《椭圆》方程典型例题20例含标准答案解析.docx
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《椭圆》方程典型例题20例含标准答案解析
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《椭圆》方程典型例题20例
典型例题一
例1椭圆的一个顶点为A2，0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：
题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：
（1）当A2，0为长轴端点时，a
2，b
1，
椭圆的标准方程为：
x2y21；
41
（2）当A2，0为短轴端点时，b2，a4，
椭圆的标准方程为：
x2y21；
416
说明：
椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不
能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：
2c
a2
2
1
∴3c2
a2，
c
3
∴e
1
3．
3
3
说明：
求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求
a，求c，再求
比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．
典型例题三
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例3
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x
y10交于A、B两点，
M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为
2，求椭圆的方程．
解：
由题意，设椭圆方程为
x2
y2
1，
a2
x
y1
0
由x2
y
2
，得1a2x2
2a2x0，
a2
1
∴xM
x1
2
x21a2，yM
1xM
1
，
a2
1a2
kOM
yM
1
1，∴a2
4，
xM
a2
4
∴x2
y2
1为所求．
4
说明：
（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；
（2）直线与曲线的综合问
题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆
x2
y2
，B
9
与焦点F4，0
的
25
1上不同三点Ax1，y1
4，，Cx2，y2
9
5
距离成等差数列．
（1）求证x1x28；
（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．
证明：
（1）由椭圆方程知a
5，b
3，c
4．
由圆锥曲线的统一定义知：
AF
c，
a2
a
x1
c
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∴
AF
a
ex1
5
4
x1．
5
同理
CF
5
4
x2．
5
9，
∵
AF
CF
2BF，且BF
5
∴5
4x1
5
4x2
18，
5
5
5
即
x1
x2
8
．
（2）因为线段
AC的中点为
y1
y2
，所以它的垂直平分线方程为
4，
2
y
y1
y2
x1
x2x
4．
2
y1
y2
又∵点T在x轴上，设其坐标为
x，
00，代入上式，得
x0
4
y12
y22
2x1
x2
又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，
∴y12925x1225
y22
925
x22
25
9x1x2x1x2．
∴y12
y22
25
将此式代入①，并利用x1x28的结论得
x04
36
25
9
0
5
∴
5
．
kBT
x04
4
典型例题五
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例5已知椭圆x2
y2
1，F1
、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点
M，使M
4
3
到左准线l的距离MN是MF1
与MF2的等比中项？
若存在，则求出点
M的坐
标；若不存在，请说明理由．
解：
假设M存在，设Mx1，y1，由已知条
件得
a2，b
3，∴c
1，e
1．
2
∵左准线l的方程是x
4，
∴MN
4x1．
又由焦半径公式知：
1
MF1aex12x1，
1
MF2aex12x1．
2
MF1
MF2，
∵MN
∴x14
2
2
1x1
2
1x1．
2
2
整理得5
x12
32
x1
48
0
．
解之得x1
4或x1
12．
①
5
另一方面
2
x1
2．
②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．
说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，
根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
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（3）本例也可设M2cos，3sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
例6已知椭圆
x2
y
2
1
，求过点P
1
1
且被P平分的弦所在的直线方程．
2
2
，
2
分析一：
已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为
k，利用条件求k．
解法一：
设所求直线的斜率为k，则直线方程为y
1
kx
1．代入椭圆
2
2
方程，并整理得
12k2x2
2k2
2kx1k2
k
3
0．
2
2
由韦达定理得x1
x2
2k2
22
k．
1
2k
∵P是弦中点，∴x1
x2
1
．故得k
1．
2
所以所求直线方程为
2x
4y
3
0
．
分析二：
设弦两端坐标为
x1，y1
、x2，y2，列关于x1、x2、y1、y2的方程
组，从而求斜率：
y1
y2
．
x1
x2
解法二：
设过P
1
1
的直线与椭圆交于Ax1，y1
、Bx2，y2
，则由题意得
2
，
2
x12
y12
1，
①
2
x22
y22
1，
②
2
x21，
x1
③
y1
y2
1.
④
①－②得x12
x22
y12
y22
0．
⑤
2
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将③、④代入⑤得y1
y2
1，即直线的斜率为
1．
x1
x2
2
2
所求直线方程为2x4y30．
说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：
过定点且被定点平分的弦；平
行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代
斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：
“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的
2倍，且过点
2，6；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为
6．
分析：
当方程有两种形式时，应分别求解，如（
1）题中由x2
y2
1
求出
a2
b2
a2
148，b2
37，在得方程x2
y2
1后，不能依此写出另一方程
y2
x2
1．
148
37
148
37
2
2
2
2
解：
（1）设椭圆的标准方程为x2
y2
1或y2
x
21．
a
b
a
b
由已知a
2b．
①
又过点
2，6
，因此有
22
6
2
62
22
1．
②
a2
b2
1
或
b2
a2
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由①、②，得a2
148
，b2
37或a2
52，b2
13．故所求的方程为
x2
y2
1或y2
x2
1．
148
37
52
13
（2）设方程为x2
y2
1．由已知，c3，b
c3，所以a2
18．故所
a2
b2
求方程为x2
y2
1．
18
9
说明：
根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于
焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程
x2
y2
1或
y2
x2
a
2
b
2
a
2
b
21．
典型例题八
例8椭圆x2
y2
1的右焦点为F，过点A1，3
，点M在椭圆上，当
16
12
AM
2MF为最小值时，求点M的坐标．
分析：
本题的关键是求出离心率e
1，把2MF转化为M到右准线的距离，
1
2
从而得最小值．一般地，求
AMMF均可用此法．
e
1，右准线
解：
由已知：
a
4，c
2．所以e
2
l：
x
8．
过A作AQ
l，垂足为Q，交椭圆于M，故
MQ
2MF．显然AM
2MF的最小值为AQ，
即M为所求点，因此yM
3，且M在椭圆上．故
xM
23．所以M2
3，3．
说明：
本题关键在于未知式AM2MF中的“2”的处理．事实上，如图，
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e1，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆
2
上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
例9求椭圆x2
y2
1上的点到直线xy6
0的距离的最小值．
3
分析：
先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求
出距离的最小值．
解：
椭圆的参数方程为
x
3cos，
3cos，sin
，
y
sin.
设椭圆上的点的坐标为
则点到直线的距离为
3cossin6
2sin
6
3
．
d
2
2
当sin1时，d最小值22．
3
说明：
当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e
3
3
2
，已知点P0，
2
到这个椭圆上的点的最远距离是
7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点
P的
距离等于7的点的坐标．
分析：
本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求
d的最大值时，要注意讨论b的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用
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椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问
题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
解法一：
设所求椭圆的直角坐标方程是
x2
y2
1
，其中ab
0待定．
a2
b2
由e
2
c2
a2
b2
b2
可得
a
2
a
2
1
a
2
b
1e2
1
31，即a2b．
a
4
2
设椭圆上的点x，y到点P的距离是d，则
3
2
y2
9
d
2
x
2
y
a
2
1
y
2
3y
2
b2
4
9
1
2
4b2
3y2
3y
3y
b2
3
4
2
4
其中
b
y
b．
如果b
1，则当y
b时，d2（从而d）有最大值．
2
2
3
2
3
1，与b
1矛盾．
由题设得
b
，由此得b
7
7
2
2
2
2
因此必有b
1成立，于是当y
1时，d2（从而d）有最大值．
2
2
2
4b2
3，可得b
1，a
2．
由题设得
7
∴所求椭圆方程是x2
y2
1
．
4
1
由y
1及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点
3，1
，点
3，1
到
2
2
2
3
的距离是
7．
点P0，
2
xacos
解法二：
根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中ab0，
ybsin
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待定，0
2
，
为参数．
c2
a2
b2
b
2
2
可得
由e
a2
a2
1
a
b
1e2
1
3
1，即a2b．
a
4
2
设椭圆上的点x，y
3
的距离为d，则
到点P0，
2
2
2
d2
x2
y
3
a2cos2
bsin
3
2
2
4b2
3b2sin2
3bsin
9
4
1
2
3b2
sin
4b2
3
2b
如果1
1，即b
1，则当sin
1时，d2（从而d）有最大值．
2b
2
2
3
2
3
1，与b
1矛盾，因此必有
由题设得
b
，由此得b
7
7
2
2
2
2
1
1成立．
2b
1时d2（从而d）有最大值．
于是当sin
2b
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