答案 （1,3]
6．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：
万元）分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位：
辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________．
解析 设该公司在甲地销售x辆车，则在乙地销售（15－x）辆，根据题意，总利润y＝－x2＋21x＋2（15－x）（0≤x≤15，x∈N）整理得：
y＝－x2＋19x＋30.函数的对称轴为x＝.∵x∈N，∴x＝9或10时，y取得最大值120万元．答案 120万元
7．（2013·梅州高一检测）画出函数f（x）＝
的图象，并写出函数的单调区间及最小值．
解 f（x）的图象如图所示，f（x）的单调递增区间是（－∞，0）和[0，＋∞），函数的最小值为f（0）＝－1.
能力提升
8．已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（ ）．
A．－1B．0C．1D．2
解析 f（x）＝－x2＋4x＋a＝－（x－2）2＋4＋a，
∴当x∈[0,1]时，f（x）是增函数，
则f（x）min＝f（0）＝a＝－2，∴f（x）max＝f
（1）＝3＋a＝1.答案 C
9．已知函数y＝f（x）是（0，＋∞）上的减函数，则f（a2－a＋1）与f的大小关系是________．
解析 ∵a2－a＋1＝2＋≥，
又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴f（a2－a＋1）≤f.
答案 f（a2－a＋1）≤f
10．（2013·南昌高一检测）某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降为450元为止，每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元，假设一个旅行团体不能超过70人．
（1）写出飞机票的价格关于人数的函数式；
（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解
（1）设旅行团的人数为x，机票价格为y元，则：
y＝即y＝
（2）设旅行社可获得利润为Q元，则：
Q＝
即Q＝
当x∈[1,30]时，Qmax＝900×30－15000＝12000（元），
当x∈（30,70]时，Q＝－10（x－60）2＋21000，
∴x＝60时，取Qmax＝21000（元），
∴当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21000元.
1.3.2 奇偶性
基础达标
1．下列函数是偶函数的是（ ）．
A．y＝xB．y＝2x2－3
C．y＝D．y＝x2，x∈[0,1]
解析 A选项是奇函数；B选项为偶函数；C、D选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．
答案 B
2．（2013·济南高一检测）若函数f（x）＝为奇函数，则a＝（ ）．
A.B.C.D．1
解析 函数f（x）的定义域为{x|x≠－且x≠a}．
又f（x）为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.
答案 A
3．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）．
A．f（π）＞f（－3）＞f（－2）B．f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C．f（π）＜f（－3）＜f（－2）D．f（π）＜f（－2）＜f（－3）
解析 ∵f（x）是偶函数，
则f（－2）＝f
（2），f（－3）＝f（3），又当x≥0时，f（x）是增函数，
所以f
（2）＜f（3）＜f（π），从而f（－2）＜f（－3）＜f（π）．
答案 A
4．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f
（1）＝________.
解析 ∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝2x2－x，
∴f
（1）＝－f（－1）＝－2×（－1）2＋（－1）＝－3.答案 －3
5．已知函数y＝f（x）是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是________．
解析 ∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）与x轴的四个交点也关于y轴对称．
若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.
答案 0
6．函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f（a）＋f（b）>0，则a＋b________0（填“>”“<”或“＝”）．
解析 由f（a）＋f（b）>0，得f（a）＞－f（b）．
∵f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）．
∴f（a）>f（－b），又f（x）为减函数，
∴a<－b，即a＋b<0.
答案 <
7．（2013·泰安高一检测）函数f（x）＝是定义在（－∞，＋∞）上的奇函数，且f＝.
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（－1,1）上的单调性，并且用定义证明你的结论．
解
（1）根据题意得即解得∴f（x）＝.
（2）任意x1，x2∈（－1,1），且x1＜x2.
则f（x1）－f（x2）＝－＝
∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1－x1x2＞0，从而f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）在（－1,1）上是增函数．
能力提升
8．已知函数f（x）在[－5,5]上是偶函数，f（x）在[0,5]上是单调函数，且f（－4）＜f（－2），则下列不等式一定成立的是（ ）．
A．f（－1）＜f（3）B．f
（2）＜f（3）
C．f（－3）＜f（5）D．f（0）＞f
（1）
解析 ∵函数f（x）在[－5,5]上是偶函数，
∴f（－4）＜f（－2）⇔f（4）＜f
（2）．又f（x）在[0,5]上是单调函数．
∴f（x）在[0,5]上递减，从而f（0）＞f
（1）．答案 D
9．已知函数y＝f（x）是奇函数，若g（x）＝f（x）＋2，且g
（1）＝1，则g（－1）＝________.
解析 由g
（1）＝1，且g（x）＝f（x）＋2，∴f
（1）＝g
（1）－2＝－1，又y＝f（x）是奇函数．
∴f（－1）＝－f
（1）＝1，从而g（－1）＝f（－1）＋2＝3.答案 3
10．已知f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2＋3x＋2.
若当x∈[1,3]时，f（x）的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．
解 ∵x＜0时，f（x）＝x2＋3x＋2，且f（x）是奇函数，
∴当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝x2－3x＋2.
故当x＞0时，f（x）＝－f（－x）＝3x－x2－2.
∴当x∈时，f（x）是增函数；
当x∈时，f（x）是减函数．
因此当x∈[1,3]时，f（x）max＝f＝，f（x）min＝f（3）＝－2.∴m＝，n＝－2，从而m－n＝.
周练（三） 函数的基本性质
（时间：
80分钟 满分：
100分）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．若点（－1,3）在奇函数y＝f（x）的图象上，则f
（1）等于（ ）．
A．0B．－1C．3D．－3
解析 由题知，f（－1）＝3，因为f（x）为奇函数，所以f
（1）＝－f（－1）＝－3.
答案 D
2．若函数f（x）＝（x＋1）（x－a）为偶函数，则a等于（ ）．
A．－2B．－1C．1D．2
解析 ∵f（x）＝（x＋1）（x－a）为偶函数，∴f（－x）＝f（x）．
即（－x＋1）（－x－a）＝（x＋1）（x－a），∴x·（a－1）＝x·（1－a），故1－a＝0，∴a＝1.
答案 C
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）．
A．y＝x＋1B．y＝－x3
C．y＝D．y＝x|x|
解析 A中为非奇非偶函数，B为减函数，C在定义域内不单调，对于D，当x≥0，y＝x2是增函数；当x＜0，y＝－x2是增函数，显然是奇函数．
答案 D
4．函数y＝在[2,3]上的最小值为（ ）．
A．2B.C.D．－
解析 作出图象可知y＝在[2,3]上是减函数，ymin＝＝.答案 B
5．函数y＝＋是（ ）．
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
解析 先求定义域，由⇒－1≤x≤1.∴定义域为[－1,1]，且定义域关于原点对称．又f（－x）＝＋＝f（x），∴f（x）为偶函数．
答案 B
6．已知f（x）在实数集上是减函数，若a＋b≤0，则下列正确的是（ ）．
A．f（a）＋f（b）≤－[f（a）＋f（b）]B．f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）
C．f（a）＋f（b）≥－[f（a）＋f（b）]D．f（a）＋f（b）≤f（－a）＋f（－b）
解析 由a＋b≤0，得a≤－b，∵f（x）在R上是减函数，∴f（a）≥f（－b）．
同理f（b）≥f（－a），∴f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．答案 B
7．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝x2＋3x＋1，则f（x）＝（ ）．
A．x2B．2x2
C．2x2＋2D．x2＋1
解析 ∵f（x）＋g（x）＝x2＋3x＋1，①
∴f（－x）＋g（－x）＝x2－3x＋1.又f（x）是偶函数，且g（x）是奇函数，
∴f（x）－g（x）＝x2－3x＋1.②由①②联立，得f（x）＝x2＋1.答案 D
8．已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a等于（ ）．
A.B.C．2D．9
解析 f（x）＝
∵0＜1，∴f（0）＝20＋1＝2.∵f（0）＝2≥1，∴f[f（0）]＝22＋2a＝4a，∴a＝2.答案 C
二、填空题（每小题5分，共20分）
9．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.
解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝－2a，a＝.
又f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，则b＝0.因此a＋b＝.
答案
10．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f
（1）＝，且f（x＋2）＝f（x）＋f
（2），则f（5）＝________.
解析 ∵f（x）是奇函数，且x∈R，∴f（0）＝0，且f（－1）＝－f
（1）＝－.又f（x＋2）＝f（x）＋f
（2），且f
（1）＝.令x＝－1，则f
（1）＝f（－1）＋f
（2），∴f
（2）＝1.
因此f（3）＝f
（1）＋f
（2）＝，所以f（5）＝f
（2）＋f（3）＝.答案
11．（2013·长沙高一检测）已知f（x）＝是R上的增函数，那么a的取值范围是________．
解析 ∵f（x）在R上是增函数，∴解之得≤a＜3.
答案
12．若函数f（x）＝－为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为________．
解析 f（x）为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，所以f（0）＝0，故a＝0，则f（x）＝－.
又f（－1）＝－f
（1），得－＝，故b＝0，于是f（x）＝－x.
因此f（x）＝－x在[－1,1]上是减函数，故f（x）max＝1.
答案 1
三、解答题（每小题10分，共40分）
13．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x4＋；
（2）f（x）＝|x－2|－|x＋2|.
解
（1）函数的定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称．
∵f（－x）＝x4＋＝f（x），∴函数为偶函数．
（2）函数的定义域为R，关于原点对称，
∵f（－x）＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－f（x），
∴函数为奇函数．
14．已知y＝f（x）是R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝－x2＋2x＋2.
（1）求f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间．
解
（1）设x<0，则－x>0，所以
f（－x）＝－（－x）2－2x＋2＝－x2－2x＋2，又∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
∴f（x）＝x2＋2x－2，又f（0）＝0，
∴f（x）＝
（2）先画出y＝f（x）（x>0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f（x）（x<0）的图象，其图象如图所示．
由图可知，其增区间为（－1,0）及（0,1]，减区间为（－∞，－1]及（1，＋∞）．
15．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．
（1）当每辆车的月租金定为3900元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？
最大月收益是多少？
解
（1）租金增加了900元．
所以未出租的车有15辆，一共出租了85辆．
（2）设租金提高后有x辆未租出，则已租出（100－x）辆，租车公司的月收益为y元．
y＝（3000＋60x）（100－x）－160（100－x）－60x，
其中x∈[0,100]，x∈N，
整理得：
y＝－60x2＋3100x＋284000
＝－602＋，
当x＝26时，ymax＝324040，
此时，月租金为：
3000＋60×26＝4560元．
即当每辆车的月租金为4560元时，租车公司的月收益最大为324040元．
16．已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞1时f（x）＞0.
（1）求证：
f（x）是偶函数；
（2）求证：
f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
证明
（1）令x1＝x2＝1，得f
（1）＝2f
（1），∴f
（1）＝0，
令x1＝x2＝－1，可求f（－1）＝0.令x1＝x，x2＝－1，
∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．
（2）设任意x2＞x1＞0，则
f（x2）－f（x1）＝f－f（x1）＝f，
∵x2＞x1＞0，则＞1，又x＞1时，f（x）＞0，
∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
章末质量评估
（一） 集合与函数概念
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（ ）．
A．0或B．0或3
C．1或D．1或3
解析 由A∪B＝A，知B⊆A，∴m＝3或m＝（且m≠1），因此m＝3或m＝0.
答案 B
2．设集合A＝{－1,3,5}，若f：
x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是（ ）．
A．{0,2,3}B．{1,2,3}
C．{－3,5}D．{－3,5,9}
解析 当x＝－1,3,5时对应的2x－1的值分别为－3,5,9.
答案 D
3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则（ ）．
A．P⊆QB．Q⊆P
C．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP
解析 P＝{x|x＜1}，∴∁RP＝{x|x≥1}．又∵Q＝{x|x＞－1}，∴Q⊇∁RP.
答案 C
4．下列图象中不能作为函数图象的是（ ）．
解析 B选项对于给定的变量有两个值与其对应，不是函数的图象．
答案 B
5．函数f（x）＝＋的定义域是（ ）．
A．[－1，＋∞）B．（－∞，0）∪（0，＋∞）
C．[－1,0）∪（0，＋∞）D．R
解析 要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.答案 C
6．下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点，
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数是f（x）＝0.
其中正确命题的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
解析 偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y＝，故②错；既奇又偶的函数除了f（x）＝0，还可以是f（x）＝0，x∈[－1,1]，④错．答案 A
7．下列四个函数中，在（－∞，0）上是增函数的为（ ）．
A．f（x）＝x2＋1B．f（x）＝1－
C．f（x）＝x2－5x－6D．f（x）＝3－x
解析 A、C、D选项中的三个函数在（－∞，0）上都是减函数，只有B正确．
答案 B
8．（2013·龙海高一检测）若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x－1，则当x＜0时，有（ ）．
A．f（x）＞0B．f（x）＜0
C．f（x）·f（－x）≤0D．f（x）－f（－x）＞0
解析 f（x）为奇函数，当x＜0时，－x＞0，
∴f（x）＝－f（－x）＝－（－x－1）＝x＋1，∴f（x）·f（－x）＝－（x＋1）2≤0.
答案 C
9．函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b不为零），且f（5）＝10，则f（－5）等于（ ）．
A．－10B．－2C．－6D．14
解析 ∵f（5）＝125a＋5b＋4＝10，∴125a＋5b＝6，
f（－5）＝－125a－5b＋4＝－（125a＋5b）＋4＝－6＋4＝－2.答案 B
10．二次函数y＝x2－4x＋3在区间（1,4]上的值域是（ ）．
A．[－1，＋∞）B．（0,3]
C．[－1,3]D．（－1,3]
解析 ∵y＝（x－2）2－1，∴函数y＝x2－4x＋3在（1,2]上递减，在（2,4]上递增．∴当x＝2时，ymin＝－1.
又当x＝1时，y＝1－4＋3＝0，
当x＝4时，y＝42－16＋3＝3，
∴该函数在（1,4]上的值域为[－1,3]．答案 C
11．定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有<0，则（ ）．
A．f（3）（1）B．f
（1）
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