全国2012年10月自考概率论与数理统计(经管类)试题解析Word文档格式.doc
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【解析】由课本p68，定义3－6：
设D为平面上的有界区域，其面积为S且S>
0.如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为
，
则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布.
本题x2+y2≤1为圆心在原点、半径为1的圆，包括边界，属于有界区域，其面积S=π，
故选择D.
【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：
均匀分布和正态分布，注意它们的定义。
若（X,Y）服从二维正态分布，表示为（X,Y）～.
4.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E（2X－1）=
A.0B.1
C.3D.4
【答案】A
【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布，即λ=2，所以；
又根据数学期望的性质有E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，
故选择A.
【提示】1.常用的六种分布
（1）常用离散型随机变量的分布：
X
1
概率
q
p
A.两点分布
①分布列
②数学期望：
E（X）=P
③方差：
D（X）=pq。
B.二项分布：
X～B（n,p）
①分布列：
，k=0，1，2，…，n；
E（X）=np
D（X）=npq
C.泊松分布：
X～P（λ）
，k=0，1，2，…
E（X）=λ
D（X）＝λ
（2）常用连续型随机变量的分布
A.均匀分布：
X～U[a,b]
①密度函数：
②分布函数：
，
③数学期望：
E（X）＝,
④方差：
D（X）＝.
Ｂ.指数分布：
X～E（λ）
C.正态分布
（A）正态分布：
X～N（μ,σ2）
，－∞<
x<
＋∞
E（X）＝μ,④方差：
D（X）＝σ2，
⑤标准化代换：
若X～N（μ,σ2），，则Y～N（0,1）.
（B）标准正态分布：
X～N（0,1）
E（X）＝0,
D（X）＝1.
2.数学期望的性质
①E（c）=c，c为常数；
②E（aX）=aE（X），a为常数；
③E（X+b）=E（X）+b，b为常数；
④E（aX+b）=aE（X）+b，a，b为常数。
5.设二维随机变量（X，Y）的分布律
则D（3X）=
A. B.2
C.4 D.6
【解析】由已知的分布律，X的边缘分布律为
2
P
2/3
1/3
则，；
根据方差的性质有D（3X）=9D（X）=2，故选择B.
【提示】
（1）离散型随机变量的方差：
定义式:
；
计算式：
D（X）=E（X）2-[E（X）]2
（2）方差的性质
①D（c=0），c为常数；
②D（aX）=a2D（X），a为常数；
③D（X）+b）=D（X），b为常数；
④D（aX+b）=a2D（X），a，b为常数。
6.设X1，X2，…，Xn…为相互独立同分布的随机变量序列，且E（X1）=0，D（X1）=1，则
A.0 B.0.25
C.0.5 D.1
【解析】不等式等价于不等式，
由独立同分布序列的中心极限定理，
代入μ=0，σ=1，则
故选择C.
【提示】独立同分布序列的中心极限定理：
（课本P120，定理5－4）：
设X1，X2，…，Xn，…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i＝1，2，…）.记随机变量
的分布函数为Fn（x），则对于任意实数x，有
＝，
其中φ（x）为标准正态分布的分布函数。
应用：
不论X1，X2，…，Xn，…服从什么分布，当n充分大时，
（1）近似服从正态分布；
（2）近似服从正态分布，其中，D（Xi）=σ2（i＝1，2，…）。
（2）对于大数定律与中心极限定理，除了清楚条件和结论外，更重要的是理解它们所回答的问题，以及在实际中的应用。
（课本P118，看书讲解）
7.设x1,x2，…，xn为来自总体N（μ，σ2）的样本，μ，σ2是未知参数，则下列样本函数为统计量的是
A. B.
C. D.
【解析】根据统计量定义，选择D。
【提示】课本p132，定义6－1：
设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本，若样本函数
T=T（x1,x2,…,xn）
中包含任何未知参数，则称T为统计量.
8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是
A.置信度越大，置信区间越长B.置信度越大，置信区间越短
C.置信度越小，置信区间越长D.置信度大小与置信区间长度无关
【解析】选项A，B，C不正确，只能选择D。
【提示】置信区间长度的增大或减小不仅与置信度有关，还与样本容量有关，其中的规律是：
在样本容量固定的情况下，置信度增大，置信区间长度增大，区间估计的精度降低；
置信度减小，置信区间长度减小，区间估计的精度提高。
9.在假设检验中，H0为原假设，H1为备择假设，则第一类错误是
A.H1成立，拒绝H0 B.H0成立，拒绝H0
C.H1成立，拒绝H1 D.H0成立，拒绝H1
【解析】假设检验中可能犯的错误为：
第一类错误，也称“拒真错误”；
第二类错误，也称“取伪错误”。
无论“拒真”还是“取伪”，均是针对原假设而言的。
故选择B。
（1）假设检验全称为“显著性水平为α的显著性检验”，其显著性水平α为犯第一类错误的概率；
而对于犯第二类错误的概率β没有给出求法；
（2）当样本容量固定时，减小犯第一类错误的概率α，就会增大犯第二类错误的概率β；
如果同时减小犯两类错误的概率，只有增加样本容量。
10.设一元线性回归模型：
且各εi相互独立.依据样本（xi,yi）（i=1,2,…,n）得到一元线性回归方程，由此得xi对应的回归值为，yi的平均值，则回归平方和S回为
A. B.
C. D.
【解析】根据回归平方和的定义，选择C。
【提示】1.根据回归方程的的求法，任何一组样本观察值都可以得到一个回归方程；
2.在回归方程的显著性检验的F检验法（课本p188）中，要检验所求回归方程是否有意义，必须分析yi随xi变化而产生的偏离回归直线的波动的原因。
为此，选择了一个不变值――yi的平均值为基准，总偏差为
＝
此式称为平方和分解式。
可知，S回反映了观察值yi受到随机因素影响而产生的波动，S回反映了观察值yi偏离回归直线的程度。
所以，若回归方程有意义，则S回尽可能大，S剩尽可能小。
非选择题部分
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
11.设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为0.8，0.5，则甲、乙两人同时击中目标的概率为_____________.
【答案】0.4
【解析】设A，B分别表示甲、乙两人击中目标的两事件，已知A，B相互独立，则
P（AB）=P（A）P（B）=0.8×
0.5＝0.4
故填写0.4.
【提示】二事件的关系
（1）包含关系：
如果事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；
对任何事件C，都有，且0≤P（C）≤1；
（2）相等关系：
若且，则事件A与B相等，记做A＝B，且P（A）=P（B）；
（3）互不相容关系：
若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B=Ф，且P（AB）=0；
（4）对立事件：
称事件“A不发生”为事件A的对立事件或逆事件，记做；
满足且.
显然：
①；
②，.
（5）二事件的相互独立性：
若P（AB）=P（A）P（B）,则称事件A,B相互独立；
性质1：
四对事件A、B，、A，A、，、其一相互独立，则其余三对也相互独立；
性质2：
若A,B相互独立，且P（A）>
0,则P（B|A）=P（B）.
12.设A，B为两事件，且P（A）=P（B）=，P（A|B）=，则P（|）=_____________.
【答案】
【解析】，由1题提示有，
所以
所以，
故填写.
【提示】条件概率：
事件B（P（B）>
0）发生的条件下事件A发生的概率；
乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）。
13.已知事件A，B满足P（AB）=P（），若P（A）=0.2，则P（B）=_____________.
【答案】0.8
【解析】，
所以P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填写0.8.
【提示】本题给出一个结论：
若，则有.
3
4
5
2a
0.1
0.3
a
14.设随机变量X的分布律则a=__________.
【答案】0.1
【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3，
所以a=0.1，故填写0.1.
【提示】离散型随机变量分布律的性质：
设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k＝1，2，3，…，
（1）pk≥0，k＝1，2，3，…；
（2）；
（3）.
15.设随机变量X～N（1，22），则P{-1≤X≤3}=_____________.（附：
Ф
（1）=0.8413）
【答案】0.6826
【解析】
＝Ф
（1）-Ф（-1）=2Ф
（1）-1=2×
0.8413-1=0.6826
【提示】注意：
正态分布标准化代换为必考内容.
16.设随机变量X服从区间[2，θ]上的均匀分布，且概率密度f（x）=
则θ=______________.
【答案】6
【解析】根据均匀分布的定义，θ-2=4，所以θ=6，故填写6.
17.设二维随机变量（X，Y）的分布律
0.15
0.25
0.2
则P{X=Y}=____________.
【解析】P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=0.1+0.2+0.1=0.4
18.设二维随机变量（X，Y）～N（0，0，1，4，0），则X的概率密度fX（x）=___________.
【答案】，-∞<
+∞
【解析】根据二维正态分布的定义及已知条件，相关系数p=0，即X与Y不相关，而X与Y不相关的充要条件是X与Y相互独立，则有f（x,y）=fx（x）fy（y）；
又已知（X,Y）～N（0,0,1,4,0），所以X～N（0,1），Y～N（0,4）。
因此，，.
故填写，
【提示】本题根据课本p76，【例3－18】改编.
19.设随机变量X～U（-1，3），则D（2X-3）=_________.
【解析】因为X～U（-1，3），所以，根据方差的性质得
【提示】见5题【提示】。
20.设二维随机变量（X，Y）的分布律
-1
则E（X2+Y2）=__________.
【答案】2
【解析】＝[（-1）2+（-1）2]×
0.25+[（-1）2+12]×
0.25+[12+（-1）2]×
0.25+（12+12）×
0.25=2
故填写2.
【提示】二维随机变量函数的期望（课本p92，定理4－4）：
设g（X,Y）为连续函数，对于二维随机变量（X,Y）的函数g（X,Y），
（1）若（X,Y）为离散型随机变量，级数收敛，则
；
（2）若（X,Y）为连续型随机变量，积分收敛，则
.
21.设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为事件A的概率，则对任意正数ε，有=____________.
【答案】1
【解析】根据贝努利大数定律得＝1，故填写1.
【提示】1.贝努利大数定律（课本p118，定理5－2）：
设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为事件A的概率，则对任意正数ε，有＝1；
2.认真理解贝努利大数定律的意义.
22.设x1，x2，…，xn是来自总体P（λ）的样本，是样本均值，则D（）=___________.
【解析】已知总体X～P（λ），所以D（X）=λ，由样本均值的抽样分布有
【提示】样本均值的抽样分布：
定理6－1（课本p134）设x1，x2，…，xn是来自某个总体X的样本，是样本均值，
（1）若总体分布为N（μ,σ2），则的精确分布为；
（2）若总体X分布未知（或不是正态分布），但E（X）=μ，D（X）=σ2，则当样本容量n充分大时，的近似分布为.
23.设x1，x2，…，xn是来自总体B（20，p）的样本，则p的矩估计=__________.
【解析】因为总体X～B（20,p），所以E（X）=μ=20p，而矩估计，
所以p的矩估计＝，故填写。
【提示】点估计的常用方法
（1）矩法（数字特征法）：
A.基本思想：
①用样本矩作为总体矩的估计值；
②用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值。
B.估计方法：
同A。
（2）极大似然估计法
把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估计值。
B.定义：
设总体的概率函数为p（x;
θ），θ∈⊙，其中θ为未知参数或未知参数向量，为θ可能取值的空间，x1,x2,…,xn是来自该总体的一个样本，函数称为样本的似然函数；
若某统计量满足，则称为θ的极大似然估计。
C.估计方法
①利用偏导数求极大值
i）对似然函数求对数
ii）对θ求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组
iii）解方程或方程组得即为θ的极大似然估计。
②对于似然方程（组）无解时，利用定义：
见教材p150例7－10；
③理论根据：
若是θ的极大似然估计，则即为g（θ）的极大似然估计。
方法：
用矩法或极大似然估计方法得到g（θ）的估计，求出。
24.设总体服从正态分布N（μ，1），从中抽取容量为16的样本，ua是标准正态分布的上侧α分位数，则μ的置信度为0.96的置信区间长度是_________.
【解析】1-α=0.96，α=0.04，所以μ的置信度为0.96的置信区间长度是
【提示】1.本题类型（单正态总体，方差已知，期望的估计）的置信区间为
。
2.记忆课本p162，表7－1，正态总体参数估计的区间估计表。
25.设总体X～N（μ，σ2），且σ2未知，x1，x2，…，xn为来自总体的样本，和分别是样本均值和样本方差，则检验假设H0:
μ=μ0;
H1:
μ≠μ0采用的统计量表达式为_________.
【提示】1.本题类型（单正态总体，方差未知，对均值的假设检验）使用t检验，统计量为
2.记忆课本p181，表8－4，各种假设检验（检验水平为a）表。
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26.一批零件由两台车床同时加工，第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06.
（1）求任取一个零件是合格品的概率；
（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率.
【分析】本题考查全概公式和贝叶斯公式。
【解析】设A1、A2分别表示“第一、第二台车床加工的零件”的事件，B表示“合格品”，
由已知有
，，，，
（1）根据条件概率的意义，有
，，
所以P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝。
（2）。
【提示】全概公式和贝叶斯公式：
（1）全概公式：
如果事件A1,A2,…,An满足①A1,A2,…,An互不相容且
P（Ai）>
0（1,2,…,n）；
②A1∪A2∪…∪An=Ω，
则对于Ω内的任意事件B，都有；
（2）贝叶斯公式：
条件同A，则，
I=1,2,…,n。
（3）上述事件A1,A2,…,An构成空间Ω的一个划分，在具体题目中，“划分”可能需要根据题目的实际意义来选择。
27.已知二维随机变量（X，Y）的分布律
求：
（1）X和Y的分布律；
（2）Cov（X，Y）.
【分析】本题考查离散型二维随机变量的边缘分布及协方差。
（1）根据二维随机变量（X,Y）的联合分布律，有
X的边缘分布律为
0.6
0.4
Y的边缘分布律为
Y
－1
0.5
（2）由
（1）有
E（X）=0×
0.6+1×
0.4=0.4，
E（Y）=（-1）×
0.4+0×
0.5+1×
0.1=-0.3
又
+1×
（-1）×
0.1+1×
0×
0.3+1×
1×
0=-0.1所以cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=-0.1-0.4×
（-0.3）=0.02。
【提示】协方差：
A）定义：
称E（X-E（X））（Y=E（Y））为随机变量X与Y的协方差。
记做
Cov（X,Y）.
B）协方差的计算
①离散型二维随机变量：
；
②连续性二维随机变量：
③协方差计算公式：
cov（X,Y）=E（XY）-E（X）（Y）；
④特例：
cov（X,Y）=D（X）.
C）协方差的性质：
①Cov（X,Y）＝Cov（Y,X）；
②Cov（aX,bY）＝abCov（X,Y），其中a，b为任意常数；
③Cov（X1+X2,Y）＝Cov（X1,Y）＋Cov（X2,Y）；
④若X与Y相互独立，Cov（X,Y）＝0，协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件，而不是充分必要条件；
⑤；
⑥
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布N（75，σ2），已知85分以上的考生数占考生总数的5%，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.
【分析】本题计算过程可按服从正态分布进行。
【解析】设考生的数学成绩为随机变量X，已知X～N（75,σ2），且
其中Z～N[0,1]。
＝。
因此，考生成绩在65分至85分之间的概率约为0.9.
29.设随机变量X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立.
（1）X及Y的概率密度；
（2）（X，Y）的概率密度；
（3）P{X>
Y}.
【分析】本题考查两种分布，相互独立的随机变量的性质及二维随机变量概率的计算。
【解析】由已知X～U[0,1]，Y～E
（1），
（1）X的概率密度函数为，
Y的概率密度函数为
（2）因为X与Y相互独立，所以f（x,y）=f（x）f（y），则
,
（3）积分区域D如图所示，则有
D：
＝－
【提示】1.1.随机变量X，Y相互独立。
2.二重积分化二次积分的方法。
3.定积分的第一换元法。
五、应用题（10分）
30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量X～N（500，22）（单位：
g），生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值=502g.问：
当方差不变时
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