选修坐标系与参数方程知识点及经典例题Word文档下载推荐.docx
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3.若0,则0,规定点（，）与点（，）关于极点对称，即（，）与（，）表示同一点。
如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；
同时，极
坐标（，）表示的点也是唯一确定的。
4.极坐标与直角坐标的互化：
如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M
的直角坐标与极坐标分别为（x，y），（p，9）.
（1）极坐标化直角坐标
（2）直角坐标化极坐标
方法3:
极坐标与直角坐标的互化
例：
（1）点M2，2、3的极坐标是
2
（2）点M2,的直角坐标是
3
已知点的直角坐标分别为（3,>
/3）t（0,■西）”g月），（-盂-2则）,求它们的极坐标.练：
3-
三、简单曲线的极坐标方程
1.圆的极坐标方程：
（1）特殊情形如下表：
圆心位置
极坐标方程
图形
圆心在极点（0，0）
p=丄
（0<
9<
2n
圆心在点（r，0）
p=2rcos9
nn
（-2w%）
n
圆心在点（r，刁
p=2rsin_9
（0<
9n
圆心在点（r,n）
p=—2rcos_B
n3n
（2<
B<
T）
3n
圆心在点（r,R
p=—2rsinB
（—n<
BWO）
⑵一般情形：
设圆心C（P,Bo）,半径为r,M（PB）为圆上任意一点，则|CM|=r,
ZCOM=|B—B|,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p2—2ppcos（B—B）+p—r2=0
2.直线的极坐标方程:
（1）特殊情形如下表:
直线位置
过极点，倾斜角为a
（1）B=a（p€R）或B=a+n（p€R）
（2）B=ap》0）和B=n+o（p>
0）
过点（a,0）,且与极轴
垂直
posB=a
过点a,，且与极
轴平行
pin-B=a
B<
n
过点（a,0）倾斜角为a
pin（a—B）=asina
n）
⑵一般情形，设直线l过点P（p,Bo）,倾斜角为a,M（pB）为直线I上的动点，则在△OPM中利用正
弦定理可得直线I的极坐标方程为psin（a—B）=psin（a—Bo）.
方法4:
直角坐标方程与极坐标方程的互化
方法5:
极坐标系下的运算
四、柱坐标系与球坐标系简介（了解）
方法6:
曲线极坐标方程的求法
1、柱坐标系
⑴定义：
一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q,
用（pB）（p>
0,0<
9<
2n）表示点Q在平面Oxy上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组（p9,z）（z€R）
表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组（p9,z）之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标
系叫做柱坐标系，有序数组（p,9,z）叫做点P的柱坐标，记作P（p,9,z），其中pX）,0W9<
2n,z€R.
x=pos9
（2）空间点P的直角坐标（x,y,z）与柱坐标（p9,z）之间的变换公式为y=pin9.
z=z
2、球坐标系
（1）定义：
一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP，记|OP|=r,OP与
Oz轴正向所夹的角为©
设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为9,这样点P的位置就可以用有序数组（r,©
9）表示,这样，空间的点与有序数组（r,©
9）之间建立了一种对应关系•把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组（r,©
9），叫
做点P的球坐标,记作P（r,©
9）,其中rX0,0W©
Wn,0W9<
2n.
x=rsin©
cos9
（2）空间点P的直角坐标（x,y,z）与球坐标（r,©
9）之间的变换公式为y=rsin©
sin9.
z=rcos©
第二讲
一、参数方程的概念：
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变
数t的函数xf（t）,并且对于t的每一个允许值,由这个方程所确定的点M（x,y）都在这条曲线
yg（t）,
上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
二、参数方程和普通方程的互化
（1）曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式』种方程是等价的可以互相转化.
⑵将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型•参数方程通过消去参数就可得到普通方
程.
（3）普通方程化参数方程，首先确定变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x=f（t）,其次将x=f（t）代
x=f（t）
y=g（t）
入普通方程解出y=g（t）,则（t为参数）就是曲线的参数方程.
（4）
在参数方程与普通方程的互化中，必须
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围使x，y的取值范围保持一致.
三、圆的参数方程
1•圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程
如图圆0与x轴正半轴交点Mo（r，0）.
x=rcos0
（1）设M（x,y）为圆0上任一点，以0M为终边的角设为0则以0为参数的圆0的参数方程是
y=rsin0
（0为参数）.
s,贝y0Mo经过时间t转过的
r的圆通过坐标平移得到，所
其中参数0的几何意义是OMo绕0点逆时针旋转到0M的位置时转过的角度.
（2）设动点M在圆上从Mo点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为
x=rcosst
角0=st则以t为参数的圆0的参数方程为（t为参数）.
y=rsinst
其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间.
2.圆心为C（a,b），半径为r的圆的参数方程
圆心为（a,b），半径为r的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为
x=a+rcos0,
以其参数方程为（0为参数）.
y=b+rsin0
四、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程
x2y2x=acos6
（1）中心在原点，焦点在x轴上的椭圆a2+*=1（a>
b>
0）的参数方程是（6是参数），规定参数6
y=bsin6
的取值范围是［o,2n.
y2„2x=bcos6
（2）中心在原点，焦点在y轴上的椭圆,+b2=1（a>
0）的参数方程是（6是参数）,规定参数6
y=asin6
的取值范围是［0,2n.
（x—h）2（y—k）2X=h+acos6
⑶中心在（h,k）的椭圆普通方程为二+72=1,则其参数方程为（6是参数）.
aby=k+bsin6
2.双曲线的参数方程
X2y2x=asec©
⑴中心在原点，焦点在x轴上的双曲线了一总=1的参数方程是（©
为参数）,规定参数©
的取
y=btan©
值范围为©
€[0,2冗）且©
工2，©
工百-
y2x2x=btan©
（2）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线—一b2=1的参数方程是（©
为参数）.
aby=asec©
3.抛物线的参数方程
x=2pt2
（1）抛物线y2=2px的参数方程为（t为参数）.
y=2pt
（2）参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
参数方程和普通方程的互化
五、直线的参数方程
1.直线的参数方程
X=Xo+tcosa
经过点Mo（xo,yo），倾斜角为a的直线I的参数方程为（t为参数）.
y=yo+tsina
2.直线的参数方程中参数t的几何意义
（1）参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点Mo的距离.
（2）当MoM与e（直线的单位方向向量）同向时，t取正数•当M0M与e反向时，t取负数，当M与M。
重合
时，t=0.
3.直线参数方程的其他形式
对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程.我们把过点M0（x0,y。
），倾斜
x=xo+tcosa
角为a的直线，选取参数t=MoM得到的参数方程（t为参数）称为直线参数方程的标准形式，
y=yo+tsina
此时的参数t有明确的几何意义.
bx=xo+at
一般地，过点Mo（xo，yo），斜率k=a（a，b为常数）的直线，参数方程为（t为参数），称为直线
y=yo+bt
参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义.
方法2:
求直线参数方程方法3:
参数方程问题的解决办法
解决参数问题的一个基本思路：
将其转化为普通方程，然后在直角坐标系下解决问题。
方法4:
利用参数的几何意义解题
六、渐开线与摆线（了解）
1•渐开线的概念及参数方程
（1）渐开线的产生过程及定义
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，
逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线』应的定圆叫做渐开线的基圆._
（2）圆的渐开线的参数方程
以基圆圆心0为原点，直线OA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系•设基圆的半径为r，绳子外
x=r（cos©
+（{sin©
）,
端M的坐标为（x,y），则有（（是参数）•这就是圆的渐开线的参数方程.
y=r（sin（—4cos（）
2•摆线的概念及参数方程
（1）摆线的产生过程及定义
平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，
称摆线，又叫旋轮线.
（2）半径为r的圆所产生摆线的参数方程为
x=r（（—sin（）,
（（是参数）•
y=r（1—cos（）
练习
x25t
1.曲线
）•
〔Z（t为参数）与坐标轴的交点是（
A.
2111
（0,5）、（孑0）B.（0,5）、（孑0）
C（0,4）、（8,0）
5
D.W8®
2.把方程xy1化为以t参数的参数方程是
xA.
1
t2
B.
3.若直线的参数方程为
sint
C.
xcost
1y
cost
x
D.
y
tant
；
（t为参数），则直线的斜率为（
3-2
D
Q
2-3
A-
-亠「x18cos
4•点（1,2）在圆的（
y8sin
xt-
5.参数方程为t（t为参数）表示的曲线是（）
y2
A.内切B.外切
C.相离D.内含
2x
y1
4
（t为参数）等价的普通方程为
B.x2
1（0x1）
—1（0
2）D.x2
1（0
x1,0y2）
5cos
8.曲线
（-
）的长度是
（
）.
5sin3
10
7.与参数方程为
）
9.点P（x,y）是椭圆2x23y2
12上的一个动点，则
x2y的最大值为（
A.2、2
B.2、3C.后
10.直线
（t为参数）和圆
y216交于A,B两点，贝VAB的中点坐标为（）.
A.（3,3）
B.（、3,3）
（「3,3）
D.（3,、、3）
11.若点P（3,m）在以点F为焦点的抛物线
4t（t为参数）上，则|PF|等于（）.
4t
A.2
B.3
C.4
D.5
12.
13.
14.
15.
16.
17.
离.
18.
19.
20.
x2t
直线（t为参数）被圆（x3）2（y1）225所截得的弦长为（）.
y1t
A.98B.401C..82D.934.3
tt
xee
参数方程（t为参数）的普通方程为.
y2（etet）
直线％2乎亿为参数）上与点A（2,3）的距离等于匹的点的坐标是
y32t
直线
xtcos,x42cos
与圆相切，则
ytsiny2sin
设ytx（t为参数），则圆x2y24y0的参数方程为
x1t，亠L
求直线l1:
（t为参数）和直线l2:
xy230的交点P的坐标，及点P与Q（1,5）的距
y5J3t
已知直线I经过点P（1,1）,倾斜角一，
6
（1）写出直线I的参数方程.
（2）设l与圆x2y24相交与两点A,B，求点P到代B两点的距离之积.
x-（etet）cos
分别在下列两种情况下，把参数方程2化为普通方程：
1ztt\.
y（ee）sin
（1）为参数，t为常数；
（2）t为参数，为常数.
3x5cos
已知直线I过定点P（3,-）与圆C:
（为参数）相交于A、B两点.
2y5sin
求：
（1）若|AB|8，求直线I的方程；
（2）若点P（3,）为弦AB的中点，求弦AB的方程.
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