始时的最大距离为半个圆周，即mm，所以这两只蚂蚁在5s内相遇的概率为．

14．（（专题七文科第14题））

15.已知现有编号为①②③④⑤的5个图形,它们分别是两个直角边长为3、3的直角三角形；

两个边长为3的正方形；

一个半径为3的圆.则以这些图形中的三个图形为一个立体图形的三视图的概率为.

15.提示：

①②③；

②③④；

③④⑤可构成一个立体图形的三视图，而从这5个图形选取3个共有个基本事件，因此概率为.

16.随着经济的发展，电脑进入了越来越多的家庭，为了解电脑对生活的影响，就平均每天看电脑的时间，一个社会调查机构对某地居民调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层柚样方法抽出100人做进一步调查，则在（小时）时间段内应抽出的人数是.

16.提示：

根据频率分布直方图可得，在之间的人数为，根据分层抽样特点得在之间抽取的人数为.

17.输血是重要的抢救生命的措施之一，但是要注意同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．

黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：

血型

A

B

AB

O

该血型的人所占比/%

28

35

2010年4月14日玉树地震，小王不幸被建筑物压在下面，失血过多，需要输血，已知小王是B型血，问：

（1）任找一个人，其血可以输给小王的概率是多少？

（2）任找一个人，其血不能输给小王的概率是多少？

17.提示：

（1）对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为它们是互斥的．

由已知，有

．…………3分

因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件．

根据互斥事件的加法公式，有

……6分．

（2）由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件

，且

．…………10分

任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36．

………12分

18.某研究机构为了研究人的体重与身高之间的关系,随机抽测了20人,得到如下数据:

序号

3

4

5

7

9

身高x（厘米）

182

164

170

176

177

159

171

166

体重y（公斤）

76

60

61

77

58

62

78

57

14

15

17

18

19

20

169

178

167

174

168

179

165

162

74

68

63

59

75

64

73

（1）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；

“体重大于75（公斤）”的为“胖子”，“体重小于等于75（公斤）”的为“非胖子”.请根据上表数据完成下面的联列表:

高个

非高个

合计

胖子

非胖子

（2）根据题

（1）中表格的数据,若按99%的可靠性要求,能否认为体重与身高之间有关系?

18.解:

（1）

高个

合计

………4分

（2）假设两变量没有关系，依题题意

………8分

由表知:

认为体重与身高之间有关的可能性为………10分

所以有理由认为体重与身高之间有关系.………12分

19.为从甲乙两运动员中选拔一人，参加xx年广州亚运会体操项目，对甲、乙两运动员进行培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得出茎叶图如下：

（1）现要从中选拔一人参加亚运会，从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？

（2）从甲运动员预赛成绩中任取一次记为,从乙运动员预赛成绩中任取一次记为,求

的概率.

根据茎叶图，可得甲乙成绩如下：

甲817978959384

乙929580758385

…………1分

（1）派甲参赛比较合适.理由如下：

…………2分

，…………3分

…………5分

∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适.…………6分

（2）记“甲运动员预赛成绩,大于乙运动员预赛成绩”为事件A，…………7分

列表:

甲\乙

92

95

80