高考理科数学《绝对值不等式》练习题Word格式.docx

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A．5 B．4

C．8 D．7

由题易得，|x－2y＋1|＝|（x－1）－2（y－1）|≤|x－1|＋|2（y－2）＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.

3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，－1]∪[4，＋∞） B．（－∞，－1）∪（4，＋∞）

C．（－∞，－4]∪[1，＋∞） D．（－∞，－1）∪[4，＋∞）

∵|x＋3|－|x－1|≤4，

∴a2－3a≥4，

即a2－3a－4≥0.

解得a≤－1或a≥4.

4．已知命题p：

∀x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥m，命题q：

∃x∈R，x2－2mx＋m2＋m－3＝0，那么，“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的（　　）

A．充要条件　　　　　　 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

由绝对值不等式的几何性质可知，∀x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥|（x＋2）－（x－1）|＝3，故若命题p为真命题，则m≤3；

当命题q为真命题时，方程x2－2mx＋m2＋m－3＝0有根，则Δ＝（－2m）2－4（m2＋m－3）＝12－4m≥0，解得m≤3；

所以“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的充要条件．

5．当|a|≤1，|x|≤1时，关于x的不等式|x2－ax－a2|≤m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A. B.

C. D.

|x2－ax－a2|＝|－x2＋ax＋a2|≤|－x2＋ax|＋|a2|＝|－x2＋ax|＋a2，当且仅当－x2＋ax与a2同号时取等号．故当－x2＋ax≥0时，有|x2－ax－a2|＝|－x2＋ax|＋a2＝－x2＋ax＋a2＝－2＋a2，当x＝时，有最大值a2.而|a|≤1，|x|≤1，所以当a＝1，x＝或a＝－1，x＝－时，|x2－ax－a2|有最大值，且|x2－ax－a2|max＝，故m的取值范围是.

B

6．（2014年潍坊模拟）不等式|x－2|－|x－1|>

0的解集为（　　）

A. B.

C. D.

原不等式等价于|x－2|>

|x－1|，则（x－2）2>

（x－1）2，解得x<

.

二、填空题

7．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．

解法一　分类讨论去绝对值号解不等式．

当x>

时，原不等式转化为4x≤6⇒x≤；

当－≤x≤时，原不等式转化为2≤6，恒成立；

当x<

－时，原不等式转化为－4x≤6⇒x≥－.由上综合知，原不等式的解集为.

解法二　利用几何意义求解．

原不等式可化为＋≤3，其几何意义为数轴上到，－两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝或x＝－时，到，－两点的距离之和恰好为3，故当－≤x≤时，满足题意，则原不等式的解集为.

8．（2013年高考江西卷）在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．

依题意得－1≤|x－2|－1≤1，即|x－2|≤2，解得0≤x≤4.

[0,4]

9．（2013年高考重庆卷）若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．

∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8，

∴（|x－5|＋|x＋3|）min＝8，

要使|x－5|＋|x＋3|<

a无解，只需a≤8.

（－∞，8]

三、解答题

10．（2014年大理一模）已知函数f（x）＝|x－2|－|x－5|.

（1）证明：

－3≤f（x）≤3；

（2）求不等式f（x）≥x2－8x＋15的解集．

f（x）＝|x－2|－|x－5|＝

当2<

x<

5时，－3<

2x－7<

3.

所以－3≤f（x）≤3.

（2）由

（1）可知，

当x≤2时，f（x）≥x2－8x＋15的解集为空集；

5时，f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x<

5}；

当x≥5时，f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．

综上，不等式

f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．

11．已知函数f（x）＝|x－8|－|x－4|.

（1）作出函数y＝f（x）的图象；

（2）解不等式|x－8|－|x－4|＞2.

（1）f（x）＝

图象如下：

（2）不等式|x－8|－|x－4|＞2，即f（x）＞2.

由－2x＋12＝2，得x＝5.

由函数f（x）图象可知，原不等式的解集为（－∞，5）．

12．（能力提升）（2014年昆明高三调研）已知函数f（x）＝|x＋3|＋|x－a|（a>

0）．

（1）当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；

（2）若f（x）≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}，求a的值．

（1）当a＝4时，f（x）＝|x＋3|＋|x－4|≥|x＋3－x＋4|＝7，当且仅当（x＋3）（x－4）≤0时等号成立．

所以f（x）＝7时，－3≤x≤4，故x∈[－3,4]．

（2）由题意知f（x）＝，

当a＋3≥6时，不等式f（x）≥6的解集为R，不符合题意；

当a＋3<

6时，不等式f（x）≥6的解为或即或.

又f（x）≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}，所以a＝1.

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