高中数学必修23第一章11第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx
《高中数学必修23第一章11第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修23第一章11第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高中数学必修23第一章11第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第一章 计数原理________
1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．问题导航
（1）什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？
（2）分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系？
2．例题导读
（1）例1、例2分别利用了分类加法计数原理与分步乘法计数原理，请试做教材P6练习1题．
（2）例3、例4表明分类加法计数原理、分步乘法计数原理的区别与应用，学会使用树形图分析题意，请试做教材P6练习2题．
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________m×n种不同的方法．
1．判断（对的打“√”，错的打“×”）
（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．（ ）
（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．（ ）
（3）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．（ ）
（4）在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）√ （4）√
2．从甲地到乙地有两类交通方式：
坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有（ ）
A．7种B．9种
C．10种D．12种
答案：
A
3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A．7B．12
C．64D．81
答案：
B
4．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．
答案：
120
两个计数原理的联系与区别
（1）联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的共同点是把一个原始的事件分解成若干个分事件来完成，它们都是关于做一件事的不同方法种数的问题．
（2）区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类”
完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
分类加法计数原理
高三
（一）班有学生50人，其中男生30人，女生20人；高三
（二）班有学生60人，其中男生30人，女生30人；高三（三）班有学生55人，其中男生35人，女生20人．
（1）从高三
（一）班、
（二）班或（三）班中任选一名学生担任校学生会主席，共有多少种不同的选法？
（2）从高三
（一）班、
（二）班男生中或高三（三）班女生中任选一名学生担任学生会体育部部长，共有多少种不同的选法？
[解]
（1）从三个班中任选一名学生，共有三类办法：
第一类办法，从高三
（一）班中任选一名学生，有50种不同的方法；
第二类办法，从高三
（二）班中任选一名学生，有60种不同的方法；
第三类办法，从高三（三）班中任选一名学生，有55种不同的方法．
由分类加法计数原理，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165种．
（2）共有三类办法：
第一类办法，从高三
（一）班男生中任选一名学生，有30种不同的方法；
第二类办法，从高三
（二）班男生中任选一名学生，有30种不同的方法；
第三类办法，从高三（三）班女生中任选一名学生，有20种不同的方法．
由分类加法计数原理，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80种．
用分类加法计数原理解题应注意以下问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事．
（2）分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉．
（3）若完成某件事情有n类办法，则它们两两的交集为空集，并集为全集．
1．
（1）某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（ ）
A．1种B．2种
C．3种D．4种
解析：
选C.分两类：
买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．
（2）从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
解：
分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
分步乘法计数原理
已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P（a，b）（a，b∈M）表示平面上的点，
问：
（1）点P可表示平面上多少个不同的点？
（2）点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？
[解]
（1）确定平面上的点P（a，b），可分两步完成：
第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同的点共有6×6＝36个．
（2）确定平面上第二象限内的点P（a，b），可分两步完成：
第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法．由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点共有3×2＝6个．
[互动探究] 在本例条件下，求P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
解：
点P（a，b）在直线y＝x上的充要条件是a＝b.
因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．
结合
（1）得，不在直线y＝x上的点共有36－6＝30个．
利用分步乘法计数原理应注意：
（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
（2）“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．
（3）若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．
扫一扫 进入91导学网（）
分步乘法计数原理
2．
（1）从6名学生中选取1名学生会主席，1名学习部长，有________种不同的选法．
解析：
分两步：
第1步学生会主席有6种选法；第2步学习部长有5种选法，故共有6×5＝30种不同的选法．
答案：
30
（2）某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？
解：
从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成：
第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的选法；
第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的选法；
第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的选法．
根据分步乘法计数原理，不同的选法共有10×8×12＝960种．
两个计数原理的综合应用
现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．
（1）若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？
（2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？
（3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？
[解]
（1）从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．
（2）从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63000种选法．
（3）①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2100种选法；②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1260种选法；③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1500种选法．故共有2100＋1260＋1500＝4860种选法．
两个计数原理解题的思路：
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．
（2）分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
（3）混合问题一般是先分类再分步．
3．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解：
（1）分为三步：
国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．
（2）分为三类：
第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．
易错警示
因分不清是分类还是分步而致误
某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和会日语的各一人，有多少种不同的选法？
[解] 依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，则6人只会英语，2人只会日语．
第一类：
从只会英语的6人中选一人，有6种方法，此时选一人会日语，有2＋1＝3种方法．
由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18种．
第二类：
从既会英语又会日语的人中选一人，有1种方法，此时选一人会日语，有2种方法．
由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2种．
综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20种．
[错因与防范]
（1）本题易忽视了既会英语，又会日语的人的双重性，当从7个会英语的人中选出的1人是既会英语又会日语的，他就不可以再参加会日语的选取，因此选会日语的人时，只有2种选法了．
（2）解答此类问题，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．
4．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有（ ）
A．12种B．7种
C．14种D．49种
解析：
选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，
第一步进体育场，第二步出体育场，
第一步进门有4＋3＝7种方法；
第二步出门也有4＋3＝7种方法，
由分步乘法计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．
1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（ ）
A．1＋1＋1＝3B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24D．以上都不对
解析：
选B.分三类：
第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．
2．已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为（ ）
A．8B．12
C．10D．9
解析：
选D.分两步：
第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值，有3种不同的取法；
第二步，在集合{－3，－4，8}中任取一个值，有3种不同取法．
故x·y可表示3×3＝9个不同的值．
3．从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．
解析：
产生分数可分两步：
第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数．产生真分数，可分四类：
第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3，5，7时，真分数的个数分别是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．
答案：
20 10
4．设椭圆的方程为
＋
＝1（a＞b＞0），a∈{1，2，3，4，5，6，7}，b∈{1，2，3，4，5}，这样的椭圆共有多少个？
解：
依题意按a，b的取值分为6类，
第一类：
a＝2，b＝1；
第二类：
a＝3，b＝1，2；
第三类：
a＝4，b＝1，2，3；
第四类：
a＝5，b＝1，2，3，4；
第五类：
a＝6，b＝1，2，3，4，5；
第六类：
a＝7，b＝1，2，3，4，5.
由分类加法计数原理得：
这样的椭圆共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20个．
[A.基础达标]
1．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要在甲盒或乙盒中摸1个球，则不同的方法有（ ）
A．3种 B．5种
C．8种D．15种
解析：
选C.分两类，在甲盒中摸球有3种，在乙盒中摸球有5种，则不同的方法有3＋5＝8种．
2．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有（ ）
A．24种B．16种
C．12种D．10种
解析：
选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.
3．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有（ ）
A．27种B．36种
C．54种D．81种
解析：
选C.小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法．
4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是（ ）
A．15B．12
C．5D．4
解析：
选A.利用分类加法计数原理．
当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6个．
当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5个．
当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4个．
据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．
5．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有（ ）
A．18条B．20条
C．25条D．10条
解析：
选A.第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．
6．三个车队分别有4辆、5辆、6辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．
解析：
不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类，①甲、乙各一辆共4×5＝20种；②甲、丙各一辆共4×6＝24种；③乙、丙各一辆共5×6＝30种，由分类加法计数原理知：
20＋24＋30＝74种．
答案：
74
7．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．
解析：
第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36个．
答案：
36
8．已知a∈{－1，2，3}，b∈{0，3，4，5}，r∈{1，2}，则（x－a）2＋（y－b）2＝r2表示的不同的圆共有________个．
解析：
圆的方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24.
答案：
24
9．有不同的红球8个，不同的白球7个．
（1）从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
（2）从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
解：
（1）由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．
（2）由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法．
10．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对（m，n），问：
（1）有多少个不同的数对？
（2）其中所取两数m＞n的数对有多少个？
解：
（1）∵集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对（m，n），先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．
（2）在
（1）中的25个数对中所取两数m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3，有2种结果；当m＝6时，n＝1，3，5，有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7，有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9，有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个不同的数对．
[B.能力提升]
1．设集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素个数是（ ）
A．7B．10
C．25D．52
解析：
选B.A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，x有2种取法，y有5种取法．由分步乘法计数原理得2×5＝10，故选B.
2．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）
A．14B．13
C．12D．10
解析：
选B.当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对（0，－1），（0，0），（0，1），（0，2）均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为（－1，－1），（－1，0），（－1，1），（－1，2），（1，－1），（1，0），（1，1），（2，－1），（2，0）．综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.
3．如图，从A→C有________种不同的走法．
解析：
分为两类，不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法．
答案：
6
4．在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．
解析：
由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数共有5×5×4×3＝300个，其中能被5整除的分为两类，末位是5的有4×4×3＝48个，末位是0的有5×4×3＝60个，故不能被5整除的有300－48－60＝192个．
答案：
192
5．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
解：
抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：
（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17400种结果．
（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400种结果．
因此共有不同结果17400＋11400＝28800（种）．
6．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则：
（1）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；
（2）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
解：
（1）a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数．
（2）y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数．
升级会员 