等差数列的性质、求和知识点及训练Word文件下载.docx

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d，末项:

推广：

．从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：

或

（2）等差中项：

数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数）（当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：

若或（常数）是等差数列．

数列是等差数列．

（3）数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：

若或（常数）是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：

、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）通常把题中条件转化成只含和的等式！

8.等差数列的性质：

（1）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（2）当时,则有，特别地，当时，则有.

（3）若{}是等差数列，则，…也成等差数列（公差为md）

图示：

（4）若等差数列、的前和分别为、，且，

则.

（5）若、为等差数列，则为等差数列

（6）求的最值

法一：

直接利用二次函数的对称性：

由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。

若Sp=Sq则其对称轴为

法二：

①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当由可得达到最大值时的值．

②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即当由可得达到最小值时的值．

或求中正负分界项

（7）设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则：

1.当项数为偶数时，，其中n为总项数的一半，d为公差；

2、在等差数列中，若共有奇数项项，则

注意：

解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：

即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

【类型1】求等差数列通项

【例1】.等差数列中，，求.

【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.

【例2】等差数列中，，，求通项公式.

【变式1】等差数列中，则的值是　　　　　．

【变式2】已知等差数列{}中．，则　　　　　．

【变式3】等差数列中，，，则　　　　　．

【变式4】若等差数列的前5项和，且，则　　　　　　．

【例3】已知数列中，=1，，则数列的通项公式为______

【变式1】已知数列{}中，=2,=3，其前n项和满足（n≥2，n∈N），则数列{}的通项公式为（）

A．=nB．=C．=n-lD．=n+l

【例4】在数列和数列中，为数列的前n项和，且满足，数列的前n项和满足，且

（1）求数列的通项公式

（2）求数列的通项公式

【例5】数列中，，求数列的通项公式；

【类型2】求等差数列前n项和

【例1已知为等差数列，为其前项和，，若则的值为_______

【变式1】如果是一个等差数列的前n项和，其中a，b，c为常数，则c的值为．

【例2】

（10年全国文6）等差数列中，，那么的前7项和　　　　　．

【变式1】已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）

A．55　　　　B．70　　　　　C．85　　　　　D．100

【例3】通项公式为，则_______　．

【变式1】通项公式为则　　　　　．

通项公式为，若其前n项和为10，则项数n为　　　　　．

【例4】等差数列中，，前n项和记为，求取最小值时n的值.

【变式】差数列中，，则　　　　　时有最大值；

【类型3】等差数列性质的应用

【例1】

（1）等差数列中，求的值.

（2）等差数列中，，求的值.

（2009年辽宁理科14）等差数列中，的前n项和为，如果，则　　　　　．

【变式1】

（2009年辽宁文）等差数列中，的前n项和为，，则　　　　　．

【变式2】已知等差数列中，则　　　　　．

【变式3】已知数列和的前n项和分别为，且求的值.

【例3】等差数列的前n项和记为，若为一个确定的常数，则下列

各数中一定是常数的是（）

C．B．C．D．

【变式1】等差数列中，则（）

C．-36B．48 　C．54　 D．72

【变式2】等差数列中，已知前15项的和，则等于（）

A．B．12 C．D．6

【变式3】在等差数列中，若则．

【类型4】证明数列是等差数列

【例1】知数列的前n项和为，求通项公式并判断是否为等差数列

【例2】在数列中，,设证明是等差数列．

【例3】已知数列的前n项和为，且满足，，

求证：

数列是等差数列；

求数列的通项公式。

【变式1】数列中，，判断是否为等差数列.

【例4】数列中，，；

1）求证是等差数列；

2）求的通项公式.

【变式1】已知数列满足，

（1）设，求证为等差数列；

（2）求通项；