最新冀教版八年级数学下册 第二十章函数 教案教学设计含教学反思.docx
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最新冀教版八年级数学下册第二十章函数教案教学设计含教学反思
第二十章函数
20.1常量和变量1
20.2函数4
20.3函数的表示7
20.4函数的初步应用11
整理复习14
20.1常量和变量
教学目标
1．了解常量、变量的概念；
2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．（重点）
教学过程
一、情境导入
大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？
数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．
二、合作探究
探究点一：
常量与变量
【类型一】指出关系式中的常量与变量
设路程为skm，速度为vkm/h，时间为th，指出下列各式中的常量与变量：
（1）v＝
；
（2）s＝45t－2t2；
（3）vt＝100.
解析：
根据变量和常量的定义即可解答．
解：
（1）常量是8，变量是v，s；
（2）常量是45，2，变量是s，t；
（3）常量是100，变量是v，t.
方法总结：
常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．
【类型二】几何图形中动点问题中的常量与变量
如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
解析：
根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．
解：
由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝xcm.∵∠BAC＝45°，∴S阴影＝
·AM·h＝
AM2＝
x2，则y＝
x2，0≤x≤10.其中的常量为
，变量为重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm.
方法总结：
通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．
探究点二：
确定两个变量之间的关系
【类型一】区分实际问题中的常量与变量
分析并指出下列关系中的变量与常量：
（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2；
（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；
（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h＝
gt2（其中g取9.8m/s2）；
（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.
解析：
根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．
解：
（1）S＝4πR2，常量是4π，变量是S，R；
（2）h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t；
（3）h＝
gt2（其中g取9.8m/s2），常量是
g，变量是h，t；
（4）W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.
方法总结：
常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：
一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
【类型二】探索规律性问题中的常量与变量
按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
（1）题中有几个变量？
（2）你能写出两个变量之间的关系式吗？
解析：
由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：
多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6＋4（x－1）＝4x＋2.
解：
（1）有2个变量；
（2）能，关系式为y＝4x＋2.
方法总结：
解答本题关键是依据图形得出变量x的变化规律．
三、板书设计
1．常量与变量
数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量为常量．
2．常量与变量的区分
教学反思
整个教学过程中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体味，以此激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学习入门的难度．
20.2函数
教学目标
1．了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系；（重点）
2．确定函数中自变量的取值范围．（难点）
教学过程
一、情境导入
如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
在上述例子中，每个变化过程中的两个变量．当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．
你能举出一些类似的实例吗？
从今天开始，我们就研究和此有关的问题——函数．
二、合作探究
探究点一：
函数
【类型一】函数的定义
下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
解析：
A中，长方形的宽一定．它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A选项是函数关系；B中，面积＝（
）2，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B选项是函数关系；C中，面积＝
×底边上的高×底边长，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C选项不是函数关系；D中，周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系．故选C.
方法总结：
判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．
【类型二】确定实际问题中函数解析式以及自变量
下列问题中哪些量是自变量？
哪些量是自变量的函数？
试写出用自变量表示函数的式子．
（1）一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y（cm）随所挂重物的质量x（kg）的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
（2）设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a（cm）改变时，这个长方体的体积V（cm3）也随之改变．
解析：
（1）根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；
（2）根据长方体的体积公式列出函数式．
解：
（1）y＝10＋
x（0＜x≤10），其中x是自变量，y是自变量的函数；
（2）V＝30a2（a>0），其中a是自变量，V是自变量的函数．
方法总结：
函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
探究点二：
自变量的值与函数值
【类型一】根据解析式求函数值
根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为
，则输出的函数值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
∵x＝
时，在2≤x≤4之间，∴将x＝
代入函数y＝
，得y＝
.故选B.
方法总结：
根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．
【类型二】根据实际问题求函数值
小强想给爷爷买双鞋，爷爷说他的脚长25.5cm，若用x（单位：
cm）表示脚长，用y（单位：
码）表示鞋码，则有2x－y＝10，根据上述关系式，小强应给爷爷买________码的鞋．
解析：
∵用x表示脚长，用y表示鞋码，则有2x－y＝10，而x＝25.5，则51－y＝10，解得y＝41.
方法总结：
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．
探究点三：
确定自变量的取值范围
【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围
写出下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝2x－3；
（2）y＝
；
（3）y＝
；（4）y＝
.
解析：
当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
解：
（1）全体实数；
（2）分母1－x≠0，即x≠1；
（3）被开方数4－x≥0，即x≤4；
（4）由题意得
解得x≥1且x≠2.
方法总结：
本题考查了函数自变量的取值范围：
有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．
【类型二】确定实际问题中函数解析式的取值范围
水箱内原有水200升，7：
30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升．
（1）求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）7：
55时，水箱内还有多少水？
（3）几点几分水箱内的水恰好放完？
解析：
（1）根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；
（2）当7：
55时，t＝55－30＝25（分钟），将t＝25分钟代入
（1）中的关系式即可；（3）令y＝0，求出t的值即可．
解：
（1）∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t（0≤t≤100）；
（2）∵7：
55－7：
30＝25（分钟），∴当t＝25分钟时，y＝200－2t＝200－50＝150（升），∴7：
55时，水箱内还有水150升；
（3）当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
三、板书设计
1．函数的概念
2．函数自变量的取值范围
使函数有意义的自变量取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．
3．函数值
教学反思
在教学过程中，注意通过对以前学过的“常量与变量”的回顾与思考，提供生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣；并通过层层深入的问题设计，引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数概念的理解．
20.3函数的表示
教学目标
1．了解函数的三种不同的表示方法并在实际情境中，会根据不同的需要，选择函数恰当的表示方法；（重点）
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．（难点）
教学过程
一、情境导入
问题：
（1）某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？
（2）生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？
二、合作探究
探究点一：
函数的表示方法
【类型一】用列表法表示函数关系
有一根弹簧原长10厘米，挂重物后（不超过50克），它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：
质量（克）
1
2
3
4
…
伸长量（厘米）
0.5
1
1.5
2
…
总长度（厘米）
10.5
11
11.5
12
…
（1）要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？
（2）当所挂重物为x克时，用h厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．
（3）当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克．
解析：
（1）根据挂重物每克伸长0.5厘米，要伸长5厘米，可得答案；
（2）根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；（3）根据函数值，可得所挂重物质量．
解：
（1）5÷0.5×1＝10（克），
答：
要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克；
（2）函数的表达式：
h＝10＋0.5x（0≤x≤50）；
（3）当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30，
答：
当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．
方法总结：
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．
【类型二】用图象法表示函数关系
如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，请根据图象回答下列问题：
（1）汽车共行驶的路程是多少？
（2）汽车在行驶途中停留了多长时间？
（3）汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？
（4）汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？
解析：
根据图象解答即可．
解：
（1）由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240（千米）；
（2）由横坐标看出2－1.5＝0.5（小时），故汽车在行驶途中停留了0.5小时；
（3）由纵坐标看出汽车到达B点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B点所用的时间是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝
（千米/时）；由纵坐标看出汽车从B到C没动，此时速度为0千米/时；由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1（小时），从纵坐标看出行驶了120－80＝40（千米），故此时的平均速度为40÷1＝40（千米/时）；由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5（小时），由此算出平均速度120÷1.5＝80（千米/时）；
（4）由横坐标看出4.5－3＝1.5小时，返回用了1.5小时．
方法总结：
图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．
【类型三】用解析式法表示函数关系
一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y（升），行驶路程为x（千米）．
（1）写出y与x的关系式；
（2）这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？
汽车剩油12升时，行驶了多千米？
（3）这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？
解析：
（1）根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；
（2）根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值；（3）令y＝0，求出x即可．
解：
（1）y＝－0.6x＋48；
（2）当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米；
（3）令y＝0，－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶80km.
方法总结：
解析式法有两个优点：
一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
探究点二：
函数表示方法的综合运用
【类型一】分段函数及其表示
为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计算）．现假设某户居民某月用电量是x（单位：
度），电费为y（单位：
元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
解析：
根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8（x－100）＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y与x的函数关系为y＝
纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C.
方法总结：
根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：
①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
【类型二】函数与图形面积的综合运用
如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求点M、点N的坐标；
（3）如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的
，求满足条件的x的值．
解析：
（1）点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，说明BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且运动路程由4到9，说明CD的长为5.然后求出矩形的面积；
（2）利用
（1）中所求可得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，进而得出M点坐标，利用AD，BC，CD的长得出N点坐标；（3）分点P在BC、CD、AD上时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式，进而求出x即可．
解：
（1）结合图形可知，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，当x在4～9之间，△ABP的面积不变，得出BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面积为4×5＝20；
（2）由
（1）得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，则点M的纵坐标为10，故点M坐标为（4，10）．∵BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，故点N的坐标为（13，0）；
（3）当△ABP的面积为矩形ABCD面积的
，则△ABP的面积为20×
＝4.
①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝
AB·PB＝
×5x＝
，令
＝4，解得x＝1.6；
②点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝
AB·PB＝
×5×4＝10（不合题意，舍去）；
③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度13－x，y＝
AB·PA＝
×5×（13－x）＝
（13－x），令
（13－x）＝4，解得x＝11.4，
综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.
方法总结：
函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．
三、板书设计
1．函数的三种表示方法
（1）列表法；
（2）图象法；
（3）解析式法．
2．函数表示方法的综合运用
教学反思
函数表示法这节课的难点在于针对不同的问题如何选择这三种方法进行表示．针对这个问题，可通过引导学生对例子比较来解决．这样学生通过对不同例子的比较就能很好的区分这三种方法的特点，并能选择合适的方法．这节课的另一个目标是让学生了解分段函数，通过两个例子的介绍，能理解分段函数并按要求进行求值．
20.4函数的初步应用
教学目标
1、能够从函数的各种表示中获得相应的信息，运用函数解决简单的实际问题．
2、经历建立数学模型，从函数的各种表示中获取信息、解决问题的过程，采取自主探究与合作交流的学习方式从图像中获取有用的信息.
教学过程
一、情境导入
如图是体育科研工作者根据实验数据绘制的一幅图像，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化的函数关系．（注：
血乳酸浓度升高是运动员感觉疲痔的重要原因．未运动时的血乳酸浓度水平通常在40mg／L以下．图中虚线表示运动员全力运动后来用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况，实线表示采用慢跑等活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况．）
你能从图像中获取了哪些信息呢？
二、合作探究
探究点：
函数的初步应用
小亮和妈妈到超市买了一台电磁炉．售货员介绍说，用这台电磁炉和配赠的专用水壶烧开一壶水只需几分钟．小亮决定用自己学习过的知识对电磁炉烧开水的功能进行测试．他从实验室借来专用的温度计，放人电磁炉上的水壶中，随后打开电磁炉，记录下了水壶中的水温T（℃）随烧水时间t（min）的变化情况（8min后关掉了电磁炉），如下表：
t/min
0
1
2
3
4
5
6
7
8
T/°C
18
32
47
62
77
92
100
100
100
（1）在这个过程中，变量T（℃）是变量t（min）的函数吗?
如果是，请指出自变量的取值范围．
（2）请在如图所示的直角坐标系中用图像表示出T（℃）与t（min）的关系．
（3）用电磁炉烧开一壶水需要多长时间?
（4）从图像上看，如果烧一壶50℃的生活用水，需用多长时间?
（5）从画出的图像上，你还能获得关于变量T（℃）和变量t（min）之间关系的哪些认识?
解析：
（1）根据函数的定义即可得出答案.
（2）通过描点、连线即可得到函数图像；（3）（4）（5）均根据图像信息解答即可．
解：
（1）是，t≥0．
（2）如图所示.
（3）5．5min（近似值）．
（4）约2．3min．
（5）在前6min内图像近似一条直线，6min后为一条与x轴平行的直线．
方法总结：
解决函数的应用问题，一般需要借助函数图像，形象地表示自变量与相应的函数值的变化趋势．
小明晚饭以后外出散步，碰见同学，交谈了一会，返回途中在读报栏前看了一会报．下图是据此情境画出的图像，请你回答下列问题：
（1）小明是在什么地方碰到同学的，交谈了多少时间?
（2）读报栏大约离家多少路程?
（3）小明在哪一段路程中走得最快?
解析：
结合题意及图像信息解答即可．
解：
（1）离家800米处，交谈了10分钟.
（2）读报栏大约离家400米.
（3）从读报栏回到家那段路程.
甲、乙两辆汽车在同一条公路上行驶，为了确定汽车的位置，我们规定，将两辆汽车在公路上行驶的情况（s与时间t的函数关系）画在同一直角坐标系中，如图
（1）根据图像信息判断甲、乙两车的平均速度；
（2）甲、乙两车能否相遇?
如能相遇，说出相遇时刻及在公路上的位置；如不能相遇，请说明理由．
解析：
（1）结合图像可知甲2h行驶了80km,乙3h行驶了[80-（-70）]km,根据速度=路程÷时间，即可求出甲、乙两车的行驶速度.
（2）根据图像中两条直线的交点可知两车相遇的时间和地点.
解：
（1）甲车的平均速度为80÷2=40（km/h）,乙车的平均速度为[80-（-70）]÷3=50（km/h）.
（2）两车3小时时相遇，地点在0km刻度的右侧80km处。
方法总结：
根据函数图像解决实际应用问题，关键要弄清楚函数图像中特殊点的实际意义，比如图像与坐标轴交点的实际意义、两个函数图像交点的实际意义等.
三、板书设计
函数的初步应用：
1.根据实际问题画出函数图像再解决实际问题；
2.直接根据给定的函数图像解决实际问题.
教学反思
用函数解决一些简单的实际问题，从“形”的角度刻画变量间关系，以使学生加深对函数模型的理解，体会模型的作用．应让学生采取自主探究与合作交流的学习方式，以进一步巩固画函数图像的技能，并从图像中获取有用的信息.
整理复习
教学目标:
知识与技能：
1.使学生进一步理解和掌握函数的有关概念；
2.掌握函数的三种表示方法；
3.能根据函数图像解决简单的实际问题.
过程与方法：
通过例题讲解，使学生体会函数的有关知识。
情感态度与价值观：
体会函数作为数学模型在分析解决实际问题中的重要作用。
重点:
函数的表示方法.
难点:
函数在实际问题中的应用
教学过程：
一、基础知识回顾
1.一个圆形纸片的半径为rcm，用s表示它的面积（cm2），写出用r表示S的表达式：
________________,其中常量是
升级会员 