学年鲁教版七年级数学下册《85平行线的性质定理》同步练习题附答案文档格式.docx

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∴∠3+∠ACB＝180°

，（　　），

∴∠ACB＝　　°

∵∠2＝50°

∴∠2+∠3＝180°

∴OA∥BC．（　　）．

6．完成下列推理过程．

（1）如图，已知AB∥CD，∠B+∠D＝180°

．

BC∥DE．

∵AB∥CD（已知），

∴∠　　＝∠　　（　　）．

∵∠B+∠D＝180°

（已知），

∴∠　　+∠D＝180°

（等量代换），

∴BC∥DE（　　）

（2）如图，若已知∠1＝∠2，试完成下面的填空．

∵∠2＝∠3（　　），

又∵∠1＝∠2（已知），

∴∠　　＝∠　　．（等量代换）

∴　　∥　　．（　　）

7．请将下列题目中横线上的证明过程和依据补充完整：

如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠BCF，BE⊥AF于点E．求证：

∠F＝90°

∵AG∥CD，

∴∠ABC＝∠BCD（　　）

∵∠ABE＝∠BCF，

∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠BCF，

即∠CBE＝∠DCF，

∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF＝∠DCF（　　）

∴　　＝∠BCF．

∴BE∥CF（　　）

∴　　＝∠F．

∵BE⊥AF，

∴　　＝90°

（　　）．

∴∠F＝90°

8．如图，AB∥CD，∠1＝∠A．

（1）试说明：

AC∥ED；

（2）若∠2＝∠3，FC与BD的位置关系如何？

为什么？

请在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式．

（1）∵AB∥CD，（已知）

∴∠1＝∠BED，（　　）

又∵∠1＝∠A，（已知）

∴∠BED＝∠　　，（等量代换）

（2）FC与BD的位置关系是：

　　．理由如下：

∵AC∥ED，（已知）

∴∠2＝∠　　．（　　）

又∵∠2＝∠3，（已知）

9．如图1，把一块含30°

的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．

（1）填空：

∠1＝　　°

，∠2＝　　°

；

（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°

．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，

①请直接写出∠2＝　　°

（结果用含n的代数式表示）；

②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的

倍，求n的值．

（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°

．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？

如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；

如果不存在，请说明理由．

10．在学习了平行线的有关知识后，小明对下面的问题进行了研究．

问题：

如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE，CE，

试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC．

（1）下面是小明的解题过程，请你填空．

过点E作EF∥AB，

∴∠BAE＝∠1（　　）．

∵CD∥AB（已知），

∴EF∥CD（　　）．

∴∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等）．

∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）．

∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC（等量代换）．

（2）如图2，AD∥BC，点E在线段AB上运动（点E不与点A，B重合），连结CE，DE，若∠ADE＝α，∠BCE＝β．试说明∠CED，α，β之间的数量关系（写出过程，不需要注明依据）．

（3）如图3，AD∥BC，点E在直线AB上运动（点E不与点A，B，O重合），连结CE，DE，若∠ADE＝α，∠BCE＝β，则∠CED，α，β之间的数量关系是　　．

11．阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整．

如图，在△ABC中，FG∥CD，∠1＝∠3．

∠B+∠BDE＝180°

因为FG∥CD（已知），

所以∠1＝　　．

又因为∠1＝∠3（已知），

所以∠2＝　　（等量代换）．

所以BC∥　　（　　），

所以∠B+∠BDE＝180°

12．按要求完成下列证明：

如图：

AB∥CD，直线AE交CD于点C，∠BAC+∠CDF＝180°

．求证：

AE∥DF．

∴∠BAC＝∠DCE（　　）．

∵∠BAC+∠CDF＝180°

（　　），

∴　　+∠CDF＝180°

∴AE∥DF（　　）．

13．请完成下面的推理过程：

如图，已知∠D＝108°

，∠BAD＝72°

，AC⊥BC于C，EF⊥BC于F．

∠1＝∠2．

∵∠D＝108°

（已知）

∴∠D+∠BAD＝180°

∴AB∥CD（　　）

∴∠1＝　　（　　）

又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知）

∴EF∥　　（　　）

∴∠2＝　　（　　）

∴∠1＝∠2（　　）

14．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．

如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°

试说明：

∠GDC＝∠B．

∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

∴∠ADB＝∠EFB＝90°

（　　）

∴EF∥AD（　　）

∴　　+∠2＝180°

又∵∠2+∠3＝180°

∴　　∥　　（　　）

∴∠GDC＝∠B（　　）

15．如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：

AB∥CD．

∵AF⊥CE（已知），

∴∠CGF＝90°

（垂直的定义），

∵∠1＝∠D（已知），

∴AF∥　　（　　），

∴∠4＝　　＝90°

又∵∠2+∠3+∠4＝180°

∴∠2+∠3＝90°

∵∠2与∠C互余（已知），

∴∠2+∠C＝90°

∴∠C＝　　，

∴AB∥　　．（　　）

16．如图，AB与EF交于点B，CD与EF交于点D，根据图形，请补全下面这道题的解答过程．

（1）∵∠1＝∠2（已知）

∴　　∥CD（　　）

∴∠ABD+∠CDB＝　　（　　）

（2）∵∠BAC＝65°

，∠ACD＝115°

，（已知）

∴∠BAC+∠ACD＝180°

（等式性质）

（3）∵CD⊥EF于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°

∴∠ABD＝∠CDF＝90°

（垂直的定义）

∴　　∥　　（同位角相等，两直线平行）

又∵∠BAC＝55°

∴∠ACD＝　　．（　　）

17．在下面解答中填空．

如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．

∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），

∴∠ABF＝∠　　＝90°

（垂直的定义）．

∴AB∥CD（　　）．

∵∠1＝∠2（已知），

∴AB∥EF（　　）．

∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．

∴∠3＝∠E（　　）．

18．填写下面证明过程中的推理依据：

如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．

（1）∠1＝∠2吗？

请说明理由

（2）BE与CF的位置关系如何？

（本题第

（1）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；

第

（2）小题要写出解题过程）

（1）∠1＝∠2，理由如下：

∵AB∥CD（　　），

∴∠ABC＝∠BCD（　　）．

∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），

∠　　（角平分线的定义），

∠2＝

∠　　（角平分线的定义）．

（2）

19．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°

∠BAG＝∠BGA；

（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°

，求证：

CF平分∠BCD．

（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求

的值．

20．

（1）

【问题】

如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°

，∠PFC＝150°

．求∠EPF的度数；

【问题迁移】

如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？

请说明理由；

（3）

【联想拓展】

如图3所示，在

（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．

参考答案

1．解：

∴∠B＝∠DEC（两直线平行，同位角相等）．

∴∠D＝∠DEC（等量代换），

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）、

故答案为：

∠B，两直线平行，同位角相等，∠DEC，内错角相等，两直线平行．

2．证明：

∠ABC（角平分线的定义），

∴∠AED＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），

∠ABC，

∴∠1＝∠2（等量代换），

∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），

角平分线的定义，∠ABC，两直线平行，同位角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行．

3．解：

（1）作EH∥AB，如图，

∵AB∥CD，

∴EH∥CD，

∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，

∴∠MEN＝∠AME+∠CNE，

∵EM是∠AMF的平分线，

∴∠AME＝

∠AMF，

∴∠MEN＝

∠AMF+∠CNE＝

×

52°

+38°

＝64°

同理可得∠MFN＝∠AMF+

∠CNE＝52°

+

38°

＝71°

（2）∵∠MEN＝

∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+

∠CNE，

∴2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，

∴2∠MFN﹣∠MEN＝

∵2∠MFN﹣∠MEN＝45°

∠AMF＝45°

∴∠AMF＝30°

（3）与

（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，

而∠MEN＝

∴2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，

∴2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），

∴∠AMF+∠CNE＝

（∠MEN+∠MFN），

∴∠MON＝

（∠MEN+∠MFN）．

4．解：

（1）过点P作PR∥AB，

∴AB∥CD∥PR，

∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，

∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝α+β，

∵PQ平分∠MPN，

∴∠NPQ＝∠MPQ＝α+β；

（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：

∵PQ平分∠MPN．

∴∠MPQ＝∠NPQ＝α+β，

∵QE∥PN，

∴∠EQP＝∠NPQ＝α+β，

∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，

∵EF平分∠PEQ，

∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，

∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°

∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°

∴∠EPQ+∠PEF＝90°

∴∠PFE＝180°

﹣90°

＝90°

∴EF⊥PQ；

（3）由

（2）可知：

∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°

∴∠QEF＝90°

﹣（∠AMP+∠PQC），

∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，

∴∠NEF＝180°

﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE

＝180°

﹣[90°

﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE

+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE

﹣∠PQC﹣∠QNE，

∵∠NEF＝

∠AMP，

∴90°

﹣∠PQC﹣∠QNE＝

即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°

∴∠NQE+2∠QNE＝180°

∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°

∴∠QNE＝∠NEQ，

∴∠PNE＝∠QEN，

∴∠PNE＝∠QNE，

∴NE平分∠PNQ．

5．解：

∴OB∥AC．（同位角相等，两直线平行），

，（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠ACB＝50°

∴OA∥BC．（同旁内角互补，两直线平行）．

同位角相等，两直线平行；

两直线平行，同旁内角互补；

50；

同旁内角互补，两直线平行．

6．

（1）证明：

∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．

∴∠C+∠D＝180°

∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）；

B；

C；

两直线平行，内错角相等；

同旁内角互补，两直线平行；

（2）证明：

∵∠2＝∠3（对顶角相等），

∴∠1＝∠3．（等量代换）

∴AB∥CD．（同位角相等，两直线平行）；

对顶角相等；

1；

3；

AB；

CD；

同位角相等，两直线平行．

7．证明：

∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），

∴∠BCF＝∠DCF（角平分线的定义），

∴∠CBE＝∠BCF．

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），

∴∠BEF＝∠F．

∴∠BEF＝90°

（垂直的定义）．

角平分线的定义；

∠CBE；

内错角相等，两直线平行；

∠BEF；

垂直的定义．

8．解：

（1）∵AB∥CD（已知），

∴∠1＝∠BED（两直线平行，内错角相等），

又∵∠1＝∠A（已知），

∴∠BED＝∠A（等量代换），

∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行）．

A；

AC；

DE；

FC∥BD．理由如下：

∵AC∥ED（已知），

∴∠2＝∠CGD（两直线平行，内错角相等），

又∵∠2＝∠3（已知），

∴∠CGD＝∠3（等量代换），

∴FC∥BD（内错角相等，两直线平行）．

FC∥BD；

CGD；

FC；

BD；

内错角相等，两直线平行．

9．解：

（1）∠1＝180°

﹣60°

＝120°

∠2＝90°

120，90；

（2）①如图2，∵DG∥EF，

∴∠BCG＝180°

﹣∠CBF＝180°

﹣n°

∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°

∴∠2＝360°

﹣∠ACB﹣∠BCG

＝360°

﹣（180°

）

＝（90+n）°

（90+n）；

②∵∠ABC＝60°

∴∠ABE＝180°

∵DG∥EF

∴∠1＝∠ABE＝120°

当∠1＝

∠2时，120﹣n＝

（90+n），

解得n＝

当

∠1＝∠2时，

（120﹣n）＝90+n，

综上所述，n值为

或

（3）当n＝60°

时，AB⊥DE（GF）；

当n＝90°

时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；

当n＝150°

时，AB⊥DG（EF）；

当n＝180°

时，AC⊥DG（EF），BC⊥DE（GF）；

当n＝240°

时，AB⊥DE（GF）；

当n＝270°

时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；

当n＝330°

时，AB⊥DG（EF）．

10．解：

（1）过点E作EF∥AB，

∴∠BAE＝∠1（两直线平行，内错角相等）．

∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）．

平行于同一条直线的两条直线互相平行；

（2）∠CED＝α+β，证明如下：

过点E作EF∥AD交CD于点F，如图：

∵EF∥AD，

∴∠DEF＝∠ADE＝α，

∵BC∥AD，

∴EF∥BC，

∴∠CEF＝∠BCE＝β，

∴∠CED＝∠DEF+∠CEF＝α+β；

（3）分三种情况：

（Ⅰ）E在线段BA延长线上，过E作EG∥AD交直线CD于G，如图：

同

（2）可证∠BCE＝∠CEG＝β，∠ADE＝∠DEG＝α，

∴∠CED＝∠CEG﹣∠DEG＝β﹣α；

（Ⅱ）E在线段AB上，由

（2）知∠CED＝α+β；

（Ⅲ）E在线段AB延长线上，过E作EH∥AD交直线CD于H，如图：

同理可证∠BCE＝∠CEH＝β，∠ADE＝∠DEH＝α，

∴∠CED＝∠DEH﹣∠CEH＝α﹣β；

∠CED＝α+β或∠CED＝α﹣β或∠CED＝β﹣α．

11．证明：

所以∠1＝∠2．

所以∠2＝∠3（等量代换）．

所以BC∥DE（内错角相等，两直线平行），

（两直线平行，同旁内角互补）．

∠2；

∠3；

两直线平行，同旁内角互补．

12．证明：

∴∠BAC＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）．

（已知），

∴∠DCE+∠CDF＝180°

（等量代换），

∴AE∥DF（同旁内角互补，两直线平行）．

13．证明：

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），

∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），

又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知），

∴EF∥AC（同位角相等，两直线平行），

∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），

∴∠1＝∠2（等量代换）．

两直线平行，同位角相等；

等量代换．

14．解：

∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），

（垂直的定义），

∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），

∴∠1+∠2＝180°

（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠1＝∠3（同角的补角相等），

∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），

∴∠GDC＝∠B（两直线平行，同位角相等）．

垂直的定义；

∠1；

同角的补角相等；

DG；

两直线平行，同位角相等．

15．证明：

∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行），

∴∠4＝∠CGF＝90°

（两直线平行，同位角相等），

∴∠C＝∠3，

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

∠CGF；

16．解：

（1）∵∠1＝∠2（已知），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），

∴∠ABD+∠CDB＝180°

（两直线平行，同旁内角互补），

AB，内错角相等，两直线平行，180°

，两直线平行，同旁内角互补；

，（已知），

（等式性质），

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），

∴∠ACD＝125°

．（两直线平行，同旁内角互补），

AB，CD，125°

，两直线平行，同旁内角互补．

17．解：

∴∠ABF＝∠CDF＝90°

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．

∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等）．

CDF．