人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式3.4基本不等式同步测试Word下载.docx

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最大值8 

最小值8 

最大值4 

最小值4

5.不等式的解集是（ 

{x|x＞2或x≤} 

{x|x＜2}

6.设x＞0，y＞0，，则的最小值是（ 

7.已知正数满足，则的最小值为（ 

8.若，则对说法正确的是（ 

有最大值　　　 

有最小值 

无最大值和最小值 

无法确定

9.若正实数a,b满足a+b=1，则+的最小值是（ 

6 

8 

9

10.设x，y为正数，则（x+y）（+）的最小值为（ 

9 

12 

15

11.下列各式中，最小值等于２的是（ 

12.设x，y∈R，且x+y=4，则5x+5y的最小值是（　　）

25 

162 

50

13.若直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　）

3 

5

14.若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（　　）

15.设a、b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ 

a3+b3＞a2b+ab2 

二、填空题（共5题；

共5分）

16.已知x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值是________．

17.已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为________ 

18.若2a=5b=10，则=________ 

19.（2015重庆）设,则的最大值为________.

20.若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则+的最小值是________．

三、解答题（共5题；

共25分）

21.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？

22.建造一个容积为240m3，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为180元/m2，池底的造价为350元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价为42000元？

23.若正数x，y满足x+3y=5xy，求：

（1）3x+4y的最小值；

（2）求xy的最小值．

24.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD．在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°

（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设BP=t．

（I）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；

（Ⅱ）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米），求S的最大值．

25.设函数f（x）=|x﹣a|+5x．

（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；

（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

【考点】基本不等式

【解析】【分析】和定积最大，直接运用均值不等式2/x+8/y=1≥2=8，就可解得xy的最小值，注意等号成立的条件。

【解答】因为x＞0，y＞0,所以2/x+8/y=1≥2=8，所以xy≥64当且仅当x=4，y=16时取等号，

故选A。

【点评】本题考查了均值不等式，定理的使用条件为一正二定三相等，利用基本不等式可求最值，和定积最大，积定和最小。

2.【答案】B

【考点】对数的运算性质，基本不等式在最值问题中的应用，等差数列的性质

【解析】【解答】因为和的等差中项是，所以，所以，当且仅当时取等号.

【分析】应用基本不等式求最值时，一定要注意一正二定三相等三个条件缺一不可.

3.【答案】C

【考点】基本不等式在最值问题中的应用

【解析】【解答】∵，∴选C

4.【答案】B

【解析】【解答】因为均值不等式中，两个数的几何平均数小于等于两个正数的算术平均数，因此得到f（x）=2x+ 

0）当且仅当时取得等号，故选B.

【分析】解决该试题的函数最值，可以运用函数的单调性，也可以运用均值不等式来得到，属于基础题。

5.【答案】B

【考点】其他不等式的解法

【解析】【分析】由，得，即，所以且，解得.选B。

6.【答案】C

【解析】【解答】因为x＞0，y＞0，所以，解不等式可得的最小值是2－2.

7.【答案】C

【解析】【解答】根据题意，由于

当且仅当x=时等号成立，故可知答案为C.

8.【答案】B

【解析】【解答】根据题意，由于，说明x,y同号，则可知,利用基本不等式可知，当x=y时等号成立，故答案为B.

【分析】主要是考查了均值不等式的运用，属于基础题。

9.【答案】D

【解析】【解答】由，得，当且公当，即，时，取等号.所以正确答案是D.

10.【答案】B

【解析】解答：

x，y为正数，（x+y）（）≥≥1+4+2=9

当且仅当时取得“=”

∴最小值为9

故选项为B．

分析：

函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值

11.【答案】D

【解析】【分析】对于A，可正可负，所以当时，，当时，，所以没有最小值；

对于B，设，则，所以由在单调递增可知，时取得最小值；

对于C，与选项A类似，，所以或，所以没有最小值；

对于D，，当且仅当即时取得等号；

综上可知，D选项正确.

12.【答案】D

【解析】【解答】解:

∵5x＞0，5y＞0，又x+y=4，

∴5x+5y≥

故选D．

【分析】根据题意可得5x＞0，5y＞0，利用基本不等式5x+5y≥2即可．

13.【答案】C

【解析】【解答】∵直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），

∴+=1（a＞0，b＞0），

所以a+b=（+）（a+b）=2+

当且仅当即a=b=2时取等号，

∴a+b最小值是4，

故选：

C．

【分析】将（1，1）代入直线得：

+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．

14.【答案】D

【解析】【解答】∵a＞0，b＞0，且a+b=4，

∴ab故A不成立；

，故B不成立；

，故C不成立；

∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8，

∴故D成立．

【分析】由题设知ab≤，由此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项．

15.【答案】C

【解析】【解答】解：

A．∵a、b是互不相等的正数，∴a3+b3﹣a2b﹣ab2=（a﹣b）2（a+b）＞0，∴a3+b3＞a2b+ab2恒成立；

B．∵a是正数，∴≥2，∴﹣=﹣＞0，因此恒成立；

C．取a=2，b=1，则|a﹣b|+=1﹣1=0，因此不成立；

D.=，=，∵＜，∴＜，恒成立．

【分析】A．由于a、b是互不相等的正数，作差a3+b3﹣a2b﹣ab2=（a﹣b）2（a+b）＞0，即可判断出正误；

B．由a是正数，可得≥2，可得﹣=﹣＞0，即可判断出正误；

C．取a=2，b=1，则|a﹣b|+=1﹣1=0，即可判断出结论；

D.=，=，而＜，即可判断出正误．

二、填空题

16.【答案】8

x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥4+2=8，

当且仅当=时，等号成立，

故x+2y的最小值为8，

故答案为：

8．

【分析】根据x+2y=（x+2y）（）=2+++2，利用基本不等式求得它的最小值．

17.【答案】16

【解析】【解答】∵x＞0，y＞0，且+=1，

∴x+y=（x+y），当且仅当y=3x=12时取等号．

16．

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

18.【答案】2

∵2a=5b=10，

∴a=log210，b=log510，

∴=lg2，=lg5，

∴=2（lg2+lg5）=2，

2．

【分析】由已知可得：

a=log210，b=log510，根据换底公式的推论，可得=lg2，=lg5，结合对数的运算性质，可得答案．

19.【答案】3

【解析】【解答】由两边同时加上得两边同时开方即得：

（且当且仅当时取“=”成立）,故填.

【分析】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（且当且仅当时取“=”）再利用此不等式来求解。

本体属于中档题，注意等号成立的条件。

20.【答案】5+2

【考点】对数的运算性质，基本不等式

∵a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，∴a+b=1，

∴+=（+）（a+b）=5++≥5+2=5+2

当且仅当=时取等号，结合a+b=1可解得a=﹣2且b=3﹣．

5+2

【分析】由题意可得a+b=1，整体代入可得+=（+）（a+b）=5++，由基本不等式可得．

三、解答题

21.【答案】解：

设矩形的长和宽分别为x，y，x＞0，y＞0，

∴2（x+y）=36，

∴x+y=18，

∵x＞0，y＞0，

∴矩形的面积，

当且仅当x=y=9时取“=”，

∴当长和宽都为9m时，面积最大为81m2．

【解析】【分析】设长和宽分别为x，y，根据题意得到x+y=18，面积S=xy，利用基本不等式即可求解．

22.【答案】解：

设水池的长为xm，由已知得池底的面积为（m2），

∴水池的宽为（m），依题意得：

0；

化简得x+=14；

解得x=8或x=6（舍去）；

答：

当水池的长与宽分别为8m和6m时，水池的总造价为42000元

【解析】【分析】可设水池的长为xm，从而可以求出水池的底面积为48（m2），水池的宽为（m），这样根据题意即可建立关于x的方程，解方程便可得出使得水池总造价为42000元时的水池的长和宽．

23.【答案】解：

（1）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴y=＞0，解得．

∴3x+4y=3x+=f（x），

f′（x）=3+=，

∴当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；

当1＞x＞时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．

∴当x=1时，f（x）取得最小值，f

（1）=3+2=5．

∴3x+4y的最小值为1．

（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，

∴5xy≥2，

解得：

xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．

∴xy的最小值为．

【解析】【分析】

（1）法一：

由正数x，y满足x+3y=5xy，可得y=＞0，解得.3x+4y=3x+=f（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

（2）正数x，y满足x+3y=5xy，利用基本不等式的性质即可得出．

24.【答案】解：

（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，

设∠PAB=θ，

则∠DAQ=45°

﹣θ，

DQ=tan（45°

﹣θ）=，CQ=1﹣=，

∴PQ===，

∴l=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2，是定值

（Ⅱ）S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1×

1﹣×

1×

t﹣×

，

=1﹣t﹣•=1﹣t﹣（﹣1+），

=1+﹣﹣，

=2﹣（+），

由于1+t＞0，

则S=2﹣（+）≤2﹣2=2﹣，当且仅当=，即t=﹣1时等号成立，

故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最多为2﹣平方百米．

（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，设∠PAB=θ，则∠DAQ=45°

﹣θ，分别求出CP，CQ，PQ即可得到求出周长l=2，问题得以解决；

（Ⅱ）根据S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ得到S=2﹣（+），根据基本不等式的性质即可求出S的最大值．

25.【答案】解：

（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，

故|x+1|≤3，

故﹣4≤x≤2，

故不等式f（x）≤5x+3的解集为[﹣4，2]；

（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，

故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，

即|x﹣a|≥﹣5x，

即（x﹣a）2≥25x2，

即（x﹣a﹣5x）（x﹣a+5x）≥0，

即（4x+a）（6x﹣a）≤0，

当a=0时，解4x×

6x≤0得x=0，不成立；

当a＞0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，

﹣≤x≤，

故只需使﹣≤﹣1，

解得，a≥4；

当a＜0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，

≤x≤﹣，

故只需使≤﹣1，

解得，a≤﹣6；

综上所述，a的取值范围为a≥4或a≤﹣6．

（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，从而解得；

（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，从而转化为故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，从而化简可得（4x+a）（6x﹣a）≤0，从而分类讨论解得．

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