高一数学《向量数乘运算及其几何意义》教学设计.docx

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高一数学《向量数乘运算及其几何意义》教学设计

2019年高一数学《向量数乘运算及其几何意义》教学设计

备课组长

李梅仙

中心发言人

李枝升

年级

周次

七

备课日期

5.2

备课题目

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

第几课时

1、2

学科长签名

思考题3：

、是两个不共线的向量,已知=2+3，=6+23,=4-8,求证：

A、B、D三点共线。

三、教学问题诊断分析

1．学生在理解实数与向量积的定义时可能会出现障碍，主要是学生在此之前研究的都是数与数的积，并习惯了两个数的积只有大小没有方向，从而把它们混为一谈。

要克服这一困难，关键是让学生知道实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的推广，但要注意它们的区别。

启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般。

2．学生在掌握实数与向量的积的运算律时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为实数与向量的积的运算律与数与数的积的运算律是一样的，每个等式的证明只证明等式两边的模相等。

针对这一问题，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别是数与向量的积运算结果是一个向量，而数与数的积的运算结果是一个数。

从而掌握实数与向量的积及其应用。

3．学生在理解两个向量共线的充要条件时，还可能会出现障碍，主要原因是学生在前面学了0与任意向量共线，而这里是非零向量a，a是否可以为零向量产生困惑。

针对这一问题，应特别提出如果b＝a=0，数仍然存在，此时并不唯一，是任意实数。

四、教学过程设计

1、创设情境，导入新课

问题1.向量的加法是如何定义的？

求两个向量和的方法有那些？

问题2.向量的加法满足那些运算律？

它们可表示为？

问题3.向量的减法是如何定义的？

差向量的意义是什么？

问题4.什么是相等向量?

2、讲解新课

问题5.在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，相同向量的求和运算也有类似的简便计算吗？

问题6.若为实数，a是向量，则a是向量还是数量？

已知非零向量a，我们作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）.

由图可知，＝＋＋＝a＋a＋a，我们把a＋a＋a记作3a，即＝3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即｜3a｜＝3｜a｜.

同样，由图可知，＝＋＋＝（－a）＋（－a）＋（－a），我们把（－a）＋（－a）＋（－a）记作－3a，即＝－3a，显然－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍，即｜－3a｜＝3｜a｜.

上述过程推广后即为实数与向量的积.

实数与向量的积的概念：

一般地,实数与向量a的积是一个向量，记作a，其长度和方向规定如下：

（1）｜a｜＝｜｜｜a｜；

（2）当＞0时，a与a同向；

当＜0时，a与a反向；当＝0时，a＝0.

问题7.实数与向量可以求积，那能不能进行加减运算呢？

如：

+a，-a有意义吗？

问题8.数与数的积满足那些运算律呢？

实数与向量的积也满足这些运算律吗？

实数与向量的积的运算律：

（1）（μa）＝（μ）a；

（2）（＋μ）a＝a＋μa；（3）（a＋b）＝a＋b

说明：

对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.

例5.计算：

（1）（-3）×4a;

（2）3（a+b）-2（a-b）-a;（3）（2a+3b-c）-（3a-2b+c）

向量共线的充要条件：

问题9.什么是共线向量?

若有向量a（a≠0）、b，实数λ，使b=λa，则a与b为共线向量。

若与共线（a≠0）且|b|：

|a|=μ，则当a与b同向时b=μa；当a与b反向时b=-μa。

因此，我们得到下面定理。

定理：

向量b与非零向量a共线的充要条件是：

有且只有一个实数λ，使b=λa。

问题10.在上面定理中，能不能把“非零向量”的“非零”去掉后？

原充要条件是否正确？

P89例6：

问题10：

如何用向量方法证明三点共线？

P89例7：

目标检测

1、点C在线段AB上，且,则,.

2、把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：

（1），；

（2），（3），；（4），

3、判断下列各小题中的向量与是否共线：

（1），；

（2），（3），

5、下列说法正确的是（）

（A）a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

（B）a与b共线，b与c不共线，则a与c不共线；

（C）a与b不共线，b与c不共线，则a与c不共线.

配餐作业

一、基础题（A组题）（估计完成时间20分钟）

1．化简：

（1）；

（2）

。

2．已知3（-）+2（+2）-4（+-）=,则=．

3．已知，方向相同，且｜｜=3,=7,｜2-｜=．

4.判断向量a＝－5e与b＝5e是否共线?

二、巩固题（B组题）（估计完成时间10分钟）

5.向量e1、e2不共线,（ke1+e2）与（e1+ke2）共线，则k＝.

6.已知＝，＝λ，求λ的值。

7.如图，已知试判断是否共线并证明.

三、提高题（C组题）（估计完成时间8分钟）

8.已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：

AE∥CF.（用向量证明）

2019年高一数学《平面向量数量积的坐标表示》教学设计

一、内容及其解析

1、内容：

平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个向量的垂直关系。

2、解析：

平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算,这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。

本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。

由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。

把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。

所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。

二、目标及解析

1、目标

1）、掌握平面向量数量积的坐标表示2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题3）、掌握向量垂直的条件

2、解析：

1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积；2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题.3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。

（注意:

垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0,共线的坐标表示x1y2－x2y1=0）

三、教学问题诊断

本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。

本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。

四、教学设计过程

（一）、教学基本流程

→　→→→

（二）情景创设

平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？

设计意图：

设置情境，引出课题，设下问题悬念，引发学生认知冲突，引起注意，唤起学生追求探索新知识的欲望.

问题1：

①设单位向量分别与平面直角坐标系中的轴、轴方向相同，O为坐标原点，若向量，则向量的坐标是，若向量，则向量可用表示为；

②已知，，且，，则；

设计意图：

由旧知识入手，引导学生复习已学知识，以便向新知识进行探索。

（三）新课讲授

1、平面向量数量积的坐标表示

问题2：

已知两个非零向量，，怎样用与的坐标来表示呢？

（让学生自主推导）

设计意图：

先让学生自主推导平面向量数量积的坐标表示形式，让学生能快速将所学的向量的坐标表示知识用到刚学的向量的数量积的问题上，体会知识的形成过程。

设向量分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量，则有

，

∴

x1x2i2＋（x1y2＋x2y1）i·j＋y1y1j2

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

练习：

①若，则，　　；

②若表示向量的起点和终点的坐标分别为和，则；

③若，，则　　　，与的夹角是　　　；

设计意图：

学生通过做练习，及时巩固所学新知识，加深理解。

2、学生活动

问题3：

设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，则

①②③④

设计意图：

巩固向量数量积的概念，并为下面的问题做铺垫.

问题4：

向量的数量积的性质如何用坐标表示？

（1），则怎么表示？

（2）若则又如何表示？

（1）

（2）

问题5：

你能写出向量夹角公式的坐标表示式以及向量平行和垂直的坐标表示式吗？

（1）

（2）

（3）

设计意图：

仍然在帮助学生回忆有关知识点的过程中，引导他们用坐标的形式表示，通过两向量的两种特殊位置关系，体会向量的坐标表示，感受向量的数量积的作用。

并帮助学生记住这些结论。

4、例题解析

例1．已知，，求，，，与的夹角。

可以接着问：

的夹角怎么求？

设计意图：

先让学生尝试解答，体会自主应用新知识解决问题的过程，然后给出详细解答。

例2．已知，，，试判断的形状，并给出证明.

设计意图：

先让学生画出简图，直观感知三角形的形状，然后引导学生分析解答.注重培养学生由观察——猜测——证明的思维方法.

例题引伸：

在直角中，，，求实数的值；

③若，则

而

∴

∴

解：

①若，则

∴

∴

②若，则

而

∴

∴

5、小结通过本节学习，平面向量数量积的坐标表达式、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式、并用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。

目标检测

1.若，则；

2.若，且，则实数；

3.若，则的形状是；

4.若，则在方向上的投影是；

5.若，则与垂直的单位向量的坐标是；

设计意图：

充分做到以本为本，根据学情，能让学生把握公式特点，能利用公式进行计算。

配餐作业

一基础题（A组题）

1.在已知a=（x，y），b=（－y，x），则a，b之间的关系为（）

A.平行B.不平行不垂直C.a⊥bD.以上均不对

2.若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,且a⊥b,坐标满足条件（）

A.x1x2-y1y2=0B.x1y1-x2y2=0C.x1x2+y1y2=0D.x1y2+x2y1=0

3.a=（2,3）,b=（-2,4）,则（a+b）·（a-b）=.

4.已知A（1，0），B（3，1），C（2，0），且a=,b=,则a与b的夹角为。

设计意图：

在目标检测的基础上进一步巩固所学公式，达到夯实基础的目的。

二巩固题（B组题）

5.给定两个向量a=（3,4）,b=（2,-1）且（a+xb）⊥（a-b）,则x等于（）

A.23B.C.D.

6.已知a=（λ，２），b=（-3,5）且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）

A.λ＞B.λ≥C.λ＜D.λ≤

7.已知a=（4,3）,向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）

A.或B.或C.或D.或

8.已知a=（－2,3）,b=（3,2），求：

a·b、（a+b）·（a－b）、（a+b）2、a（a+b）、b（a+b）

9.证明：

以A（-2,-3）,B（19,4）,C（-1,-6）为顶点的三角形是直角三角形。

设计意图：

使学生熟悉公式的变形，对所学知识有一个完整的印象，使知识系统化、条理化。

三提高题（C组题）

10.已知A（1,2）､B（4,0）､C（8,6）､D（5,8）,则对四边形ABCD描述最准确的是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

11.计算：

已知｜a｜=3，｜b｜=2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a+5b与ma－3b互相垂直？

12.在△ABC中，＝（1，1），＝（2，k），若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值。

设计意图：

本部分是对基础知识的提升，先放手给学生自主探索，教师可做适当提示，培养学生应用解决问题的能力。